張 莉，郭海燕，李效民

(中國海洋大學 工程學院，青島 266100)

海洋內(nèi)波是發(fā)生在密度穩(wěn)定層化的海水內(nèi)部的一種波動，其最大振幅出現(xiàn)在海洋內(nèi)部，根據(jù)Roberts［1］的統(tǒng)計，最大垂向振幅甚至高達180 m。內(nèi)孤立波是內(nèi)波的一種，由于非線性效應(yīng)和頻散效應(yīng)的平衡，內(nèi)孤立波在傳播過程中能保持波形和傳播速度不變［2］。大振幅內(nèi)孤立波能引起等密度面快速大振幅上下起伏，并且會導(dǎo)致較大的水平流速，會對海洋平臺、海洋立管和海底管道等海上結(jié)構(gòu)物造成巨大的威脅。尤其是對貫穿于整個海洋水深范圍內(nèi)的立管來說，不論內(nèi)孤立波發(fā)生深度如何，其產(chǎn)生的突發(fā)性強流，必將對立管造成嚴重威脅。由于立管自身的重要性及其對載荷的敏感性，以及較高的投資和維護成本，立管一旦發(fā)生破壞，將會導(dǎo)致巨大的經(jīng)濟損失并引發(fā)嚴重的海洋污染和次生災(zāi)害。關(guān)于內(nèi)波引起海洋工程結(jié)構(gòu)物的破壞已有很多報道。安德曼海的一個石油鉆井機在水下孤立波的作用下移動了 30.48 m，轉(zhuǎn)動 90°［2］。1990 年，在南海流花油田的單井延長測試期間，曾發(fā)生過由內(nèi)波流引起的纜繩拉斷、船體碰撞，甚至拉斷浮標或擠破漂浮軟管的事故［3］。1992年，我國南海東部石油公司在東沙群島附近的半潛式鉆井平臺，由于內(nèi)孤立波引起的強流作用，在不到5 min的時間內(nèi)擺動了110°［4］。近幾年來，國內(nèi)外學者對內(nèi)波的產(chǎn)生、傳播、發(fā)展變化等問題研究較多，而關(guān)于內(nèi)波對海上結(jié)構(gòu)物作用的研究較少。尤云祥等［5］研究了兩層流體中大直徑垂直圓柱體上的水動力特性。石強等［6］研究了兩層流體中表面波和內(nèi)波模態(tài)的水波與水面漂浮矩形箱的相互作用問題。尤云祥等采用CFD的方法，建立數(shù)值波流水槽，對內(nèi)孤立波場中有航速潛體［7］、張力腿平臺［8］等結(jié)構(gòu)進行了數(shù)值模擬，結(jié)果表明內(nèi)波對這些水下結(jié)構(gòu)物的作用都是不容忽視的。蔡樹群等［9］、葉春生等［10］采用Morison公式，理論和數(shù)值求解了內(nèi)波作用于小尺度圓柱體上的荷載。

以上研究大多討論內(nèi)波荷載的分布，或者給出內(nèi)波對結(jié)構(gòu)的總作用力，對于內(nèi)波作用下實際海洋結(jié)構(gòu)物的動力響應(yīng)研究很少。近期，蔣武杰［11］用振型疊加法研究了頂張力立管在內(nèi)孤立波與非均勻海流共同作用下的多模態(tài)振動。本文基于模擬內(nèi)孤立波的KdV-mKdV方程，結(jié)合改進的Morison公式，在時域中建立模擬內(nèi)孤立波作用下頂張力立管極值響應(yīng)的數(shù)值模型，采用有限單元法和Newmark-β法，計算深水立管在內(nèi)波作用下的極值響應(yīng)，并分析了內(nèi)波振幅、立管內(nèi)流、頂張力、彈性模量和壁厚對極值響應(yīng)的影響。

