梁 森，雒 磊

(青島理工大學機械工程學院，山東 青島 266033)

蜂窩夾芯復合材料結構是由兩塊高強度的上下蒙皮和填充其中的軟而輕的夾芯所組成。常見蜂窩夾芯胞元形式有正六邊形、正方形、圓形等，圓形又分為疏排圓形和密排圓形，材質可以是鋁合金、芳綸紙(Nomex紙)、玻璃布等;蒙皮可采用纖維板、鋁合金板等。蜂窩夾芯結構由于具有較高的比強度和較好的隔熱、耐沖擊等優(yōu)點，因而在航空、航天等高科技領域有極廣泛的應用。目前，對蜂窩夾芯結構面內等效彈性參數(shù)的研究方法一般分為理論近似法、實驗法和數(shù)值模擬法。其中理論近似法是先對實際力學模型進行一定簡化假設，在理論上找出蜂窩夾芯結構的等效力學模型，分析時用等效力學模型代替原來的實際結構，近似地求出原來結構固有的某些力學性能參數(shù)［1-4］，該法往往能得出理論計算公式，但是模型的簡化假設和等效使理論分析與實際結果有一定差距。實驗法是研究蜂窩夾芯結構的一種有效的方法，該法要對蜂窩結構試件加一定的載荷，使其產(chǎn)生一定變形，經(jīng)過對應力和應變計算得到面內等效彈性參數(shù)分析結果［5-11］，實驗法應用廣泛且結果直觀、可靠，但這種方法比較費時費力，而且要想總結出某種蜂窩結構的規(guī)律，就要花費大量的實驗試件。對蜂窩夾芯結構分析的第3種方法就是數(shù)值模擬的方法，這種方法就是利用大型有限元軟件或自編的有限元程序來對蜂窩結構進行模擬分析，該法雖然計算量大但它可以剔除理論近似中的簡化假設和實驗中實驗誤差。隨著現(xiàn)代計算機技術的發(fā)展，越來越多的學者使用數(shù)值模擬法研究蜂窩夾芯結構面內等效彈性參數(shù)，由于密排圓形胞元蜂窩夾芯幾何結構中存在著無理數(shù)建模的問題，所以目前的研究多集中在正六邊形、正方形、疏排圓形胞元蜂窩結構的面內等效彈性參數(shù)的數(shù)值模擬方面［12-17］。為此本文提出了一種新的建模方法，在前人研究的基礎上，得出密排圓形胞元蜂窩夾芯面內等效彈性參數(shù)隨胞壁厚度t、胞壁半徑r和胞元高度h的變化曲線，獲得了密排圓形胞元蜂窩夾芯面內等效彈性參數(shù)的變化規(guī)律，并給出了該結構面內等效彈性參數(shù)的計算公式及其應用范圍，研究結果對于圓形胞元蜂窩夾層結構理論研究具有一定的指導意義。

1 密排圓形胞元蜂窩結構

密排圓形胞元蜂窩夾芯結構如圖1所示，它是由一個個小圓柱殼體通過膠接加工而成，對于疏排圓形蜂窩夾芯結構一個胞元只和4個相鄰胞壁膠接，文獻［17］中已對其進行了分析研究，而密排圓形蜂窩夾芯在膠接過程中要與6個相鄰胞元膠接。這就決定了這2種蜂窩夾芯結構在面內力學性能方面有較大差別，這里要對它進行深入研究。

圖1 密排圓形蜂窩胞元結構

2 圓形胞元蜂窩有限元模型建立

蜂窩夾芯面內等效彈性參數(shù)是分析夾層板的基礎，學者們在對蜂窩夾芯層合板進行理論分析時往往將夾芯視為均質二維正交各向異性的板來進行計算［1-4，17］，其本構關系為

式(1)中:T為矩陣轉置;D可寫成

對于均勻變形體，其應變列向量為

彈性矩陣D是蜂窩夾芯板結構分析設計的基礎。式(1)～ 式(3)中:σx、εx、Ex、vx和 Δu 分別為等效的正交各向異性層合板在x方向應力、應變、楊氏模量、Poisson比和Δx的變形量;σxy、ε'xy和Gxy分別為密排圓形胞元蜂窩夾芯面內剪應力、剪應變和剪切模量;σy、εy、Ey、vy和 Δv分別為等效的正交各向異性層合板在y方向應力、應變、楊氏模量、Poisson比和Δy上的變形量。

