張 惠,楊智春,張新平,周 建,谷迎松
(1.西北工業(yè)大學(xué) 航空學(xué)院結(jié)構(gòu)動力學(xué)與控制研究所,西安 710072;2.中航陜西飛機(jī)工業(yè)(集團(tuán))公司設(shè)計(jì)院,陜西 漢中 723213)
機(jī)翼的混沌運(yùn)動是飛機(jī)在達(dá)到一定飛行速度后,在氣流激勵下由于結(jié)構(gòu)的彈性力、慣性力和氣動力的耦合作用而產(chǎn)生的一種氣動彈性失穩(wěn)現(xiàn)象。帶有結(jié)構(gòu)非線性的機(jī)翼顫振可能呈現(xiàn)混沌振動的形式[1],混沌運(yùn)動在相空間中沒有確定的軌道,使得用常規(guī)的振動控制技術(shù)來抑制非線性顫振難以獲得預(yù)期的效果。同時,混沌的出現(xiàn)有時伴隨有周期窗口[2-3],周期窗口將會打破混沌顫振區(qū)域的連續(xù)性而使得系統(tǒng)的混沌顫振控制更加困難,因此選取合適的結(jié)構(gòu)參數(shù)來避免在混沌顫振區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)周期窗口,對混沌顫振運(yùn)動的研究和控制具有重要意義。
目前,國內(nèi)外學(xué)者已經(jīng)在非線性動力學(xué)系統(tǒng)的混沌運(yùn)動及其周期窗口的控制方面開展了一些研究,例如:Hekmatollah Alighanbari指出具有結(jié)構(gòu)非線性的機(jī)翼顫振系統(tǒng)的參數(shù)對其混沌運(yùn)動有強(qiáng)烈影響[4]。楊懷江和沈柯明確提出了一種光學(xué)混沌控制技術(shù)——周期窗口控制技術(shù)以及為解決周期窗口找尋困難而開發(fā)的周期窗口搜索及定位技術(shù)[5];鄭國勇和楊翊仁指出超音速氣流中的二元機(jī)翼在速度比線性顫振速度高且在初始條件非常小時,會出現(xiàn)混沌運(yùn)動[6]。以一個具有立方型非線性操縱剛度的帶操縱面二元機(jī)翼[7]為研究對象,基于能量方法和活塞氣動力理論建立起系統(tǒng)的顫振運(yùn)動方程,采用數(shù)值分析方法分析結(jié)構(gòu)參數(shù)對非線性顫振系統(tǒng)混沌運(yùn)動特性以及對混沌顫振區(qū)域內(nèi)周期窗口的影響,提出一種在不降低系統(tǒng)顫振臨界速度的前提下有效控制混沌顫振區(qū)域內(nèi)周期窗口的方法。為合理選擇設(shè)計(jì)參數(shù),最終控制系統(tǒng)的混沌顫振運(yùn)動提供了一條技術(shù)途徑。
帶有操縱面的二元機(jī)翼顫振系統(tǒng)如圖1所示,該系統(tǒng)具有3個自由度,分別為機(jī)翼上下沉浮h,繞彈性軸的扭轉(zhuǎn)角α以及操縱面繞鉸鏈軸的偏轉(zhuǎn)角β。假定操縱面偏轉(zhuǎn)自由度上具有立方型非線性剛度,其剛度特性為Mβ=Kβ(β+eβ3)(e為非線性系數(shù)),由拉格朗日方程可建立帶操縱面二元機(jī)翼的無量綱化顫振運(yùn)動方程[8]:
圖1 帶操縱面的二元機(jī)翼示意圖Fig.1 The sketch of airfoil with control surface
nb為操縱面鉸鏈軸到翼弦中點(diǎn)的距離,xα為機(jī)翼重心距剛心的無量綱距離,xβ為操縱面重心到鉸鏈軸的無量綱距離,rα為機(jī)翼對剛心的無量綱回轉(zhuǎn)半徑,rβ為操縱面對鉸鏈軸的無量綱回轉(zhuǎn)半徑。
采用活塞氣動力理論計(jì)算廣義氣動力[8]:
將(2)式代入(1)式,則可寫成如下的矩陣形式:
O為3階零矩陣,I為3階單位矩陣。
作為非線性動力學(xué)系統(tǒng),當(dāng)初始條件確定后,其動力學(xué)行為將主要取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù),本文研究的二元機(jī)翼非線性顫振系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)見表1。對于具有非線性操縱剛度的帶操縱面二元機(jī)翼,以無量綱來流速度V作為控制參數(shù),采用數(shù)值積分的方法,對顫振運(yùn)動方程進(jìn)行求解,計(jì)算得到操縱面偏轉(zhuǎn)自由度位移幅值的分岔特性圖。通過分岔特性圖來分析非線性操縱剛度、俯仰自由度及操縱面偏轉(zhuǎn)自由度上的阻尼對非線性顫振系統(tǒng)混沌運(yùn)動特性的影響。