1 數(shù)值模型

1.1 頂張力立管數(shù)值模型

假定頂張力立管在初始位置時垂直，建立坐標系如圖1所示，以立管未變形的位形為z軸，向上為正，取立管底部為坐標原點;x軸水平向右為正。頂張力立管的控制方程可以表述為［12］:

圖1 立管模型圖Fig.1 Top tensioned riser configuration

其中:mr為單位長度立管質(zhì)量，mi為管內(nèi)流體質(zhì)量，c為結(jié)構(gòu)阻尼，E為彈性模量，I為立管的截面慣性矩，V為內(nèi)流速度，F(xiàn)是內(nèi)孤立波引起的x方向的作用力，Te為有效張力。

1.2 內(nèi)孤立波作用數(shù)值模型

采用兩層模型來描述海洋密度沿深度的分布，設(shè)上層流體深度和密度分別為h1與ρ1，下層流體深度和密度分別為h2與 ρ2，總水深為h，密度比為 γ =ρ1/ρ2。建立直角坐標系o'x'z'如圖2所示 ，使o'x'軸位于未擾內(nèi)界面上，o'z'軸垂直向上為正。立管坐標與內(nèi)孤立波坐標之間僅Z坐標有差異，內(nèi)孤立波坐標z'可用立管坐標z表示為:z'=z-h2。振幅為η0的內(nèi)孤立波沿o'x'軸正向傳播，其界面位移η采用海面剛蓋假設(shè)的KdV-mKdV 理論解［13］。

圖2 內(nèi)孤立波對立管作用示意圖Fig.2 Schematic of riser under internal solitary wave

內(nèi)孤立波在上下層流體中引起的水平流速可以分別記為U1和U2，根據(jù)流體動力學和連續(xù)條件有:

采用改進的Morison公式計算內(nèi)孤立波對立管的作用，可以得到考慮立管和內(nèi)孤立波相互作用下單位長度立管上的x方向動力荷載［14］為:

將方程(3)代入方程(1)，進行簡化整理，忽略高階小量后得到以下方程:

(其中，CM=Ca+1)

1.3 有限元離散和求解

采用Galerkin有限元法對立管控制方程進行求解。用Hermit插值函數(shù)對方程(4)進行離散，得到單元矩陣方程:

其中:

質(zhì)量矩陣:

剛度矩陣:

阻尼矩陣:

荷載矩陣:

將各單元矩陣集合至整體矩陣，在時域內(nèi)進行求解。假定立管上下兩端均為鉸接，采用Newmark-β法，對方程(5)在時域內(nèi)進行逐步積分，可以求得內(nèi)孤立波作用下頂張力立管的極值響應(yīng)?；谏鲜鲇嬎惴椒?，本文用 MATLAB編制了相應(yīng)的計算程序 ERIW(Exteme_Response_Internal Wave)。

1.4 程序驗證

為驗證本文的計算程序ERIW，將本文的計算結(jié)果同文獻［11］的計算結(jié)果進行比較。文獻［11］研究了頂張力立管在內(nèi)孤立波與非均勻海流共同作用下的動力響應(yīng)問題，其計算得到的順流向立管動力特性如圖3(a)所示。本文用計算程序ERIW對文獻［11］的算例參數(shù)進行計算，得到結(jié)果如圖3(b)所示。對比圖3(a)和圖3(b)可以看到，按本文方法計算得到的立管順流向各時刻位移與文獻結(jié)果吻合較好，位移最大處的時間歷程基本一致。

圖3 非均勻海流和內(nèi)孤立波作用下立管順流向動力響應(yīng)對比圖Fig.3 Comparison of dynamic results of riser under uniform currents and internal solitary wave

2 算例分析

2.1 內(nèi)波及立管參數(shù)

