謝 展，于德介，李 蓉

(湖南大學(xué)，汽車車身先進(jìn)設(shè)計制造國家重點實驗室，長沙 410082)

前言

發(fā)動機(jī)懸置系統(tǒng)作為發(fā)動機(jī)與車架(車身)的連接部件，對整車振動噪聲的控制有重要影響。文獻(xiàn)［1］中應(yīng)用SQP(sequential quadratic programming)優(yōu)化算法，對懸置剛度進(jìn)行優(yōu)化，使懸置系統(tǒng)的隔振性能顯著提高。文獻(xiàn)［2］中以城市公交車為研究對象，應(yīng)用3種解耦技術(shù)對懸置系統(tǒng)進(jìn)行解耦設(shè)計，降低了動力傳動系統(tǒng)的低頻振動向車身的傳遞。

針對發(fā)動機(jī)懸置系統(tǒng)的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計，國內(nèi)外已做了大量研究工作。文獻(xiàn)［3］中以整車人機(jī)系統(tǒng)為背景，提出了以人體垂向振動加速度均方根的加權(quán)值最小和發(fā)動機(jī)懸置系統(tǒng)能量解耦為綜合目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化模型;文獻(xiàn)［4］中開發(fā)了用于動力總成懸置系統(tǒng)性能分析和優(yōu)化設(shè)計的軟件——SMMOUNT，并利用該軟件進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計，使懸置系統(tǒng)的隔振性能得到改善;文獻(xiàn)［5］中應(yīng)用一種新的種群多樣性保留機(jī)制的遺傳算法，對5自由度的汽車振動模型進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化計算，顯示出多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計的優(yōu)越性。但在現(xiàn)有的發(fā)動機(jī)懸置系統(tǒng)多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計中，沒有考慮懸置參數(shù)的不確定性。

多目標(biāo)穩(wěn)健優(yōu)化方法［6-7］考慮了設(shè)計參數(shù)的不確定性對目標(biāo)函數(shù)的影響，使設(shè)計結(jié)果既優(yōu)化又穩(wěn)健。文獻(xiàn)［8］中提出一種與負(fù)載相關(guān)的控制器設(shè)計方法，對汽車主動懸架系統(tǒng)進(jìn)行多目標(biāo)穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計。文獻(xiàn)［9］中通過加權(quán)方法將多目標(biāo)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化成單目標(biāo)優(yōu)化問題，應(yīng)用蒙特卡洛方法進(jìn)行分析，提高了懸置系統(tǒng)的穩(wěn)健性，但并沒有同時實現(xiàn)6個方向上的完全解耦。采用加權(quán)方法處理多目標(biāo)優(yōu)化問題有其固有劣勢:不能很好地同時滿足各目標(biāo)函數(shù)，特別是在各目標(biāo)函數(shù)之間相互矛盾時。

本文中將多目標(biāo)穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計方法應(yīng)用到汽車發(fā)動機(jī)懸置系統(tǒng)的設(shè)計中，首先建立了發(fā)動機(jī)懸置系統(tǒng)的6自由度動力學(xué)模型，并由此計算懸置系統(tǒng)各個方向上的解耦率和怠速工況下的動反力。以懸置剛度為優(yōu)化變量且考慮其不確定性，假設(shè)懸置剛度服從正態(tài)分布，方差為均值(最佳值)的15%。以6個方向上的解耦率、懸置系統(tǒng)的動反力和動反力的穩(wěn)健性函數(shù)等8個參數(shù)構(gòu)成Pareto多目標(biāo)優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)向量，從而兼顧到解耦率、動反力的優(yōu)化和動反力的穩(wěn)健性。動反力的穩(wěn)健性函數(shù)通過拉丁超立方抽樣得到。應(yīng)用遺傳算法對優(yōu)化模型進(jìn)行全局尋優(yōu)，找到所有Pareto最優(yōu)解，最終得到既優(yōu)化又穩(wěn)健的解。整個計算過程均在Matlab環(huán)境中編寫相關(guān)計算程序完成。以某型轎車為例，對其發(fā)動機(jī)懸置系統(tǒng)進(jìn)行多目標(biāo)穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計，優(yōu)化結(jié)果驗證了多目標(biāo)穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計的有效性。

