陳莉敏

（常州工程職業(yè)技術(shù)學院基礎部，江蘇常州 213164）

SturmLiouville算子特征值與特征函數(shù)更精確的估計＊

陳莉敏

（常州工程職業(yè)技術(shù)學院基礎部，江蘇常州 213164）

應用迭代法計算勢函數(shù)光滑性提高時自伴型Sturm－Liouville算子特征值與特征函數(shù)的漸近估計式.

Sturm－Liouville算子；特征值；特征函數(shù)；估計

1 預備知識

對于Sturm－Liouville特征值問題Ly（x）＝－y″＋q（x）y＝λy，y′（0）－h(huán)y（0）＝0，y′（π）＋Hy（π）＝0，若q（x）∈Cm［0，π］，則特征值漸近式可表示為

當勢函數(shù)越來越光滑時，可將漸近式的表達式計算得更精確.但怎樣確定估計式中的系數(shù)，沒有文獻給出具體的討論.當q（x）∈C1［0，π］及q（x）∈C2［0，π］時，文獻［4－6］分別給出算子特征值和特征函數(shù)的漸近式.筆者利用迭代法求解了q（x）∈C3［0，π］時算子特征值和特征函數(shù)的漸近展開式.

引理1［4］記λ＝s2，則

2 主要結(jié)果及其證明

證明由引理2遞推得

由邊條件得（－s＋B）sin sπ＋Acos sπ＝0，其中

將（3）式帶入（2）式，解得

定理2 Sturm－Liouville算子在q（x）∈C3［0，π］時，特征函數(shù)的漸近式可表示為

其中β（x），β1（x），β2（x）是與h，H，q（x）及其導數(shù)相關的實常數(shù).

證明由引理2遞推可得（1）式.

將定理1結(jié)論帶入（1）式，得

［1］ ATKNSON F V.Discrete and Continuous Boundary Problems［M］.New York：Academic Press，1964.

［2］ EASTHAMM S P.On the Location of Spectral Concentration for Sturm－Liouville Problems with Rapidly Decayingpotential［J］.Mathematica，1998，45：23－36.

［3］ LEVITAN B M，SARGSJAN I S.Sturm－Liouville and Dirac Operators［M］.Dordrecht：Kluwer Academic Publishers，1991.

［4］ 劉景麟.常微分算子譜論［M］.北京：科學出版社，2009.

［5］ 陳莉敏.Sturm－Liouville算子特征值與特征函數(shù)的精確解［J］.佳木斯大學學報：自然科學版，2012（1）：155－157.

［6］ 陳莉敏.常型Sturm－Liouville算子特征值的漸近式和跡公式［J］.五邑大學學報：自然科學版，2012（5）：25－28.

（責任編輯 向陽潔）

Exact Estimation of the Eigenfunction and Eigenvalue for Sturm－Liouville Operator

CHEN Li－min
（Department of Basic Course，Changzhou Insititute of Engineering Technology，Changzhou 213164，Jiangsu China）

The expressions of the asymptotic formulae about the Sturm－Liouville operator are given by iterate algorithm.

Sturm－Liouville operators；eigenvalues；eigenfunction；estimation

O175

A

10.3969／j.issn.1007－2985.2013.03.003

1007－2985（2013）03－0012－03

2013－01－07

全國化工高職公共課教學指導委員會教科研課題（HGGJ1213）

陳莉敏（1977－），女，江蘇揚州人，常州工程職業(yè)技術(shù)學院基礎部講師，碩士，主要從事微分方程研究.