馮治國

貴州大學(xué)，貴陽，550025

0 引言

步行訓(xùn)練機(jī)器人系統(tǒng)LOKOMAT、LOPES、GBO是針對脊椎損傷（spinal cord injury，SCI）患者進(jìn)行步態(tài)康復(fù)訓(xùn)練的自動(dòng)化設(shè)備中的典型代表。該類機(jī)器人具有 “機(jī)器主動(dòng)”和“患者主動(dòng)”兩種運(yùn)動(dòng)訓(xùn)練模式?！皺C(jī)器主動(dòng)”和“患者主動(dòng)”運(yùn)動(dòng)訓(xùn)練模式的控制策略研究已成為國際康復(fù)訓(xùn)練機(jī)器人領(lǐng)域的熱點(diǎn)。文獻(xiàn)［1－2］為 LOKOMAT機(jī)器人主動(dòng)訓(xùn)練模式設(shè)計(jì)了比例－微分（proportion－differential，PD）反饋位置控制器，采用力／位置混合自適應(yīng)控制方法，實(shí)現(xiàn)了患者主動(dòng)訓(xùn)練。文獻(xiàn)［3－4］在研究阻抗控制基礎(chǔ)上，提出了自適應(yīng)協(xié)作控制算法，實(shí)現(xiàn)了LOPES與患者交互作用力的控制。文獻(xiàn)［5－6］采用PD反饋軌跡跟蹤控制方法實(shí)現(xiàn)了GBO的機(jī)器主動(dòng)訓(xùn)練，且提出了基于阻抗控制的患者主動(dòng)訓(xùn)練控制算法。上述控制方法大多忽略了機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型以及環(huán)境等不確定因素，這將影響對期望關(guān)節(jié)角位移和力矩的跟蹤能力，以至于影響對康復(fù)訓(xùn)練以及評估參數(shù)的提取。

本文針對研究的步行康復(fù)訓(xùn)練助行腿機(jī)器人系統(tǒng)，采用拉格朗日法，建立了“機(jī)器主動(dòng)”運(yùn)動(dòng)訓(xùn)練模式下人機(jī)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，且設(shè)計(jì)了基于計(jì)算力矩加PD反饋的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器，以實(shí)現(xiàn)助行腿機(jī)器人與患者系統(tǒng)的主從跟隨控制，彌補(bǔ)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型的不確定性，提高助行腿軌跡跟蹤能力。

1 助行腿機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型

為了研究助行腿步行動(dòng)態(tài)特性，根據(jù)減重步行原理，結(jié)合助行腿的結(jié)構(gòu)（圖1），作如下假設(shè)：①助行腿在矢狀面上運(yùn)動(dòng)，即髖關(guān)節(jié)、膝關(guān)節(jié)只是彎屈、伸展運(yùn)動(dòng)；②助行腿的髖關(guān)節(jié)在水平方向運(yùn)動(dòng)被限制，只在垂直方向運(yùn)動(dòng)；③支撐腳連續(xù)接觸跑步機(jī)，并隨跑步機(jī)一起運(yùn)動(dòng)；④單條助行腿是三連桿機(jī)構(gòu)，包括髖關(guān)節(jié)、膝關(guān)節(jié)、踝關(guān)節(jié)、大腿、小腿和腳；⑤“機(jī)器主動(dòng)”訓(xùn)練時(shí)，訓(xùn)練患者的腿與助行腿視為一體，即助行腿的負(fù)載變?yōu)楣逃匈|(zhì)量。助行腿機(jī)器人在跑步機(jī)上的步行模型如圖2所示。圖2中模型參數(shù)描述見表1。

圖1 助行腿機(jī)器人

圖2 助行腿機(jī)器人步行模型

表1 助行腿模型參數(shù)

由步行模式分析可知，在一個(gè)完整步態(tài)周期內(nèi)，助行腿在跑步機(jī)上步行包括單足支撐階段和雙足支撐階段，但由于運(yùn)動(dòng)約束條件不同，動(dòng)力學(xué)參數(shù)有區(qū)別。因此，針對步行周期的兩個(gè)階段，分別建立動(dòng)力學(xué)方程，討論系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性。

1.1 助行腿單足支撐動(dòng)力學(xué)模型

助行腿單足支撐時(shí)，支撐腿跟隨跑步機(jī)運(yùn)動(dòng)，擺動(dòng)腿處于懸空狀態(tài)。此時(shí)，由圖2所示位置關(guān)系，可求出每桿的質(zhì)心位置矢量為

支撐腳端點(diǎn)位置矢量為

將式（1）～式（6）求導(dǎo)，可得相應(yīng)位置的速度矢量為

因此，根據(jù)質(zhì)心位置和速度即可求出系統(tǒng)拉格朗日能量函數(shù)：

式中，g為重力加速度；In為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

對式（13）求偏導(dǎo)和導(dǎo)數(shù)，建立第一類歐拉－拉格朗日方程，并避免冗余驅(qū)動(dòng)，設(shè)T0＝0（Ti為關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)力矩，i＝0，1，…，5），則有

將式（14）寫成下面的標(biāo)準(zhǔn)形式：

式中，mf為腳的質(zhì)量。

1.2 助行腿雙足支撐動(dòng)力學(xué)模型

在雙足支撐階段，雙足與跑步機(jī)接觸，且沒有相對滑動(dòng)，因此構(gòu)成閉鏈結(jié)構(gòu)，動(dòng)力學(xué)模型的建立存在運(yùn)動(dòng)約束問題。運(yùn)動(dòng)約束方程為