在實際的蜂窩夾芯復合板中，夾芯層的蜂窩胞元個數(shù)是很多的，在利用三維有限元數(shù)值模擬技術分析密排圓形胞元蜂窩夾芯結構面內等效彈性參數(shù)時，一方面沒有必要直接把實際的蜂窩夾芯結構完全照搬過來建立有限元模型，如果這樣就只能增加計算時間;另一方面也不是胞元個數(shù)越少越好，這樣會使加載后應力集中現(xiàn)象無法消除，影響計算精度。綜合考慮上述因素，并根據(jù)Saint Venant原理以及多次模擬分析結果和前人實驗所用試件大小，選擇合理胞元殼的數(shù)量。為了求得密排圓形胞元蜂窩的面內等效彈性參數(shù)，本文應用鋁材板殼單元，建立了11×12個3D有限元胞元模型，具體如圖2所示。

圖2 三維有限元模型

建模時，首先采用Bycent＆Radius方法建立一個圓形的基本單元，然后復制出相鄰的圓形單元，兩圓的位置關系如圖3所示。因為圓2的圓心位置相對于圓1的圓心位置在y方向距離dy為無理數(shù)，因此需取近似值，取近似值時，要保證近似值在滿足精度情況下，最后一位有效數(shù)字后面的數(shù)值采用只舍不入的辦法建立所有11×12個胞元的幾何模型，拉伸后得到圖2所示的密排圓形胞元蜂窩結構。

圖3 兩行胞元之間的相對位置

這樣的夾芯幾何結構，還要通過Glue命令將各胞圓連接在一起，并且能確保各相鄰胞圓之間在結合處是相切的。從而完成了密排圓形胞元蜂窩夾芯結構幾何模型的建立，解決了胞元之間相互交織在一起而無法對面內等效彈性參數(shù)進行分析的難題。

分別給蜂窩夾芯結構加上單向應力(σx，0，0)T、(0，σx，0)T和(0，0，σxy)T及相應的約束，通過有限元數(shù)值模擬可得出其對應的應變(εxx，εyx，0)T、(εxy，εyy，0)T和(0，0，ε'xy)T，圖4為變形云圖。將分析出的應變代入式(1)解線性方程組，就可得到密排圓形胞元蜂窩夾芯面內等效彈性參數(shù)的表達式:

式(4)中:εxx和εyx表示在x方向加載時產(chǎn)生的x方向和y方向面內應變;εxy和εyy表示在y方向加載時產(chǎn)生的x方向和y方向面內應變。由式(4)只要知道了應力和應變就可得到等效彈性參數(shù)。

圖4 位移變形云圖(11×12個胞元)

3 等效應力和等效應變的分析

密排圓形胞元蜂窩結構的等效正應力和剪切應力分別為:

∑F與∑Q分別是施加在有限元模型上所有拉力之和與剪力之和;Sa、Sb為與加載力方向垂直的蜂窩夾芯結構的等效截面積;Sc指與加載力方向平行的蜂窩夾芯結構的等效橫截面積;R是胞元半徑;h指胞元的高度。

等效應變求解方法可參照圖5、圖6和圖7，求解中由于計算點取在模型中心，可以認為它的變形是均勻的。夾芯結構的等效應變?yōu)?

圖5 計算點在模型中位置

圖6 計算點所在對稱面

圖7 對稱面上計算點的分布

式(8)～式(13)中:變量U里的下標字母表示位移方向，變量U里的下標數(shù)字指的是圖7中計算點代號。同理，也可推出Ey和νy的計算公式。可見，只要利用有限元數(shù)值模擬技術求出計算點的位移UX和UY，就可以利用上試計算出密排圓形胞元蜂窩夾芯結構面內等效參數(shù)Ex、Gxy以及Possion比。這樣就達到了用有限元數(shù)值模擬技術求解蜂窩夾芯面內等效彈性參數(shù)的目的。

4 模擬結果的有效性驗證

為了驗證本文中建模和分析方法的有效性，將文中模擬結果與文獻［6］中的實驗結果進行對比，文獻［6］中試件材料為聚碳酸酯，其 E=2.41 ×109Pa，ν=0.3，試件壁厚 t=0.144 mm，蜂窩直徑為D=6.96 mm，通過壓縮實驗測出蜂窩結構在x方向和y方向的彈性模量見表1。

表1 實驗與模擬數(shù)據(jù)比較

通過比較可以看到，本文的建模分析方法與實驗數(shù)據(jù)偏差較小，驗證了該數(shù)值模擬方法和所建模型的有效性，其誤差原因是實驗中存在摩擦力而模擬中不存在。

5 幾何尺寸與面內等效彈性參數(shù)

密排圓形胞元蜂窩夾芯面內等效彈性參數(shù)是由其本身固有的特性決定的，它除了與構成蜂窩胞元的材料常數(shù)有關外，還與胞元的幾何形狀及尺寸有關。為了減少實驗的試驗次數(shù)，這里用驗證的數(shù)值模擬模型和方法對不同幾何參數(shù)和材質的圓柱密排蜂窩夾芯結構的面內等效彈性參數(shù)進行分析模擬，找出它們的變化的規(guī)律。在此先研究同一材質不同的結構參數(shù)(t，r和h)對蜂窩夾芯面內等效參數(shù)的影響。為了研究不同材質對蜂窩夾芯面內等效彈性參數(shù)影響，這里先以鋁制材料為研究對象進行分析，其ν=0.3，E=6.897×1010Pa，圖8～圖12是相應的模擬結果。