在分岔圖中出現(xiàn)混沌的區(qū)域中,可以清楚地看到參量取值(橫坐標(biāo))在某些狹窄的范圍內(nèi)出現(xiàn)周期震蕩,這就是混沌區(qū)內(nèi)的周期窗口[10]。對于周期窗口采用了直接觀測法,在對應(yīng)的分岔圖中,出現(xiàn)混沌的區(qū)域內(nèi),幅值分布明顯縮小的速度區(qū)間,就是出現(xiàn)周期窗口的速度區(qū)間。如果畫出對應(yīng)參數(shù)狀態(tài)下的相圖,將會觀察到明顯的極限環(huán)。
系統(tǒng)的混沌顫振區(qū)域中有一類周期窗口,相對于其它周期窗口,其長度一般都較長,稱為主周期窗口。還有一些相對并不十分明顯的周期窗口,它們的窗口長度一般都較短,且出現(xiàn)位置沒有規(guī)律性,稱為次周期窗口。我們可以通過研究非線性顫振系統(tǒng)混沌顫振區(qū)域內(nèi)周期窗口的個數(shù)以及主周期窗口和次周期窗口出現(xiàn)的區(qū)間長度來研究結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化對非線性顫振系統(tǒng)混沌運(yùn)動特性的影響。
在本文研究的機(jī)翼非線性顫振系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)中,操縱面的操縱剛度系數(shù)(代表非線性的強(qiáng)弱程度)為重要的參數(shù)之一。在其它結(jié)構(gòu)參數(shù)固定不變的情況下,通過改變操縱面的操縱剛度非線性系數(shù)來研究系統(tǒng)在不同強(qiáng)弱程度的非線性操縱剛度下的混沌運(yùn)動特性。對立方型非線性操縱剛度,其等效剛度系數(shù)為Keq=Kβ(1+3/4eβ2)。因此可以通過改變非線性參數(shù)e來研究非線性操縱剛度對系統(tǒng)混沌運(yùn)動特性的影響。取俯仰自由度上的阻尼系數(shù)ζα=0.14,操縱面偏轉(zhuǎn)自由度上的阻尼系數(shù)ζβ=0.16,經(jīng)過數(shù)值積分分別得出e=5,10,20,40 時系統(tǒng)的分岔圖如圖 2(a)~ 圖 2(d)所示。(圖中的速度為無量綱速度)
觀察圖2(a)~圖2(d)可知,當(dāng)e改變時,系統(tǒng)的分岔特性基本不變,系統(tǒng)操縱面偏轉(zhuǎn)自由度上的顫振幅值隨著e的增大而減小。e變化時,系統(tǒng)出現(xiàn)主周期窗口及次周期窗口的無量綱速度區(qū)間基本相同。系統(tǒng)出現(xiàn)主周期窗口的無量綱速度區(qū)間為[4.15,4.35],出現(xiàn)兩個狹窄的次周期窗口的無量綱速度區(qū)間為[4.51,4.54]和[4.74,4.77]。
由此可見,對于本模型而言,系統(tǒng)是否產(chǎn)生混沌運(yùn)動,混沌顫振區(qū)域內(nèi)是否出現(xiàn)周期窗口以及周期窗口對應(yīng)的無量綱速度區(qū)間幾乎不受參數(shù)e的影響。因此,通過改變操縱剛度非線性強(qiáng)弱程度來控制系統(tǒng)混沌現(xiàn)象的發(fā)生以及控制混沌顫振區(qū)域內(nèi)的周期窗口是不可能實(shí)現(xiàn)的。但是,適當(dāng)提高操縱面的操縱剛度系數(shù),可以使系統(tǒng)發(fā)生非線性顫振時的幅值減小,從而降低非線性系統(tǒng)發(fā)生顫振時的危害性。
表1 機(jī)翼顫振系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.1 The structural parameters of the airfoil flutter system
圖2 不同非線性操縱剛度參數(shù)下的系統(tǒng)分岔特性Fig.2 The characteristic of the system at the different nonlinear stiffness of the control surface
