李興泉,鄧兆祥,李英強(qiáng),章竟成,王騰騰
(1.重慶大學(xué)機(jī)械傳動(dòng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,重慶 400030;2.汽車噪聲振動(dòng)和安全技術(shù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,重慶 400039;3.重慶長安鈴木汽車有限公司,重慶 401321)
固定界面模態(tài)綜合方法將復(fù)雜結(jié)構(gòu)劃分為若干個(gè)子結(jié)構(gòu),采用各子結(jié)構(gòu)的靜力模態(tài)和低階主模態(tài)對(duì)該子結(jié)構(gòu)進(jìn)行降階變換,再將各子結(jié)構(gòu)降階矩陣綜合成系統(tǒng)降階動(dòng)力學(xué)方程,即可求解系統(tǒng)低階動(dòng)態(tài)特性[1-2]。相對(duì)于傳統(tǒng)有限元方法,模態(tài)綜合方法僅保留少數(shù)低階子結(jié)構(gòu)主模[3],因此,其構(gòu)建的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程階數(shù)較低,更適用于復(fù)雜結(jié)構(gòu)的低頻動(dòng)態(tài)特性計(jì)算。但對(duì)于劃分成多個(gè)子結(jié)構(gòu)的復(fù)雜結(jié)構(gòu)來說,其界面自由度多,這影響了系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程的求解效率。為了進(jìn)一步降低界面自由度的數(shù)量,部分文獻(xiàn)采用特征約束模態(tài)進(jìn)行界面自由度降階,即基于特征約束模態(tài)降階的模態(tài)綜合方法[4-6]該方法減少了系統(tǒng)方程中的界面自由度數(shù),提高了模態(tài)綜合方法計(jì)算效率。但在實(shí)際的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)問題中,常常只需要計(jì)算某頻段處的振動(dòng)特性。文獻(xiàn)[3]研究表明,各子結(jié)構(gòu)的低階主模態(tài)對(duì)較高頻率的系統(tǒng)模態(tài)有重要影響,這說明即使只需要計(jì)算系統(tǒng)中頻段模態(tài),也要保留各子結(jié)構(gòu)的低階主模態(tài),這使中頻段模態(tài)的計(jì)算效率不高。在傳統(tǒng)有限元方法計(jì)算系統(tǒng)中頻模態(tài)時(shí),可以采用移頻方法來提高結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的計(jì)算效率[7-8]。SHYU 等[9-10]采用該移頻方法來計(jì)算靜力模態(tài),提出了準(zhǔn)靜力模態(tài)方法,該準(zhǔn)靜力模態(tài)考慮結(jié)構(gòu)慣性質(zhì)量的影響,提高了模態(tài)綜合的求解精度,但文中仍然采用原來的子結(jié)構(gòu)主模態(tài),這導(dǎo)致經(jīng)過坐標(biāo)變換后的子結(jié)構(gòu)剛度矩陣不解耦,影響了模態(tài)綜合的計(jì)算效率。文獻(xiàn)[3]在此基礎(chǔ)上采用移頻后的剛度矩陣計(jì)算子結(jié)構(gòu)主模態(tài),這使坐標(biāo)變換后的子結(jié)構(gòu)剛度矩陣實(shí)現(xiàn)了解耦,文中還研究表明:采用移頻方法后,子結(jié)構(gòu)的低階主模態(tài)對(duì)系統(tǒng)中頻段模態(tài)的影響較小,因此低階的主模態(tài)可以截?cái)?,這提高了系統(tǒng)中頻模態(tài)的計(jì)算效率。但在復(fù)雜結(jié)構(gòu)的中頻段振動(dòng)特性計(jì)算中,界面自由度多,此時(shí)系統(tǒng)界面自由度對(duì)應(yīng)的特征約束模態(tài)的截?cái)鄦栴}也顯得相當(dāng)重要,如何減少特征約束模態(tài)的數(shù)量,以進(jìn)一步提高復(fù)雜結(jié)構(gòu)中頻段振動(dòng)特性的計(jì)算效率,未見相關(guān)文獻(xiàn)報(bào)道。本文推導(dǎo)了低階特征約束模態(tài)對(duì)系統(tǒng)中頻模態(tài)的影響,并采用移頻技術(shù)來解決了低階特征約束模態(tài)的截?cái)鄦栴},提高了模態(tài)綜合方法對(duì)復(fù)雜結(jié)構(gòu)中頻段特性計(jì)算的效率。