圖8 等效剛度與h的變化曲線

圖8是面內等效剛度與h的變化曲線。從圖8可看出:當 t=0.1 mm，r=1 mm，面內剛度 Ey、Ex、Gxy隨 h 的增大幾乎沒有變化，這說明蜂窩的厚度h對蜂窩夾芯結構的面內剛度幾乎沒有影響。

圖9是面內等效剛度的對數(shù)與ln(t/r)的變化曲線。從圖9可看出:當h=10 mm時蜂窩夾芯的面內等效剛度對數(shù)lnEx、lnEy、lnGxy與ln(t/r)成線性變化，這說明面內剛度與(t/r)之間是冪函數(shù)關系，而且各直線的斜率相同，即指數(shù)相同，差別在于每條直線與面內剛度軸的截距不同而已，而且Ex＞Ey＞Gx。

圖9 面內等效剛度的對數(shù)與ln(t/r)的變化曲線

圖10為面內等效poission比與h的變化曲線。從圖10可看出 t=0.1 mm，r=1 mm，Poisson比 Vx、Vy會隨 h 的增大幾乎沒有變化，這說明蜂窩的厚度 h對蜂窩 x、y方向的Poisson比幾乎沒有影響。

圖10 面內等效poission比與h的變化曲線

圖11是x方向等效poission比對數(shù)與t/r的變化曲線。從圖11可看出:當h=10 mm，x方向Poisson比對數(shù)與(t/r)的關系變化，隨(t/r)的增加Poisson的對數(shù)值減小，且(t/r)越大Poisson減小的越快。通過曲線擬合可得其關系符合三次函數(shù)變化。

圖12為y方向等效poission比的對數(shù)與t/r的變化曲線。從圖12可看出:當 h=10 m，y方向 Poisson比對數(shù)與(t/r)的關系變化，隨(t/r)的增加Poisson的對數(shù)值減小，且(t/r)越大Poisson減小的越快。同樣可通過曲線擬合可得其關系符合三次函數(shù)變化。

圖11 x方向等效poission比對數(shù)與t/r的變化曲線

圖12 y方向等效poission比的對數(shù)與t/r的變化曲線

6 材質與面內等效彈性參數(shù)

下面利用上述建模方法研究不同材質對蜂窩結構面內等效彈性參數(shù)的影響。這里將鋁材換成對比材料Nomex紙，其E=5.98×1010Pa、ν=0.28。圖 13 ～15 是其對比模擬結果。

圖13為不同材質面內等效剛度模擬結果。由圖13可知:2種材料面內剛度都與log(t/r)呈正比，并且2條曲線斜率相同，只是截距不同而已。鋁制蜂窩夾芯結構的面內剛度大于相同幾何參數(shù)Nomex紙的面內剛度，這主要是因為鋁的彈性模量大于Nomex的彈性模量的緣故。圖14和圖15分別為不同材質的x向Poisson比和y向Poisson比的模擬結果。由圖14和圖15可知:Possion比與材質變化無關。

圖13 不同材質等效剛度模擬結果

圖14 不同材質的x向Poisson比模擬結果

圖15 不同材質的y向Poisson比模擬結果

7 面內等效彈性參數(shù)公式

由上面的分析可知，密排圓形胞元蜂窩夾芯結構面內等效彈性參數(shù)會隨結構尺寸和夾芯材質的變化而變化，并且其變化都遵循一定的規(guī)律，對以上數(shù)據(jù)進行曲線擬合可得到:

其中:Es是夾芯材料的彈性模量;t和r的單位都是mm。這些公式適用于t相對較小，t＜r、t＜h的情況。

8 結論

本文建立了密排圓形胞元蜂窩夾芯結構面內等效彈性參數(shù)的分析模型，提出了一種求解該結構面內力學參數(shù)的分析方法，得出圓形胞元蜂窩夾芯面內等效彈性參數(shù)隨胞壁厚度t、胞壁半徑r和胞壁高度h的變化曲線，找到了胞壁厚度t，胞壁半徑 r和胞壁高度 h 對 Ex、Ey、Gxy、vx、vy的變化規(guī)律。主要結論:Ex、Ey、Gxy都與t/r滿足冪函數(shù)關系，與夾芯材料的彈性模量成正比關系;vx、vy與t/r的三次多項式滿足底數(shù)為e的指數(shù)函數(shù);密排圓形胞元蜂窩夾芯滿足Ex＞Ey，vx＞vy;面內等效剛度與材料的彈性模量成正比，Poisson與材質無關。

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