李興泉，鄧兆祥，李英強(qiáng)，章竟成，王騰騰

(1.重慶大學(xué)機(jī)械傳動(dòng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400030;2.汽車噪聲振動(dòng)和安全技術(shù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400039;3.重慶長安鈴木汽車有限公司，重慶 401321)

固定界面模態(tài)綜合方法將復(fù)雜結(jié)構(gòu)劃分為若干個(gè)子結(jié)構(gòu)，采用各子結(jié)構(gòu)的靜力模態(tài)和低階主模態(tài)對(duì)該子結(jié)構(gòu)進(jìn)行降階變換，再將各子結(jié)構(gòu)降階矩陣綜合成系統(tǒng)降階動(dòng)力學(xué)方程，即可求解系統(tǒng)低階動(dòng)態(tài)特性［1-2］。相對(duì)于傳統(tǒng)有限元方法，模態(tài)綜合方法僅保留少數(shù)低階子結(jié)構(gòu)主模［3］，因此，其構(gòu)建的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程階數(shù)較低，更適用于復(fù)雜結(jié)構(gòu)的低頻動(dòng)態(tài)特性計(jì)算。但對(duì)于劃分成多個(gè)子結(jié)構(gòu)的復(fù)雜結(jié)構(gòu)來說，其界面自由度多，這影響了系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程的求解效率。為了進(jìn)一步降低界面自由度的數(shù)量，部分文獻(xiàn)采用特征約束模態(tài)進(jìn)行界面自由度降階，即基于特征約束模態(tài)降階的模態(tài)綜合方法［4-6］該方法減少了系統(tǒng)方程中的界面自由度數(shù)，提高了模態(tài)綜合方法計(jì)算效率。但在實(shí)際的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)問題中，常常只需要計(jì)算某頻段處的振動(dòng)特性。文獻(xiàn)［3］研究表明，各子結(jié)構(gòu)的低階主模態(tài)對(duì)較高頻率的系統(tǒng)模態(tài)有重要影響，這說明即使只需要計(jì)算系統(tǒng)中頻段模態(tài)，也要保留各子結(jié)構(gòu)的低階主模態(tài)，這使中頻段模態(tài)的計(jì)算效率不高。在傳統(tǒng)有限元方法計(jì)算系統(tǒng)中頻模態(tài)時(shí)，可以采用移頻方法來提高結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的計(jì)算效率［7-8］。SHYU 等［9-10］采用該移頻方法來計(jì)算靜力模態(tài)，提出了準(zhǔn)靜力模態(tài)方法，該準(zhǔn)靜力模態(tài)考慮結(jié)構(gòu)慣性質(zhì)量的影響，提高了模態(tài)綜合的求解精度，但文中仍然采用原來的子結(jié)構(gòu)主模態(tài)，這導(dǎo)致經(jīng)過坐標(biāo)變換后的子結(jié)構(gòu)剛度矩陣不解耦，影響了模態(tài)綜合的計(jì)算效率。文獻(xiàn)［3］在此基礎(chǔ)上采用移頻后的剛度矩陣計(jì)算子結(jié)構(gòu)主模態(tài)，這使坐標(biāo)變換后的子結(jié)構(gòu)剛度矩陣實(shí)現(xiàn)了解耦，文中還研究表明:采用移頻方法后，子結(jié)構(gòu)的低階主模態(tài)對(duì)系統(tǒng)中頻段模態(tài)的影響較小，因此低階的主模態(tài)可以截?cái)?，這提高了系統(tǒng)中頻模態(tài)的計(jì)算效率。但在復(fù)雜結(jié)構(gòu)的中頻段振動(dòng)特性計(jì)算中，界面自由度多，此時(shí)系統(tǒng)界面自由度對(duì)應(yīng)的特征約束模態(tài)的截?cái)鄦栴}也顯得相當(dāng)重要，如何減少特征約束模態(tài)的數(shù)量，以進(jìn)一步提高復(fù)雜結(jié)構(gòu)中頻段振動(dòng)特性的計(jì)算效率，未見相關(guān)文獻(xiàn)報(bào)道。本文推導(dǎo)了低階特征約束模態(tài)對(duì)系統(tǒng)中頻模態(tài)的影響，并采用移頻技術(shù)來解決了低階特征約束模態(tài)的截?cái)鄦栴}，提高了模態(tài)綜合方法對(duì)復(fù)雜結(jié)構(gòu)中頻段特性計(jì)算的效率。