本文是研究采用特征約束模態(tài)降階的模態(tài)綜合方法計(jì)算復(fù)雜結(jié)構(gòu)中頻段模態(tài)時(shí),低階特征約束模態(tài)的截?cái)鄦栴},因此,首先對(duì)該模態(tài)綜合方法進(jìn)行簡(jiǎn)單介紹。
基于特征約束模態(tài)降階的模態(tài)綜合方法,是在固定界面模態(tài)綜合方法的基礎(chǔ)上,對(duì)系統(tǒng)質(zhì)量和剛度矩陣中界面自由度對(duì)應(yīng)的部分進(jìn)行特征分解及降階變換,再由降階后的界面矩陣組集成系統(tǒng)降階動(dòng)力學(xué)方程,從而求解系統(tǒng)低階振動(dòng)特性。假設(shè)固定界面模態(tài)綜合方法計(jì)算的廣義坐標(biāo)下無阻尼系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程為[1-2]:
式中:下標(biāo)O和T分別為所有主模態(tài)對(duì)應(yīng)的自由度標(biāo)號(hào)和界面自由度標(biāo)號(hào),MOO、KOO分別為所有子結(jié)構(gòu)主模態(tài)對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)降階質(zhì)量矩陣和剛度矩陣,MTT、KTT分別為所有界面自由度對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)界面質(zhì)量矩陣和剛度矩陣,Q表示系統(tǒng)模態(tài)坐標(biāo)。
由于各子結(jié)構(gòu)只取少數(shù)低階主模態(tài),這使主模態(tài)對(duì)應(yīng)的矩陣MOO和KOO的維數(shù)遠(yuǎn)小于所有子結(jié)構(gòu)的內(nèi)部自由度之和,則式(1)所示的降階系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程的維數(shù)遠(yuǎn)小于有限元模型的自由度數(shù),系統(tǒng)低頻振動(dòng)特性計(jì)算更容易,這是模態(tài)綜合方法更適合于復(fù)雜結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性計(jì)算的原因。
但在式(1)中,系統(tǒng)界面質(zhì)量矩陣MTT和剛度矩陣KTT的維數(shù)仍然等于結(jié)構(gòu)的界面自由度,對(duì)于劃分成多個(gè)子結(jié)構(gòu)的復(fù)雜結(jié)構(gòu)來說,界面自由度多,界面質(zhì)量和剛度矩陣的維數(shù)仍然較大,這影響了由式(1)計(jì)算系統(tǒng)低頻振動(dòng)特性的計(jì)算效率。
針對(duì)系統(tǒng)界面矩陣維數(shù)較大的問題,文獻(xiàn)[4]等提出了采用特征約束模態(tài)來對(duì)系統(tǒng)界面矩陣進(jìn)行降階的方法,以提高模態(tài)綜合的計(jì)算效率。該方法的基本原理為:界面質(zhì)量矩陣MTT和剛度矩陣KTT是將結(jié)構(gòu)的內(nèi)部自由度靜力聚縮到界面自由度上的矩陣。對(duì)于結(jié)構(gòu)的低頻特性計(jì)算問題,可以只取表征結(jié)構(gòu)中低頻振動(dòng)特性的模態(tài)來對(duì)質(zhì)量和剛度矩陣進(jìn)行降階,以減小振動(dòng)特性的計(jì)算量。為此,先對(duì)式(1)中的界面矩陣進(jìn)行特征分解:
式中,λc為特征值,Θc稱為特征約束模態(tài)[4],取前m階特征約束模態(tài)Θcm(m<T),并對(duì)界面矩陣進(jìn)行降階坐標(biāo)變換:
式中變換后,Kcm和Mcm都是m維的方陣,遠(yuǎn)小于界面自由度數(shù)T。對(duì)式(1)中矩陣副對(duì)角元素進(jìn)行相應(yīng)變換,即可重新構(gòu)成系統(tǒng)降階動(dòng)力學(xué)方程:
求解該方程并進(jìn)行振型回代,即可得到系統(tǒng)中低頻模態(tài)頻率,這就是基于特征約束模態(tài)降階的模態(tài)綜合方法。相對(duì)于式(1),式(4)所示的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程的界面對(duì)應(yīng)的自由度大為減小,提高了復(fù)雜結(jié)構(gòu)低頻動(dòng)態(tài)特性計(jì)算的效率。
在復(fù)雜結(jié)構(gòu)的振動(dòng)設(shè)計(jì)中,通常只關(guān)心某一中頻段的振動(dòng)特性。采用基于特征約束模態(tài)降階的模態(tài)綜合方法計(jì)算中頻段模態(tài)時(shí),保留了所有的中低頻主模態(tài)和特征約束模態(tài),這影響了復(fù)雜結(jié)構(gòu)中頻段模態(tài)的計(jì)算效率。文獻(xiàn)[3]研究了子結(jié)構(gòu)的低階主模態(tài)對(duì)系統(tǒng)中頻模態(tài)有重要影響,并采用了移頻技術(shù)來對(duì)低頻主模態(tài)進(jìn)行截?cái)?。但?duì)于特征約束模態(tài)與系統(tǒng)中頻段模態(tài)的關(guān)系,以及低階特征約束模態(tài)的截?cái)鄦栴}未見相關(guān)報(bào)道,下面將對(duì)這些問題展開研究。
首先研究基于特征約束模態(tài)降階的模態(tài)綜合方法中,低階特征約束模態(tài)對(duì)中頻段模態(tài)的影響。為此,將式(3)中所選取的特征約束模態(tài)Θcm分為需要保留的特征約束模態(tài)Θcma和準(zhǔn)備截掉的模態(tài)Θcmb兩部分。由這兩部分特征約束模態(tài)重新進(jìn)行變換,則變換后式(4)所示的系統(tǒng)降階方程可以重新寫為:
式中,Mcma、Mcmb分別為特征約束模態(tài)Θcma和Θcmb對(duì)應(yīng)系統(tǒng)降階界面質(zhì)量矩陣,系統(tǒng)界面剛度矩陣的相應(yīng)部分的意義相同。對(duì)上式的第三行展開,則模態(tài)坐標(biāo)Qmb可表示為:
以上分析表明,當(dāng)需要計(jì)算系統(tǒng)中頻段模態(tài)時(shí),低階特征約束模態(tài)不能夠截?cái)啵@使采用基于特征約束模態(tài)降階的模態(tài)綜合方法計(jì)算復(fù)雜結(jié)構(gòu)中頻段模態(tài)時(shí)計(jì)算效率不高。
在傳統(tǒng)有限元方法計(jì)算系統(tǒng)中頻模態(tài)時(shí),可以采用移頻方法來提高結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的計(jì)算效率[7-8]。SHYU等[9-10]將該移頻方法應(yīng)用到了固定界面模態(tài)綜合方法上,提出了準(zhǔn)靜力模態(tài)方法,但子結(jié)構(gòu)矩陣坐標(biāo)變換時(shí)仍然采用移頻前的主模態(tài),這使變換后的剛度矩陣不解耦,系統(tǒng)特性計(jì)算效率仍然不夠高。文獻(xiàn)[3]進(jìn)一步采用移頻后的剛度矩陣計(jì)算了子結(jié)構(gòu)主模態(tài),并對(duì)低階主模態(tài)進(jìn)行截?cái)?。但在?fù)雜結(jié)構(gòu)的中頻段振動(dòng)特性計(jì)算中,界面自由度多,此時(shí)系統(tǒng)界面自由度對(duì)應(yīng)的特征約束模態(tài)的截?cái)鄦栴}也顯得相當(dāng)重要,如何減少特征約束模態(tài)的數(shù)量,以進(jìn)一步提高復(fù)雜結(jié)構(gòu)中頻段振動(dòng)特性的計(jì)算效率,未見相關(guān)文獻(xiàn)報(bào)道。下面將采用移頻方法,對(duì)低階特征約束模態(tài)的截?cái)鄦栴}進(jìn)行研究。