1 懸置系統(tǒng)的解耦率與動反力

1.1 懸置系統(tǒng)的動力學(xué)模型

動力總成懸置系統(tǒng)的固有頻率一般在30Hz以下，遠(yuǎn)低于動力總成的彈性模態(tài)頻率(一般在60Hz以上)。因此，在處理工程實際問題時，可將發(fā)動機(jī)和車架視為剛體，建立一個6自由度懸置系統(tǒng)動力學(xué)模型，如圖1 所示［1］。

在懸置系統(tǒng)6自由度動力學(xué)模型中，定義定坐標(biāo)系G0—XYZ:原點G0為動力總成的質(zhì)心;X軸與汽車前進(jìn)的方向相反;Y軸與曲軸中心線重合并指向發(fā)動機(jī)前端;Z軸垂直向上。發(fā)動機(jī)的6個自由度分別為:質(zhì)心沿X、Y、Z 軸3個方向的平動 x、y、z和繞 X、Y、Z 軸的轉(zhuǎn)動 θx、θy、θz，其廣義坐標(biāo)為{X}=(x y z θxθyθz)。

根據(jù)拉格朗日方程，可推導(dǎo)出懸置系統(tǒng)的自由振動微分方程為

式中:{X}為廣義坐標(biāo);［M］為質(zhì)量矩陣;［K］為剛度矩陣;［C］為阻尼矩陣。

橡膠懸置元件的阻尼很小，對固有頻率影響較小，因而可忽略阻尼。式(1)可改寫為

根據(jù)上述動力學(xué)模型，在測得發(fā)動機(jī)的質(zhì)量、質(zhì)心坐標(biāo)、轉(zhuǎn)動慣量與慣性積以及各懸置的剛度、安裝位置與角度后，便可求得汽車發(fā)動機(jī)懸置系統(tǒng)的6階固有頻率和振型等動力學(xué)參數(shù)。

1.2 懸置系統(tǒng)的解耦率

懸置系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣一般為非對角陣，表明系統(tǒng)同時存在慣性耦合和彈性耦合。耦合將對懸置系統(tǒng)的隔振性能產(chǎn)生不利影響，為此須進(jìn)行解耦設(shè)計。但是，6個自由度方向上的解耦重要性并非完全等同，其中以繞曲軸(Y軸)方向和垂直(Z 軸)方向的影響最大［3］。

根據(jù)懸置系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣，可求出系統(tǒng)在各階主振動下的能量分布，其矩陣形式定義為能量分布矩陣E。當(dāng)系統(tǒng)以第i階固有頻率振動時，E中第k行l(wèi)列元素為

式中:Mkl為質(zhì)量矩陣的第k行l(wèi)列元素;φi為系統(tǒng)的第i階主振型;(φi)k為系統(tǒng)第i階主振型的第k個元素;(φi)l為系統(tǒng)第i階主振型的第 l個元素;ωi為系統(tǒng)的第i階固有頻率。

懸置系統(tǒng)在第i階模態(tài)下，第k個廣義坐標(biāo)的振動能量占系統(tǒng)總能量的百分比為

式中:Iki為系統(tǒng)第k個廣義坐標(biāo)在第i階模態(tài)下的解耦率，表征了系統(tǒng)在第k個廣義坐標(biāo)上的解耦程度。Iki數(shù)值越大，代表著系統(tǒng)在第k個廣義坐標(biāo)方向上的解耦程度越高，反之則耦合程度越高。一般認(rèn)為，當(dāng)某個方向上的能量解耦率超過85%時，該方向已實現(xiàn)近乎完全解耦。

1.3 懸置系統(tǒng)的動反力

在怠速工況且不考慮阻尼的情況下，發(fā)動機(jī)懸置系統(tǒng)的振動微分方程為

式中{Fe}為怠速工況下系統(tǒng)所受的簡諧激勵力矢量。

系統(tǒng)受迫振動時的穩(wěn)態(tài)解為

第i個懸置傳遞給車身的動反力［1］為

式中:［ki］為第i個懸置在全局坐標(biāo)系中的剛度矩陣;［ri］為第i個懸置位置坐標(biāo)的反對稱陣。

怠速工況下懸置系統(tǒng)傳遞給車身的動反力為

式中:fxi、fyi、fzi分別為第i個懸置在怠速工況下動反力的3個分量。

發(fā)動機(jī)作為汽車兩大振動源之一，其振動傳遞到車身的動反力大小，直接影響汽車的NVH性能，其值越低，則懸置系統(tǒng)隔振性能越好。

2 懸置系統(tǒng)多目標(biāo)穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計

在多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計中，目標(biāo)函數(shù)向量包含有多個目標(biāo)函數(shù)。這些目標(biāo)函數(shù)通常都是相互沖突的，一個目標(biāo)性能的改善常伴隨著另一個目標(biāo)性能的下降。因此，不存在一個優(yōu)化解同時使所有目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最優(yōu)，但存在能同時較好地滿足各個目標(biāo)函數(shù)的解，即 Pareto最優(yōu)解［5］(也稱有效解)。