1 特征約束模態(tài)降階的模態(tài)綜合方法

本文是研究采用特征約束模態(tài)降階的模態(tài)綜合方法計(jì)算復(fù)雜結(jié)構(gòu)中頻段模態(tài)時(shí)，低階特征約束模態(tài)的截?cái)鄦栴}，因此，首先對(duì)該模態(tài)綜合方法進(jìn)行簡(jiǎn)單介紹。

基于特征約束模態(tài)降階的模態(tài)綜合方法，是在固定界面模態(tài)綜合方法的基礎(chǔ)上，對(duì)系統(tǒng)質(zhì)量和剛度矩陣中界面自由度對(duì)應(yīng)的部分進(jìn)行特征分解及降階變換，再由降階后的界面矩陣組集成系統(tǒng)降階動(dòng)力學(xué)方程，從而求解系統(tǒng)低階振動(dòng)特性。假設(shè)固定界面模態(tài)綜合方法計(jì)算的廣義坐標(biāo)下無阻尼系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程為［1-2］:

式中:下標(biāo)O和T分別為所有主模態(tài)對(duì)應(yīng)的自由度標(biāo)號(hào)和界面自由度標(biāo)號(hào)，MOO、KOO分別為所有子結(jié)構(gòu)主模態(tài)對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)降階質(zhì)量矩陣和剛度矩陣，MTT、KTT分別為所有界面自由度對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)界面質(zhì)量矩陣和剛度矩陣，Q表示系統(tǒng)模態(tài)坐標(biāo)。

由于各子結(jié)構(gòu)只取少數(shù)低階主模態(tài)，這使主模態(tài)對(duì)應(yīng)的矩陣MOO和KOO的維數(shù)遠(yuǎn)小于所有子結(jié)構(gòu)的內(nèi)部自由度之和，則式(1)所示的降階系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程的維數(shù)遠(yuǎn)小于有限元模型的自由度數(shù)，系統(tǒng)低頻振動(dòng)特性計(jì)算更容易，這是模態(tài)綜合方法更適合于復(fù)雜結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性計(jì)算的原因。

但在式(1)中，系統(tǒng)界面質(zhì)量矩陣MTT和剛度矩陣KTT的維數(shù)仍然等于結(jié)構(gòu)的界面自由度，對(duì)于劃分成多個(gè)子結(jié)構(gòu)的復(fù)雜結(jié)構(gòu)來說，界面自由度多，界面質(zhì)量和剛度矩陣的維數(shù)仍然較大，這影響了由式(1)計(jì)算系統(tǒng)低頻振動(dòng)特性的計(jì)算效率。

針對(duì)系統(tǒng)界面矩陣維數(shù)較大的問題，文獻(xiàn)［4］等提出了采用特征約束模態(tài)來對(duì)系統(tǒng)界面矩陣進(jìn)行降階的方法，以提高模態(tài)綜合的計(jì)算效率。該方法的基本原理為:界面質(zhì)量矩陣MTT和剛度矩陣KTT是將結(jié)構(gòu)的內(nèi)部自由度靜力聚縮到界面自由度上的矩陣。對(duì)于結(jié)構(gòu)的低頻特性計(jì)算問題，可以只取表征結(jié)構(gòu)中低頻振動(dòng)特性的模態(tài)來對(duì)質(zhì)量和剛度矩陣進(jìn)行降階，以減小振動(dòng)特性的計(jì)算量。為此，先對(duì)式(1)中的界面矩陣進(jìn)行特征分解:

式中，λc為特征值，Θc稱為特征約束模態(tài)［4］，取前m階特征約束模態(tài)Θcm(m＜T)，并對(duì)界面矩陣進(jìn)行降階坐標(biāo)變換:

式中變換后，Kcm和Mcm都是m維的方陣，遠(yuǎn)小于界面自由度數(shù)T。對(duì)式(1)中矩陣副對(duì)角元素進(jìn)行相應(yīng)變換，即可重新構(gòu)成系統(tǒng)降階動(dòng)力學(xué)方程:

求解該方程并進(jìn)行振型回代，即可得到系統(tǒng)中低頻模態(tài)頻率，這就是基于特征約束模態(tài)降階的模態(tài)綜合方法。相對(duì)于式(1)，式(4)所示的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程的界面對(duì)應(yīng)的自由度大為減小，提高了復(fù)雜結(jié)構(gòu)低頻動(dòng)態(tài)特性計(jì)算的效率。

2 低階特征約束模態(tài)的影響

在復(fù)雜結(jié)構(gòu)的振動(dòng)設(shè)計(jì)中，通常只關(guān)心某一中頻段的振動(dòng)特性。采用基于特征約束模態(tài)降階的模態(tài)綜合方法計(jì)算中頻段模態(tài)時(shí)，保留了所有的中低頻主模態(tài)和特征約束模態(tài)，這影響了復(fù)雜結(jié)構(gòu)中頻段模態(tài)的計(jì)算效率。文獻(xiàn)［3］研究了子結(jié)構(gòu)的低階主模態(tài)對(duì)系統(tǒng)中頻模態(tài)有重要影響，并采用了移頻技術(shù)來對(duì)低頻主模態(tài)進(jìn)行截?cái)?。但?duì)于特征約束模態(tài)與系統(tǒng)中頻段模態(tài)的關(guān)系，以及低階特征約束模態(tài)的截?cái)鄦栴}未見相關(guān)報(bào)道，下面將對(duì)這些問題展開研究。

首先研究基于特征約束模態(tài)降階的模態(tài)綜合方法中，低階特征約束模態(tài)對(duì)中頻段模態(tài)的影響。為此，將式(3)中所選取的特征約束模態(tài)Θcm分為需要保留的特征約束模態(tài)Θcma和準(zhǔn)備截掉的模態(tài)Θcmb兩部分。由這兩部分特征約束模態(tài)重新進(jìn)行變換，則變換后式(4)所示的系統(tǒng)降階方程可以重新寫為:

式中，Mcma、Mcmb分別為特征約束模態(tài)Θcma和Θcmb對(duì)應(yīng)系統(tǒng)降階界面質(zhì)量矩陣，系統(tǒng)界面剛度矩陣的相應(yīng)部分的意義相同。對(duì)上式的第三行展開，則模態(tài)坐標(biāo)Qmb可表示為:

以上分析表明，當(dāng)需要計(jì)算系統(tǒng)中頻段模態(tài)時(shí)，低階特征約束模態(tài)不能夠截?cái)啵@使采用基于特征約束模態(tài)降階的模態(tài)綜合方法計(jì)算復(fù)雜結(jié)構(gòu)中頻段模態(tài)時(shí)計(jì)算效率不高。

3 移頻及低階特征約束模態(tài)截?cái)?/h2>

在傳統(tǒng)有限元方法計(jì)算系統(tǒng)中頻模態(tài)時(shí)，可以采用移頻方法來提高結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的計(jì)算效率［7-8］。SHYU等［9-10］將該移頻方法應(yīng)用到了固定界面模態(tài)綜合方法上，提出了準(zhǔn)靜力模態(tài)方法，但子結(jié)構(gòu)矩陣坐標(biāo)變換時(shí)仍然采用移頻前的主模態(tài)，這使變換后的剛度矩陣不解耦，系統(tǒng)特性計(jì)算效率仍然不夠高。文獻(xiàn)［3］進(jìn)一步采用移頻后的剛度矩陣計(jì)算了子結(jié)構(gòu)主模態(tài)，并對(duì)低階主模態(tài)進(jìn)行截?cái)?。但在?fù)雜結(jié)構(gòu)的中頻段振動(dòng)特性計(jì)算中，界面自由度多，此時(shí)系統(tǒng)界面自由度對(duì)應(yīng)的特征約束模態(tài)的截?cái)鄦栴}也顯得相當(dāng)重要，如何減少特征約束模態(tài)的數(shù)量，以進(jìn)一步提高復(fù)雜結(jié)構(gòu)中頻段振動(dòng)特性的計(jì)算效率，未見相關(guān)文獻(xiàn)報(bào)道。下面將采用移頻方法，對(duì)低階特征約束模態(tài)的截?cái)鄦栴}進(jìn)行研究。