在帶操縱面的二元機(jī)翼非線性顫振系統(tǒng)中,操縱面偏轉(zhuǎn)自由度上的阻尼也是系統(tǒng)的一個重要參數(shù)。研究操縱面偏轉(zhuǎn)自由度的阻尼對系統(tǒng)混沌運(yùn)動特性的影響時,取操縱剛度非線性系數(shù)e=10,俯仰自由度上的阻尼系數(shù)ζα=0.14,操縱面偏轉(zhuǎn)自由度上的阻尼系數(shù)分別為 ζβ=0.01,0.03,0.05,0.08,0.10,0.20 時,系統(tǒng)的分岔特性圖如圖3(a)~圖3(f)。
當(dāng)操縱面偏轉(zhuǎn)自由度上的阻尼系數(shù)ζβ=0.01時,如圖3(a)所示,系統(tǒng)只有衰減與發(fā)散兩種運(yùn)動形式,系統(tǒng)的無量綱顫振臨界速度為VF=1.15。當(dāng) ζβ=0.03和0.05時,如圖3(b)和3(c)所示,隨著速度的逐漸增大,系統(tǒng)經(jīng)歷衰減運(yùn)動、極限環(huán)運(yùn)動、混沌運(yùn)動以及發(fā)散運(yùn)動四種運(yùn)動形式,但是混沌顫振區(qū)域內(nèi)沒有周期窗口的出現(xiàn),系統(tǒng)的無量綱顫振臨界速度分別為VF=2.20 和2.27。當(dāng) ζβ=0.08 時,如圖3(d)所示,系統(tǒng)在混沌顫振區(qū)域內(nèi)會出現(xiàn)一個小的周期窗口,其無量綱速度區(qū)間為[3.86,3.88],系統(tǒng)的無量綱顫振臨界速度為VF=2.38。當(dāng) ζβ=0.10 時,如圖 3(e)所示,混沌顫振區(qū)域內(nèi)會出現(xiàn)三個小的周期窗口,對應(yīng)的無量綱速度區(qū)間分別為[3.82,3.88],[4.20,4.23],[4.23,4.25],系統(tǒng)的無量綱顫振臨界速度為VF=2.45。當(dāng)阻尼系數(shù)ζβ=0.20時,如圖3(f)所示,系統(tǒng)的無量綱顫振臨界速度為VF=2.64,主周期窗口的速度區(qū)間為[4.72,4.86],次周期窗口的速度區(qū)間分別為[5.10,5.15]和[5.31,5.35]。
上述分析表明,隨著操縱面偏轉(zhuǎn)自由度上的阻尼的增大,系統(tǒng)的分岔特性會發(fā)生改變,當(dāng)操縱面偏轉(zhuǎn)自由度上的阻尼增大到某個水平時,混沌顫振區(qū)域?qū)⒊霈F(xiàn)周期窗口,且周期窗口對應(yīng)的無量綱速度區(qū)間長度會隨著操縱面阻尼水平的提高而增大,同時系統(tǒng)的無量綱顫振臨界速度會隨著操縱面偏轉(zhuǎn)自由度上阻尼的增大而提高。因此,對于非線性顫振系統(tǒng),雖然降低操縱面偏轉(zhuǎn)自由度上的阻尼水平,可以使混沌顫振區(qū)域內(nèi)的周期窗口得以控制甚至使混沌現(xiàn)象消失,如圖3(a)所示,但是系統(tǒng)的顫振臨界速度也會隨之降低。
對帶有操縱面的二元機(jī)翼,其俯仰自由度的阻尼也是系統(tǒng)可控的一個重要參數(shù),本節(jié)研究俯仰自由度的阻尼對系統(tǒng)混沌運(yùn)動特性的影響。
取操縱面偏轉(zhuǎn)自由度上的阻尼系數(shù)ζβ=0.16,操縱剛度非線性系數(shù)e=10,俯仰自由度上的阻尼系數(shù)分別取為 ζα=0.01,0.05,1。系統(tǒng)的分岔特性圖如 4(a)~圖4(c)。
當(dāng)俯仰自由度上的阻尼系數(shù)ζα=0.01時,如圖4(a)所示,隨速度增加,系統(tǒng)經(jīng)歷衰減運(yùn)動,極限環(huán)顫振以及發(fā)散顫振三種運(yùn)動形式。系統(tǒng)的無量綱顫振臨界速度為VF=1.89。當(dāng) ζα=0.05 時,如圖 4(b)所示,系統(tǒng)在來流速度V=3.08時出現(xiàn)混沌運(yùn)動,但是在系統(tǒng)的混沌顫振區(qū)域內(nèi)沒有周期窗口的出現(xiàn),其無量綱顫振臨界速度為VF=2.38。當(dāng) ζα=0.10 時,由圖4(c)可以看出,系統(tǒng)的無量綱顫振臨界速度為VF=2.48。系統(tǒng)在混沌顫振區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)第一個主周期窗口的無量綱速度區(qū)間為[3.81,3.87],系統(tǒng)出現(xiàn)第二個周期窗口的無量綱速度區(qū)間為[4.14,4.22]。這兩個周期窗口的區(qū)間長度比俯仰自由度阻尼系數(shù)ζα=0.14時(如圖2(b))的周期窗口的區(qū)間長度要短。