Pareto多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計主要有兩個分析步驟:(1)找出所有的Pareto最優(yōu)解，其Pareto最優(yōu)解集的完整性決定了設(shè)計工作的成敗，而具有平行性的優(yōu)化算法能夠很好地解決這個問題;(2)在所有的Pareto最優(yōu)解中找到最符合設(shè)計要求的一組Pareto最優(yōu)解，其解決方法很多，如排序法、列表法和加權(quán)法等。因此，隨著優(yōu)化算法的不斷發(fā)展，對多目標(biāo)優(yōu)化問題的處理從最初的加權(quán)多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計發(fā)展到Pareto多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計，其確定性優(yōu)化設(shè)計模型為

式中:f1(X)～fn(X)為須進(jìn)行優(yōu)化的n個目標(biāo)函數(shù);(f1(X)，f2(X)，…，fn(X))為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)向量;S為優(yōu)化設(shè)計空間;X為優(yōu)化設(shè)計變量。

然而，上述模型未考慮設(shè)計變量的不確定性，使設(shè)計結(jié)果不能很好地滿足實際工程要求。發(fā)動機(jī)懸置系統(tǒng)在汽車行駛過程中會受到各種不確定性因素的影響，并且懸置元件在生產(chǎn)制造過程中同樣要受到各種不確定性因素的影響，導(dǎo)致懸置系統(tǒng)的參數(shù)并不能達(dá)到最優(yōu)設(shè)計目標(biāo)值。同時，機(jī)械零部件的制造精度受到制造設(shè)備和現(xiàn)有技術(shù)條件的制約，僅著眼于提高零部件精度對控制生產(chǎn)成本非常不利，且不符合現(xiàn)代設(shè)計理念。因此，懸置系統(tǒng)的穩(wěn)健設(shè)計逐漸為設(shè)計人員所重視，其設(shè)計思路是:承認(rèn)設(shè)計參數(shù)的波動，通過調(diào)整其公稱值并控制其公差范圍來控制零部件的性能，達(dá)到降低零部件的生產(chǎn)制造安裝和使用成本的目的。

在機(jī)械制造和安裝過程中，參數(shù)一般服從正態(tài)分布，而目標(biāo)函數(shù)的分布由設(shè)計變量的分布決定，因此可通過對設(shè)計變量的控制來實現(xiàn)對目標(biāo)函數(shù)的控制。本文中假設(shè)設(shè)計變量(懸置剛度)服從正態(tài)分布，且方差為均值的15%，同時將目標(biāo)函數(shù)的穩(wěn)健性函數(shù)引入到目標(biāo)函數(shù)向量中，以找到既滿足各目標(biāo)函數(shù)要求又滿足穩(wěn)健性要求的解。所建立的多目標(biāo)穩(wěn)健優(yōu)化模型為

式中:K為設(shè)計變量，即懸置剛度，共9個;Kmax與Kmin分別為懸置剛度取值的上下限;f1(K)～f6(K)為懸置系統(tǒng)在6個自由度方向上的解耦率，由式(4)計算得到;f7(K)為懸置系統(tǒng)在怠速工況下動反力的倒數(shù)，由式(9)計算得到;fr7(K)為動反力的穩(wěn)健性函數(shù)［10］，其表達(dá)式為