假設(shè)需要計(jì)算結(jié)構(gòu)某中頻段內(nèi)的模態(tài)，該頻段內(nèi)系統(tǒng)本身的圓頻率為ω，該頻段的中心圓頻率為ω0。根據(jù)傳統(tǒng)有限元計(jì)算中移頻方法的基本思想，對(duì)子結(jié)構(gòu)的無阻尼自由振動(dòng)微分方程進(jìn)行移頻處理:

式中:x表示子結(jié)構(gòu)物理坐標(biāo)，k和m為子結(jié)構(gòu)物理坐標(biāo)下的剛度和質(zhì)量矩陣。為移頻后的系統(tǒng)模態(tài)圓頻率，其表達(dá)式為:

式中，下標(biāo)i和j分別為內(nèi)部自由度和界面自由度標(biāo)號(hào)，mii為子結(jié)構(gòu)所有內(nèi)部自由度對(duì)應(yīng)的質(zhì)量矩陣，其它矩陣的意義類似。

移頻之后，子結(jié)構(gòu)的靜力模態(tài)變?yōu)?

準(zhǔn)靜力模態(tài)中考慮慣性質(zhì)量的影響，提高了系統(tǒng)模態(tài)的計(jì)算精度。但在子結(jié)構(gòu)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換過程中如果仍然采用移頻前的主模態(tài)，將會(huì)使坐標(biāo)轉(zhuǎn)換后的子結(jié)構(gòu)剛度矩陣不解耦，這將影響系統(tǒng)模態(tài)的計(jì)算量［9］。因此，需要對(duì)子結(jié)構(gòu)剛度矩陣和質(zhì)量矩陣中的內(nèi)部自由度對(duì)應(yīng)的部分重新計(jì)算主模態(tài)，即求解如下特征方程。

式中:λ為子結(jié)構(gòu)主模態(tài)的特征值，φ為子結(jié)構(gòu)主模態(tài)。取子結(jié)構(gòu)的前k階主模態(tài)構(gòu)成向量矩陣:

由移頻后的子結(jié)構(gòu)主模態(tài)和準(zhǔn)靜力模態(tài)，即可構(gòu)成子結(jié)構(gòu)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣為:

由該移頻后的坐標(biāo)變換矩陣，就可以對(duì)子結(jié)構(gòu)的質(zhì)量和剛度矩陣進(jìn)行變換，如對(duì)剛度矩陣的變換過程為:

式中，轉(zhuǎn)換后的剛度矩陣的對(duì)角元素的表達(dá)式為:

式(15)表明，移頻后的子結(jié)構(gòu)剛度矩陣經(jīng)過坐標(biāo)變換后，對(duì)角元素為0，即剛度矩陣實(shí)現(xiàn)了解耦，這使后面模態(tài)綜合的計(jì)算效率較高。

由各子結(jié)構(gòu)的坐標(biāo)變換后的質(zhì)量和剛度矩陣，按基于特征約束模態(tài)降階的模態(tài)綜合方法構(gòu)建系統(tǒng)降階動(dòng)力學(xué)方程。則(5)式所示的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程可以重新表示為:

式(16)中，同樣將前m階特征約束模態(tài)對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)界面自由度分為保留的部分a和準(zhǔn)備截掉的部分b，以研究移頻后各特征約束模態(tài)的貢獻(xiàn)。

將式(16)的第三行展開，并將式(17)代入，則式(6)可重新寫為:

以上推導(dǎo)表明，對(duì)于復(fù)雜結(jié)構(gòu)的中頻段模態(tài)計(jì)算問題，采用移頻技術(shù)后，低階特征約束模態(tài)都可以截?cái)?，需要保留的高階特征約束模態(tài)也更少。相對(duì)于不采用移頻方法，參與計(jì)算的特征約束模態(tài)數(shù)減小，提高了模態(tài)綜合方法對(duì)中頻段問題的計(jì)算效率。