參照蔡樹群等［15］1992年在南海北部一次孤立子內(nèi)波的實測資料，本數(shù)值模型采取的下凹型內(nèi)孤立波參數(shù)如下:上層水深h1=60 m，密度ρ1=1 025 kg/m3;下層水深h2=412 m、密度 ρ2=1 028 kg/m3，內(nèi)孤立波振幅η0=75 m，持續(xù)時間T=1 100 s。在計算的初始時刻，內(nèi)孤立波波谷距立管軸線1 250 m。立管參數(shù)見表1。

代入內(nèi)波參數(shù)，用計算內(nèi)孤立波引起流速的子程序模擬計算，得到上下層水平流速隨時間的變化，繪成圖4?？梢钥吹剑舷聝蓪拥牧魉俜较蛳喾?，且隨著內(nèi)孤立波的向前傳播，兩層流速均從零逐漸增大，同時到達最大值后再逐漸減小為零。數(shù)值模擬結(jié)果表明:上層流體能達到的最大值為2.086 m/s，下層最大流速為-0.304 m/s，這與文獻［15］中記載的實測速度上層2.097 m/s、下層 -0.31 m/s較為吻合。

表1 立管參數(shù)Tab.1 General material properties of riser

圖4 內(nèi)波引起的水平流速隨時間的變化Fig.4 Time history of horizontal flow velocity induced by internal wave

2.2 頂張力立管的極值響應(yīng)

引入上述內(nèi)孤立波和立管參數(shù)，用本文編制的程序ERIW對南海實測內(nèi)孤立波作用下頂張力立管的極值響應(yīng)進行計算分析。圖4是頂張力立管三個不同節(jié)點處(分別為上層流體中點處、兩層交界面處和下層流體中點處)的順流向位移時程圖?？梢钥吹?，立管的順流向位移在前1/2T內(nèi)，隨著內(nèi)孤立波速度的增大而逐漸增大;當內(nèi)孤立波波谷傳播至立管處 (即1/2T時刻)，立管全長位移最大;之后由于內(nèi)孤立波作用的逐漸減小，立管的位移也逐漸減小，直至最后回到靜力平衡的位形。在此內(nèi)孤立波作用時間內(nèi)，內(nèi)孤立波像是一個緩慢但巨大的沖擊力，會對立管安全造成很大的威脅。

圖5是頂張力立管分別在1/4T、1/2T、3/4T時的順流向位移圖，沿著立管的長度方向，上層流體的順流向位移明顯大于下層流體的順流向位移，這與內(nèi)孤立波上層流速大而下層流速小的流速分布有關(guān)。立管從水面向下52 m處有最大的順流向位移(18.4倍直徑)，此處接近上下層的交界面，兩層流體速度方向相反，對立管有巨大的剪切作用，是最容易發(fā)生破壞的位置。

圖4 不同節(jié)點處的無量綱位移時程圖Fig.4 Time history of dimensionless displacement at different nodes

圖5 立管在不同時刻的無量綱位移Fig.5 Dimensionless displacement at different time

圖6 不同節(jié)點處的應(yīng)力時程圖Fig.6 Time history of stress at different nodes

圖6為立管在三個不同深度處節(jié)點上的應(yīng)力時程圖，可以看到在內(nèi)孤立波經(jīng)過時，立管的應(yīng)力發(fā)生明顯波動。上層流速范圍內(nèi)立管應(yīng)力比下層流速范圍內(nèi)立管應(yīng)力大。當內(nèi)孤立波波谷經(jīng)過立管時，在深度32 m處出現(xiàn)了全長的最大應(yīng)力121.6 MPa。立管位移最大和應(yīng)力最大并未出現(xiàn)在同一深度處。

2.3 各種參數(shù)對內(nèi)波作用下立管極值響應(yīng)的影響

上述計算結(jié)果表明，大振幅內(nèi)孤立波導(dǎo)致立管產(chǎn)生極大的位移和應(yīng)力，會對立管的在位運行產(chǎn)生嚴重威脅，因而探索各種因素對立管極值響應(yīng)的影響程度是十分必要的。表2列舉了振幅從45 m至85 m的內(nèi)孤立波作用下立管的最大位移和應(yīng)力，可以看到，內(nèi)孤立波的振幅對立管的極值響應(yīng)有顯著影響。