假設(shè)需要計(jì)算結(jié)構(gòu)某中頻段內(nèi)的模態(tài),該頻段內(nèi)系統(tǒng)本身的圓頻率為ω,該頻段的中心圓頻率為ω0。根據(jù)傳統(tǒng)有限元計(jì)算中移頻方法的基本思想,對(duì)子結(jié)構(gòu)的無阻尼自由振動(dòng)微分方程進(jìn)行移頻處理:
式中:x表示子結(jié)構(gòu)物理坐標(biāo),k和m為子結(jié)構(gòu)物理坐標(biāo)下的剛度和質(zhì)量矩陣。為移頻后的系統(tǒng)模態(tài)圓頻率,其表達(dá)式為:
式中,下標(biāo)i和j分別為內(nèi)部自由度和界面自由度標(biāo)號(hào),mii為子結(jié)構(gòu)所有內(nèi)部自由度對(duì)應(yīng)的質(zhì)量矩陣,其它矩陣的意義類似。
移頻之后,子結(jié)構(gòu)的靜力模態(tài)變?yōu)?
準(zhǔn)靜力模態(tài)中考慮慣性質(zhì)量的影響,提高了系統(tǒng)模態(tài)的計(jì)算精度。但在子結(jié)構(gòu)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換過程中如果仍然采用移頻前的主模態(tài),將會(huì)使坐標(biāo)轉(zhuǎn)換后的子結(jié)構(gòu)剛度矩陣不解耦,這將影響系統(tǒng)模態(tài)的計(jì)算量[9]。因此,需要對(duì)子結(jié)構(gòu)剛度矩陣和質(zhì)量矩陣中的內(nèi)部自由度對(duì)應(yīng)的部分重新計(jì)算主模態(tài),即求解如下特征方程。
式中:λ為子結(jié)構(gòu)主模態(tài)的特征值,φ為子結(jié)構(gòu)主模態(tài)。取子結(jié)構(gòu)的前k階主模態(tài)構(gòu)成向量矩陣:
由移頻后的子結(jié)構(gòu)主模態(tài)和準(zhǔn)靜力模態(tài),即可構(gòu)成子結(jié)構(gòu)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣為:
由該移頻后的坐標(biāo)變換矩陣,就可以對(duì)子結(jié)構(gòu)的質(zhì)量和剛度矩陣進(jìn)行變換,如對(duì)剛度矩陣的變換過程為:
式中,轉(zhuǎn)換后的剛度矩陣的對(duì)角元素的表達(dá)式為:
式(15)表明,移頻后的子結(jié)構(gòu)剛度矩陣經(jīng)過坐標(biāo)變換后,對(duì)角元素為0,即剛度矩陣實(shí)現(xiàn)了解耦,這使后面模態(tài)綜合的計(jì)算效率較高。
由各子結(jié)構(gòu)的坐標(biāo)變換后的質(zhì)量和剛度矩陣,按基于特征約束模態(tài)降階的模態(tài)綜合方法構(gòu)建系統(tǒng)降階動(dòng)力學(xué)方程。則(5)式所示的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程可以重新表示為:
式(16)中,同樣將前m階特征約束模態(tài)對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)界面自由度分為保留的部分a和準(zhǔn)備截掉的部分b,以研究移頻后各特征約束模態(tài)的貢獻(xiàn)。
將式(16)的第三行展開,并將式(17)代入,則式(6)可重新寫為:
以上推導(dǎo)表明,對(duì)于復(fù)雜結(jié)構(gòu)的中頻段模態(tài)計(jì)算問題,采用移頻技術(shù)后,低階特征約束模態(tài)都可以截?cái)?,需要保留的高階特征約束模態(tài)也更少。相對(duì)于不采用移頻方法,參與計(jì)算的特征約束模態(tài)數(shù)減小,提高了模態(tài)綜合方法對(duì)中頻段問題的計(jì)算效率。