4 算法驗(yàn)證

圖1所示的白車身有限元模型中，采用網(wǎng)格尺寸為20 mm的殼單元來建立個(gè)板件有限元模型，并采用梁?jiǎn)卧獊砟M焊點(diǎn)。共有201 231個(gè)節(jié)點(diǎn)，138 032個(gè)單元，其中包括117 539個(gè)四邊形單元，14 951個(gè)三角形單元和5 542個(gè)梁?jiǎn)卧?。各板件的厚度及材料參?shù)均由廠家提供。

圖1 白車身有限元模型Fig.1 Prototype vehicle mode

在車身上發(fā)動(dòng)機(jī)右安裝點(diǎn)處施加一單位激勵(lì)，頻率為0～400 Hz，采用基于特征約束模態(tài)降階的模態(tài)綜合方法計(jì)算車身0～400 Hz頻率范圍內(nèi)的模態(tài)，并采用模態(tài)疊加法計(jì)算了駕駛員座椅處地板上的振動(dòng)加速度。在160～190 Hz的中頻段上，該點(diǎn)Z方向的振動(dòng)加速度響應(yīng)曲線有明顯的峰值。本文采用移頻方法，來計(jì)算該中頻段內(nèi)的結(jié)構(gòu)響應(yīng)特性，以驗(yàn)證移頻方法對(duì)提高復(fù)雜結(jié)構(gòu)中頻段振動(dòng)響應(yīng)特性計(jì)算效率的有效性。在計(jì)算過程中采用NASTRAN軟件的DMAP語言編寫求解序列，并在一臺(tái)雙核2G內(nèi)存的計(jì)算機(jī)上進(jìn)行計(jì)算。

在160～190 Hz的中頻段上，其中心頻率為ω0=175 Hz。以該中心頻率對(duì)子結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行移頻處理，并對(duì)移頻后的子結(jié)構(gòu)主模態(tài)和特征約束模態(tài)進(jìn)行截?cái)?。?列出了是否采用移頻方法時(shí)，特征約束模態(tài)、子結(jié)構(gòu)主模態(tài)和系統(tǒng)模態(tài)截?cái)嗟念l率及保留的模態(tài)數(shù)。

表1 模態(tài)頻率范圍及階數(shù)對(duì)比Tab.1 Modal frequency range and modal numbers comparison

表1中，fcc、fi、fs分別表示特征約束模態(tài)、主模態(tài)和系統(tǒng)模態(tài)保留的頻率范圍，Ncc、Ni、Ns表示各模態(tài)在其頻率范圍內(nèi)保留的模態(tài)階數(shù)。

在表1中，第一行表示未采用移頻方法的基于特征約束模態(tài)降階的模態(tài)綜合方法的計(jì)算結(jié)果。按照模態(tài)疊加方法的原理，要計(jì)算最高頻率到190 Hz的響應(yīng)加速度，需要2倍以上的系統(tǒng)模態(tài)來進(jìn)行疊加，因此取系統(tǒng)模態(tài)為400 Hz。在基于特征約束模態(tài)降階的模態(tài)綜合方法中，需要保留系統(tǒng)最高計(jì)算頻率的2倍頻率范圍內(nèi)的主模態(tài)和2.5倍頻率范圍內(nèi)的特征約束模態(tài)［5］，因此保留了子結(jié)構(gòu)0～800 Hz以內(nèi)的主模態(tài)和0～1 000 Hz以內(nèi)的系統(tǒng)模態(tài)。

表1的第二行表示采用移頻方法后的計(jì)算結(jié)果。在采用移頻方法計(jì)算的各階模態(tài)中，相當(dāng)于考慮了關(guān)心頻段的中心頻率175 Hz處的慣性質(zhì)量的影響，因此，可以取較窄頻段內(nèi)的模態(tài)來進(jìn)行振動(dòng)響應(yīng)的計(jì)算。文獻(xiàn)［3］中推薦保留關(guān)心頻段寬度的2倍頻帶范圍內(nèi)的主模態(tài)來進(jìn)行模態(tài)綜合計(jì)算。本文需要計(jì)算160～190 Hz頻段范圍內(nèi)的振動(dòng)響應(yīng)，則保留該頻帶寬度的2倍頻段內(nèi)的系統(tǒng)模態(tài)，即保留130～220 Hz范圍內(nèi)的系統(tǒng)模態(tài);相應(yīng)地，取2倍系統(tǒng)模態(tài)頻段寬度，即85～265Hz內(nèi)的子結(jié)構(gòu)主模態(tài)和特征約束模態(tài)來進(jìn)行振動(dòng)特性的計(jì)算。