式中:μf7與σf7分別為動反力的均值和方差，其比值反映出懸置剛度的不確定性對動反力不確定性的影響，通過拉丁超立方抽樣［11］得到其值。

在建立懸置系統(tǒng)多目標(biāo)穩(wěn)健優(yōu)化模型后，找到一組既優(yōu)化又穩(wěn)健的設(shè)計解主要包含兩個步驟:(1)在不考慮穩(wěn)健性函數(shù)的多目標(biāo)模型中應(yīng)用遺傳算法找到所有的Pareto最優(yōu)解，這些解都能滿足解耦率和動反力的要求;(2)對每一組Pareto最優(yōu)解進(jìn)行拉丁超立方抽樣，以評價每一組Pareto最優(yōu)解動反力的穩(wěn)健性，并在所有的Pareto最優(yōu)解中找到穩(wěn)健性好的設(shè)計解，最終得到既優(yōu)化又穩(wěn)健的解。拉丁超立方抽樣一般有以下3個步驟:第1步是對每一維(即每個隨機(jī)參數(shù))依據(jù)其概率分布函數(shù)進(jìn)行等概率分層，共分成互不重疊的m個區(qū)間;第2步是在每一維的每一個區(qū)間里隨機(jī)抽取一個數(shù);第3步是從每一維中隨機(jī)抽取一個數(shù)組成隨機(jī)參數(shù)向量。將拉丁超立方抽樣得到的隨機(jī)參數(shù)向量代入動反力函數(shù)，進(jìn)而計算出動反力的均值和方差，二者的比值即為動反力穩(wěn)健性函數(shù)。

懸置系統(tǒng)多目標(biāo)穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計流程見圖2。

3 優(yōu)化設(shè)計實例

以某型轎車的發(fā)動機(jī)懸置系統(tǒng)為對象進(jìn)行多目標(biāo)穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計，以驗證該方法的有效性。懸置系統(tǒng)采用三點支撐，在低速和怠速工況下其靜剛度值［12］如表1 所示。

表1 優(yōu)化前各懸置的靜剛度值 N/mm

優(yōu)化前該車懸置系統(tǒng)動反力F=673.17N，各階固有頻率和能量分布百分比如表2所示。

從表2可看出，汽車發(fā)動機(jī)懸置系統(tǒng)的最低頻率為5.10Hz，最高為25.78Hz，固有頻率的區(qū)間范圍偏大，會增加共振現(xiàn)象發(fā)生的概率。懸置系統(tǒng)各自由度的能量分布也不理想，雖然有3個方向上的能量分布百分比超過了90%，但是兩個最重要的方向——繞曲軸(Y軸)方向和垂直(Z軸)方向上的能量分布百分比均未超過85%，沒有實現(xiàn)完全解耦，振動耦合現(xiàn)象比較嚴(yán)重。

表2 優(yōu)化前懸置系統(tǒng)固有頻率和能量分布百分比

考慮懸置剛度的不確定性，應(yīng)用蒙特卡洛法對動反力進(jìn)行隨機(jī)模擬計算，并分析懸置剛度不確定性對動反力不確定性的影響。假設(shè)懸置剛度服從正態(tài)分布，方差為均值(最佳值)的15%，可得動反力均值為μF=680.39N，方差為σF=71.83，由此可知動反力的穩(wěn)健性函數(shù)值為9.47。

對于上述懸置系統(tǒng)采用多目標(biāo)穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計方法進(jìn)行優(yōu)化，以汽車發(fā)動機(jī)懸置系統(tǒng)的剛度參數(shù)為優(yōu)化對象，建立如式(10)所示的懸置系統(tǒng)多目標(biāo)穩(wěn)健優(yōu)化模型，并按圖2的優(yōu)化設(shè)計流程進(jìn)行求解。懸置剛度過大雖然能減小發(fā)動機(jī)和懸置系統(tǒng)的位移，但會使懸置系統(tǒng)的動反力增加，從而導(dǎo)致振動傳遞力的上升;懸置剛度過小則會導(dǎo)致發(fā)動機(jī)和懸置系統(tǒng)的位移增大，造成發(fā)動機(jī)與其它零部件間的運動干涉［12］。在優(yōu)化計算過程中，懸置剛度的上下限分別取為305N/mm和50N/mm。應(yīng)用遺傳優(yōu)化算法，并在Matlab環(huán)境中編寫相關(guān)計算程序求解懸置系統(tǒng)多目標(biāo)穩(wěn)健優(yōu)化模型，得到優(yōu)化后的剛度參數(shù)如表3所示。優(yōu)化后得到的系統(tǒng)固有頻率和能量分布百分比如表4所示。

表3 優(yōu)化后各懸置的靜剛度值 N/mm

由表3和表4可看出，對懸置剛度進(jìn)行調(diào)整，提高了懸置系統(tǒng)的隔振性能。優(yōu)化后懸置系統(tǒng)的最低頻率為6.82Hz，最高頻率為25.17Hz，減小了固有頻率的區(qū)間范圍。雖然在X方向和Y方向上的能量分布百分比稍有降低，但其它方向的能量分布百分比提高了，特別是繞Y軸和繞Z軸方向。系統(tǒng)實現(xiàn)了6個自由度方向的近乎完全解耦，減小了系統(tǒng)的振動耦合現(xiàn)象，提高了隔振性能。