圖1所示的白車身有限元模型中,采用網(wǎng)格尺寸為20 mm的殼單元來建立個(gè)板件有限元模型,并采用梁?jiǎn)卧獊砟M焊點(diǎn)。共有201 231個(gè)節(jié)點(diǎn),138 032個(gè)單元,其中包括117 539個(gè)四邊形單元,14 951個(gè)三角形單元和5 542個(gè)梁?jiǎn)卧?。各板件的厚度及材料參?shù)均由廠家提供。
圖1 白車身有限元模型Fig.1 Prototype vehicle mode
在車身上發(fā)動(dòng)機(jī)右安裝點(diǎn)處施加一單位激勵(lì),頻率為0~400 Hz,采用基于特征約束模態(tài)降階的模態(tài)綜合方法計(jì)算車身0~400 Hz頻率范圍內(nèi)的模態(tài),并采用模態(tài)疊加法計(jì)算了駕駛員座椅處地板上的振動(dòng)加速度。在160~190 Hz的中頻段上,該點(diǎn)Z方向的振動(dòng)加速度響應(yīng)曲線有明顯的峰值。本文采用移頻方法,來計(jì)算該中頻段內(nèi)的結(jié)構(gòu)響應(yīng)特性,以驗(yàn)證移頻方法對(duì)提高復(fù)雜結(jié)構(gòu)中頻段振動(dòng)響應(yīng)特性計(jì)算效率的有效性。在計(jì)算過程中采用NASTRAN軟件的DMAP語言編寫求解序列,并在一臺(tái)雙核2G內(nèi)存的計(jì)算機(jī)上進(jìn)行計(jì)算。
在160~190 Hz的中頻段上,其中心頻率為ω0=175 Hz。以該中心頻率對(duì)子結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行移頻處理,并對(duì)移頻后的子結(jié)構(gòu)主模態(tài)和特征約束模態(tài)進(jìn)行截?cái)?。?列出了是否采用移頻方法時(shí),特征約束模態(tài)、子結(jié)構(gòu)主模態(tài)和系統(tǒng)模態(tài)截?cái)嗟念l率及保留的模態(tài)數(shù)。
表1 模態(tài)頻率范圍及階數(shù)對(duì)比Tab.1 Modal frequency range and modal numbers comparison
表1中,fcc、fi、fs分別表示特征約束模態(tài)、主模態(tài)和系統(tǒng)模態(tài)保留的頻率范圍,Ncc、Ni、Ns表示各模態(tài)在其頻率范圍內(nèi)保留的模態(tài)階數(shù)。
在表1中,第一行表示未采用移頻方法的基于特征約束模態(tài)降階的模態(tài)綜合方法的計(jì)算結(jié)果。按照模態(tài)疊加方法的原理,要計(jì)算最高頻率到190 Hz的響應(yīng)加速度,需要2倍以上的系統(tǒng)模態(tài)來進(jìn)行疊加,因此取系統(tǒng)模態(tài)為400 Hz。在基于特征約束模態(tài)降階的模態(tài)綜合方法中,需要保留系統(tǒng)最高計(jì)算頻率的2倍頻率范圍內(nèi)的主模態(tài)和2.5倍頻率范圍內(nèi)的特征約束模態(tài)[5],因此保留了子結(jié)構(gòu)0~800 Hz以內(nèi)的主模態(tài)和0~1 000 Hz以內(nèi)的系統(tǒng)模態(tài)。
表1的第二行表示采用移頻方法后的計(jì)算結(jié)果。在采用移頻方法計(jì)算的各階模態(tài)中,相當(dāng)于考慮了關(guān)心頻段的中心頻率175 Hz處的慣性質(zhì)量的影響,因此,可以取較窄頻段內(nèi)的模態(tài)來進(jìn)行振動(dòng)響應(yīng)的計(jì)算。文獻(xiàn)[3]中推薦保留關(guān)心頻段寬度的2倍頻帶范圍內(nèi)的主模態(tài)來進(jìn)行模態(tài)綜合計(jì)算。本文需要計(jì)算160~190 Hz頻段范圍內(nèi)的振動(dòng)響應(yīng),則保留該頻帶寬度的2倍頻段內(nèi)的系統(tǒng)模態(tài),即保留130~220 Hz范圍內(nèi)的系統(tǒng)模態(tài);相應(yīng)地,取2倍系統(tǒng)模態(tài)頻段寬度,即85~265Hz內(nèi)的子結(jié)構(gòu)主模態(tài)和特征約束模態(tài)來進(jìn)行振動(dòng)特性的計(jì)算。