上述結(jié)果表明,當(dāng)俯仰自由度上的阻尼減小時,系統(tǒng)的混沌運(yùn)動和周期窗口都可以得到控制,而且其無量綱顫振臨界速度的變化沒有操縱面偏轉(zhuǎn)自由度上的阻尼系數(shù)減小時變化得那么劇烈。
圖3 不同操縱面偏轉(zhuǎn)自由度阻尼水平下的系統(tǒng)分岔特性Fig.3 The bifurcation characteristic of the system at the different damping coefficients in the rotating DOF of control Surface
圖4 不同俯仰自由度阻尼水平下的系統(tǒng)分岔特性Fig.4 The bifurcation characteristic of the system at the different damping coefficients in the pitching DOF of wing
圖5 同時改變操縱面自由度和俯仰自由度阻尼水平時系統(tǒng)的分岔特性Fig.5 The bifurcation Characteristic of the system when changing the damping coefficient in the rotating DOF of control surface and the pitching DOF of wing
通過前面的分析知,單一的減小俯仰自由度上的阻尼或者操縱面偏轉(zhuǎn)自由度上的阻尼,雖然可以控制系統(tǒng)的混沌運(yùn)動以及混沌顫振區(qū)域內(nèi)的周期窗口,但是,系統(tǒng)的無量綱顫振臨界速度會隨著阻尼系數(shù)的減小而降低。這并不是我們所期待的結(jié)果。所以,需要尋求一種在顫振臨界速度不變或者有所提高的前提下來控制系統(tǒng)周期窗口的方法。
以參數(shù) ζα=0.14,ζβ=0.16,e=10 時系統(tǒng)的混沌運(yùn)動特性為參考來進(jìn)行研究。當(dāng)俯仰自由度上的阻尼系數(shù)為ζα=0.25,操縱面偏轉(zhuǎn)自由度上的阻尼系數(shù)為ζβ=0.05時,雖然系統(tǒng)的無量綱顫振臨界速度不變,但是混沌顫振區(qū)域內(nèi)的周期窗口依然沒有消失,如圖5(a)所示。但是當(dāng)俯仰自由度上的阻尼系數(shù)減小到ζα=0.05的同時,將操縱面偏轉(zhuǎn)自由度上的阻尼系數(shù)增大到ζβ=0.20時,此時系統(tǒng)的無量綱顫振臨界速度不僅有所提高,而且混沌顫振區(qū)域內(nèi)的周期窗口消失了,如圖5(b)所示。
因此,可以采用減小俯仰自由度上的阻尼水平同時增加操縱面偏轉(zhuǎn)自由度上阻尼水平的方法,在保證顫振臨界速度不降低的情況下消除機(jī)翼非線性顫振系統(tǒng)混沌顫振區(qū)域內(nèi)的周期窗口,從而能更好控制系統(tǒng)的混沌運(yùn)動。
(1)操縱面剛度的非線性強(qiáng)弱程度對非線性顫振系統(tǒng)出現(xiàn)混沌運(yùn)動的速度區(qū)間影響很小。
(2)改變二元機(jī)翼俯仰自由度或操縱面偏轉(zhuǎn)自由度阻尼水平可以改變系統(tǒng)的混沌運(yùn)動特性,即可以通過改變操縱面偏轉(zhuǎn)自由度或者機(jī)翼俯仰自由度上的阻尼水平來控制系統(tǒng)混沌顫振區(qū)域內(nèi)的周期窗口。
(3)單一的改變操縱面偏轉(zhuǎn)自由度或者機(jī)翼俯仰自由度上的阻尼水平,系統(tǒng)的無量綱顫振臨界速度會隨著阻尼水平的降低而減小。
(4)為了保證系統(tǒng)顫振臨界速度不會減小,可以采用同時改變俯仰自由度上的阻尼水平與操縱面偏轉(zhuǎn)自由度上阻尼水平的方法來控制系統(tǒng)混沌顫振區(qū)域內(nèi)的周期窗口。
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