表4 優(yōu)化后懸置系統(tǒng)固有頻率和能量百分比

優(yōu)化后的動反力F=24.89N，其值大幅降低。經(jīng)拉丁超立方抽樣，動反力均值為μF=26.10N，方差為σF=1.41，動反力的穩(wěn)健性函數(shù)值為18.51，相比優(yōu)化前穩(wěn)健性得到了較大提高。

4 結(jié)論

(1)將多目標(biāo)優(yōu)化與穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計相結(jié)合，對發(fā)動機(jī)懸置系統(tǒng)進(jìn)行多目標(biāo)穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計。該方法考慮了懸置剛度的不確定性，并將動反力的穩(wěn)健性函數(shù)加入到多目標(biāo)優(yōu)化模型的目標(biāo)函數(shù)向量中，從而兼顧了多個目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化及其穩(wěn)健性。本文方法先通過遺傳算法求得多目標(biāo)優(yōu)化模型的Pareto最優(yōu)解集，再通過拉丁超立方抽樣從Pareto最優(yōu)解集中找到穩(wěn)健性好的優(yōu)化設(shè)計解，使汽車發(fā)動機(jī)懸置系統(tǒng)的設(shè)計結(jié)果既優(yōu)化又穩(wěn)健。

(2)對某轎車發(fā)動機(jī)懸置系統(tǒng)進(jìn)行多目標(biāo)穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計，縮小了懸置系統(tǒng)固有頻率的區(qū)間范圍，降低了共振現(xiàn)象發(fā)生的概率;懸置系統(tǒng)在6個自由度方向上的解耦率均超過85%;動反力明顯減小，其穩(wěn)健性也明顯提高，滿足工程實際要求。

［1］ 周冠南，蔣偉康，吳海軍.基于總傳遞力最小的發(fā)動機(jī)懸置系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計［J］.振動與沖擊，2008，27(8):56-58.

［2］ Ali El Hafidi，Bruno Martin，Alexandre Loredo，et al.Vibration Reduction on City Buses:Determination of Optimal Position of Engine Mounts［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2010，24(7):2198-2209.

［3］ 樊興華，陳金玉，黃席樾.發(fā)動機(jī)懸置系統(tǒng)多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計［J］.重慶大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2001，24(2):41-44.

［4］ 史文庫，洪澤浩，趙濤.汽車動力總成多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計及軟件開發(fā)［J］.吉林大學(xué)學(xué)報(工學(xué)版)，2006，36(5):654-658.

［5］ Nariman-Zadeh N，Salehpour M，Jamali A，et al.Pareto Optimization of a Five-degree of Freedom Vehicle Vibration Model Using a Multi-objective Uniform-diversity Genetic Algorithm(MUGA)［J］.Engineering Applications of Artificial Intelligence，2010，23(4):543-551.

［6］ Soares G L，Parreiras R O，Jaulin L，et al.Interval Robust Multiobjective Algorithm［J］.Nonlinear Analysis，2009，71(12):e1818-e1825.

［7］ Lagaros Nikos D，Plevris Vagelis.Multi-objective Design Optimization Using Cascade Evolutionary Computations［J］.Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering，2005，194(30-33):3496-3515.

［8］ Gao Huijun，Lam James，Wang Changhong.Multi-objective Control of Vehicle Active Suspension Systems via Load-dependent Controllers［J］.Journal of Sound and Vibration，2006，290(3-5):654-675.

［9］ 張武，陳劍，夏海.基于靈敏度分析的發(fā)動機(jī)懸置系統(tǒng)穩(wěn)健性優(yōu)化設(shè)計［J］.汽車工程，2009，31(8):728-732.

［10］ Ghanmi S.Robust Multi-objective and Multi-level Optimization of Complex Mechanical Structures［J/OL］.http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0888327011001063，2011-02-11/2011-05-27.

［11］ Helton J C，Davis F J.Latin Hypercube Sampling and the Propagation of Uncertainty in Analyses of Complex Systems［J］.Reliability Engineering and System Safety，2003，81(1):23-69.

［12］ 王峰.汽車動力總成懸置系統(tǒng)振動分析及優(yōu)化設(shè)計［D］.上海:上海交通大學(xué)，2008:1-70.