由表1可見,采用移頻方法后的計(jì)算結(jié)果中(第二行),需要保留的特征約束模態(tài)頻率范圍fcc,由移頻前的0~100 Hz減小到80~270 Hz,保留的特征約束模態(tài)數(shù)Ncc由1134階減少到了179階。說明采用移頻方法后實(shí)現(xiàn)了低階特征約束模態(tài)的截?cái)?,也保留了更少的高階模態(tài)數(shù),這與移頻方法的理論推導(dǎo)結(jié)果一致。同時(shí),采用移頻方法后,保留的子結(jié)構(gòu)主模態(tài)頻率范圍fi和系統(tǒng)模態(tài)頻率范圍fs,以及它們對(duì)應(yīng)的模態(tài)數(shù)Ni和Ns,也都相應(yīng)地減小。說明采用移頻方法后,提高了模態(tài)綜合方法的計(jì)算效率。
采用移頻方法后,駕駛員座椅處地板上的振動(dòng)加速度響應(yīng)如圖2所示。
圖2 振動(dòng)加速度響應(yīng)對(duì)比Fig.2 acceleration computation error comparison
在圖2中,實(shí)線為基于特征約束模態(tài)降階的模態(tài)綜合方法計(jì)算的加速度響應(yīng),虛線為采用移頻方法后的模態(tài)綜合方法的加速度響應(yīng)。由圖可見,在160~190 Hz的關(guān)心頻段范圍內(nèi),振動(dòng)加速度響應(yīng)具有較高的計(jì)算精度,離中心頻率175 Hz越遠(yuǎn),響應(yīng)的計(jì)算精度逐漸變差。
在中頻段振動(dòng)特性的計(jì)算時(shí)間上,采用基于特征約束模態(tài)降階的模態(tài)綜合方法計(jì)算時(shí)需要44分鐘,采用移頻方法后僅需要24分鐘。這是因?yàn)椴捎靡祁l方法后,由于保留的特征約束模態(tài)、子結(jié)構(gòu)主模態(tài)和系統(tǒng)模態(tài)的頻率帶寬度都較窄(如表1中第二行所示),這減小了系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程的維數(shù),提高結(jié)構(gòu)中頻段振動(dòng)響應(yīng)的計(jì)算效率。
由以上分析可見,在基于特征約束模態(tài)降階的模態(tài)綜合方法的基礎(chǔ)上,采用移頻方法對(duì)系統(tǒng)中頻段振動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行計(jì)算時(shí),在保證較好的計(jì)算精度的同時(shí),減小了計(jì)算時(shí)間,說明本文采用的移頻方法計(jì)算復(fù)雜結(jié)構(gòu)中頻段模態(tài)時(shí)具有較高的計(jì)算效率。
在復(fù)雜結(jié)構(gòu)的中頻段模態(tài)計(jì)算時(shí),理論推導(dǎo)表明:傳統(tǒng)的模態(tài)綜合方法的低階特征約束模態(tài)對(duì)系統(tǒng)中頻模態(tài)有影響,不能截?cái)?采用移頻方法后,低階特征約束模態(tài)和子結(jié)構(gòu)主模態(tài)的低頻部分都能截?cái)?。該方法?duì)白車身有限元模型的中頻段振動(dòng)特性的計(jì)算結(jié)果表明:采用移頻方法后,有效減少了需要保留的特征約束模態(tài)和子結(jié)構(gòu)主模態(tài)的階數(shù),縮短了計(jì)算時(shí)間。說明本文所采用的移頻方法提高了復(fù)雜結(jié)構(gòu)中頻段振動(dòng)特性計(jì)算的效率。
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