表2 不同振幅下立管最大位移和應(yīng)力Tab.2 Max displacement and stress for different amplitude of internal solitary wave

圖7為內(nèi)流分別等于0 m/s、10 m/s、20 m/s時立管在1/2T時刻的順流向位移曲線。結(jié)果表明，隨著內(nèi)流速度的增大，立管的順流向位移也增大，內(nèi)流的存在增加了立管對內(nèi)孤立波的響應(yīng)。圖8是頂張力分別為738 kN、748 kN、758 kN的條件下1/2T時刻立管的位移圖?？梢钥吹剑灰茖τ陧攺埩Φ淖兓潜容^敏感的，頂張力的增加能減小立管在內(nèi)孤立波作用下的順流向位移。

彈性模量對內(nèi)孤立波作用下立管順流向位移的影響如圖9所示，隨著彈性模量的減小，位移增加。立管壁厚對位移的影響可由圖10得到，很明顯，增加壁厚能減小內(nèi)孤立波對立管的作用，可以在不影響工程造價的條件下合理選擇立管壁厚。

圖7 不同內(nèi)流速度下立管的無量綱位移Fig.7 Comparisons of dimensionless displacement under different internal flow velocities

圖8 不同頂張力作用下立管的無量綱位移Fig.8 Comparisons of dimensionless displacement with different top tensions

圖9 不同彈性模量下立管的無量綱位移Fig.9 Comparisons of dimensionless displacement with different elastic modulus

圖10 不同壁厚下立管的無量綱位移Fig.10 Comparisons of dimensionless displacement with different wall thicknesses

3 結(jié)論

本文在 KdV-mKdV方程的基礎(chǔ)上，依據(jù)改進的Morison方程，參照南海實測數(shù)據(jù)，對內(nèi)孤立波作用下的頂張力立管進行了數(shù)值模擬，采用有限單元法和Newmark-β法求解立管振動方程，得到了內(nèi)孤立波作用下立管的位移和應(yīng)力分布，并就內(nèi)孤立波振幅、立管內(nèi)流、頂張力、彈性模量和壁厚對于這一極值響應(yīng)的影響進行了分析。數(shù)值模擬結(jié)果表明:

(1)隨著內(nèi)孤立波不斷向立管行進，內(nèi)孤立波致流速逐漸增大，立管位移也逐漸增大;當內(nèi)孤立波波谷傳到立管中心線時，流速達到最大，同時立管位移和應(yīng)力也達到最大;然后，由于內(nèi)孤立波作用的逐漸減小，立管的位移逐漸減小，直至最后回到初始位形。內(nèi)孤立波的作用像是一個緩慢但巨大的沖擊力，在其作用時間范圍內(nèi)，立管的位移和應(yīng)力發(fā)生了巨大的波動，因此在內(nèi)波頻發(fā)海域的立管計算分析中應(yīng)該考慮內(nèi)孤立波的作用。

(2)沿著立管的長度方向，上層流體部分的順流向位移和應(yīng)力明顯大于下層流體部分的位移和應(yīng)力，這與內(nèi)孤立波的上層流速大而下層流速小的垂向分布有關(guān)。立管鄰近上下層流速的交界處發(fā)生最大順流向位移，由于此處兩層流體速度方向相反，對立管有巨大的剪切作用。

(3)內(nèi)孤立波振幅對立管的極值響應(yīng)有顯著影響，內(nèi)流的存在及立管的各種參數(shù)對極值響應(yīng)均有一定程度的影響。管內(nèi)流體流速越大，立管的順流向位移越大;頂張力越大，順流向位移越小;彈性模量越大，順流向位移越小;壁厚越大，順流向位移越小。

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