由表1可見，采用移頻方法后的計(jì)算結(jié)果中(第二行)，需要保留的特征約束模態(tài)頻率范圍fcc，由移頻前的0～100 Hz減小到80～270 Hz，保留的特征約束模態(tài)數(shù)Ncc由1134階減少到了179階。說明采用移頻方法后實(shí)現(xiàn)了低階特征約束模態(tài)的截?cái)?，也保留了更少的高階模態(tài)數(shù)，這與移頻方法的理論推導(dǎo)結(jié)果一致。同時(shí)，采用移頻方法后，保留的子結(jié)構(gòu)主模態(tài)頻率范圍fi和系統(tǒng)模態(tài)頻率范圍fs，以及它們對(duì)應(yīng)的模態(tài)數(shù)Ni和Ns，也都相應(yīng)地減小。說明采用移頻方法后，提高了模態(tài)綜合方法的計(jì)算效率。

采用移頻方法后，駕駛員座椅處地板上的振動(dòng)加速度響應(yīng)如圖2所示。

圖2 振動(dòng)加速度響應(yīng)對(duì)比Fig.2 acceleration computation error comparison

在圖2中，實(shí)線為基于特征約束模態(tài)降階的模態(tài)綜合方法計(jì)算的加速度響應(yīng)，虛線為采用移頻方法后的模態(tài)綜合方法的加速度響應(yīng)。由圖可見，在160～190 Hz的關(guān)心頻段范圍內(nèi)，振動(dòng)加速度響應(yīng)具有較高的計(jì)算精度，離中心頻率175 Hz越遠(yuǎn)，響應(yīng)的計(jì)算精度逐漸變差。

在中頻段振動(dòng)特性的計(jì)算時(shí)間上，采用基于特征約束模態(tài)降階的模態(tài)綜合方法計(jì)算時(shí)需要44分鐘，采用移頻方法后僅需要24分鐘。這是因?yàn)椴捎靡祁l方法后，由于保留的特征約束模態(tài)、子結(jié)構(gòu)主模態(tài)和系統(tǒng)模態(tài)的頻率帶寬度都較窄(如表1中第二行所示)，這減小了系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程的維數(shù)，提高結(jié)構(gòu)中頻段振動(dòng)響應(yīng)的計(jì)算效率。

由以上分析可見，在基于特征約束模態(tài)降階的模態(tài)綜合方法的基礎(chǔ)上，采用移頻方法對(duì)系統(tǒng)中頻段振動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行計(jì)算時(shí)，在保證較好的計(jì)算精度的同時(shí)，減小了計(jì)算時(shí)間，說明本文采用的移頻方法計(jì)算復(fù)雜結(jié)構(gòu)中頻段模態(tài)時(shí)具有較高的計(jì)算效率。

5 結(jié)論

在復(fù)雜結(jié)構(gòu)的中頻段模態(tài)計(jì)算時(shí)，理論推導(dǎo)表明:傳統(tǒng)的模態(tài)綜合方法的低階特征約束模態(tài)對(duì)系統(tǒng)中頻模態(tài)有影響，不能截?cái)?采用移頻方法后，低階特征約束模態(tài)和子結(jié)構(gòu)主模態(tài)的低頻部分都能截?cái)?。該方法?duì)白車身有限元模型的中頻段振動(dòng)特性的計(jì)算結(jié)果表明:采用移頻方法后，有效減少了需要保留的特征約束模態(tài)和子結(jié)構(gòu)主模態(tài)的階數(shù)，縮短了計(jì)算時(shí)間。說明本文所采用的移頻方法提高了復(fù)雜結(jié)構(gòu)中頻段振動(dòng)特性計(jì)算的效率。

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