利用約束方程產(chǎn)生雅可比矩陣J（θ），將雙足所受跑步機(jī)施加的作用力f映射到關(guān)節(jié)空間。因此，用與單足支撐動(dòng)力學(xué)相同的推導(dǎo)方法，可求出雙足支撐時(shí)動(dòng)力學(xué)方程為

式（20）中各系數(shù)矩陣含義同式 （15），MD是5×5對稱慣性力矩陣，CD為5×5反對稱向心力和哥氏力矩陣，GD為5×1重力矩陣，TD為關(guān)節(jié)力矩。

2 基于計(jì)算力矩加PD反饋的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控

“機(jī)器主動(dòng)”訓(xùn)練模式時(shí)，文獻(xiàn)［7］中采用的計(jì)算力矩加比例加PD控制方法由于受系統(tǒng)的不確定因素影響，只能實(shí)現(xiàn)有偏跟蹤。為此，本文利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具備的逼近任何非線性函數(shù)的能力、自學(xué)習(xí)及自適應(yīng)能力，對到助行腿機(jī)器人關(guān)節(jié)計(jì)算力矩的不確定性部分進(jìn)行補(bǔ)償控制，以提高系統(tǒng)軌跡跟蹤能力，實(shí)現(xiàn)無偏軌跡跟蹤。

目前，應(yīng)用于非線性系統(tǒng)辨識和控制中的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)主要有反向傳播（backpropagation，BP）和徑向基函數(shù)（radial basis function，RBF）。兩者主要區(qū)別在于非線性映射上作用函數(shù)不同，前者的S作用函數(shù)是全局的，后者的RBF作用函數(shù)為局部的，較前者結(jié)構(gòu)更為簡單，網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化速度更快［8－10］。因此，本文將徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用于助行腿機(jī)器人補(bǔ)償控制，消除控制中的不確定性因素。

由圖3所示的基于計(jì)算力矩加PD反饋的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)補(bǔ)償控制方案可以看出，控制助行腿機(jī)器人的輸入為

TCT是計(jì)算力矩控制器的輸出；TNNC是RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)補(bǔ)償控制力矩，定義為

其中，M（θ）為慣性矩陣是助行腿系統(tǒng)中不確定性f′的估計(jì)，定義為

式中，φ（X）為高斯函數(shù)的輸出最佳RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值W＊的估計(jì)值；ci為高斯基函數(shù)的中心矢量；σi為高斯基函數(shù)形狀的寬度。

圖3 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)補(bǔ)償控制

由文獻(xiàn)［7］中計(jì)算力矩加PD反饋控制器可知：

式中，KD為微分增益矩陣；KP為比例增益矩陣；C（θ）為哥氏力矩陣；G（θ）為重力矩陣；e為角度偏差為期望加速度。

由式（15）、式（21）～ 式（24），可得

式（25）表示機(jī)器人逆向動(dòng)力學(xué)建模誤差與跟蹤誤差之間的關(guān)系，可以將其用狀態(tài)空間的形式表達(dá)如下：

式中，η為RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模誤差。

當(dāng)神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)權(quán)值更新選取很合適時(shí)，系統(tǒng)跟蹤誤差向量是漸進(jìn)穩(wěn)定的。定義Lyapunov函數(shù)為

式中，P為正定矩陣。

由式（26）、式（28）得到：

將Lyapunov方程PA＋ATP＝－Q代入式（29）可得

則式（31）可寫成：

式中，λmin（Q）、λmax（P）分別為矩陣Q、P的最小、最大特征值；η0為建模誤差的上界。

即系統(tǒng)誤差收斂條件為

通過分析式（35）可知，Q的特征值越大，P的特征值越小，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模誤差η的上界η0越小則X越收斂，跟蹤效果越好。此神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是無重構(gòu)誤差的理想狀況，實(shí)際中存在誤差，該方法無法保證神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值的有界性。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值的自適應(yīng)調(diào)整為

由式（31）、式（37）可得

根據(jù)范數(shù)性質(zhì)，可推出：

式中，Wmax為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值中的最大值。

由式（38）～ 式（40）可得

即收斂條件：

采用上述方法可保證控制系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值一致且最終有界，系統(tǒng)不確定因素導(dǎo)致的建模誤差域 ‖η0‖ 決定系統(tǒng)跟蹤誤差收斂域‖X‖。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

本文利用建立的ADAMS－MATLAB助行腿機(jī)器人虛擬樣機(jī)協(xié)同仿真平臺進(jìn)行助行腿動(dòng)力學(xué)模型和運(yùn)動(dòng)控制算法的仿真驗(yàn)證。仿真實(shí)驗(yàn)中，助行腿機(jī)器人步行模型機(jī)構(gòu)參數(shù)見表2。仿真數(shù)據(jù)是利用美國Motion Analysis公司的Hawk數(shù)字動(dòng)作捕捉及分析系統(tǒng)在跑步機(jī)上進(jìn)行真人步行實(shí)驗(yàn)時(shí)采集的步態(tài)數(shù)據(jù)，采樣周期為0.02s，步態(tài)為周期1s，步長為0.5m。

表2 助行腿的結(jié)構(gòu)參數(shù)

為對比分析計(jì)算力矩加比例加PD控制和基于計(jì)算力矩加PD反饋的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制方法的軌跡跟蹤效果，首先進(jìn)行計(jì)算力矩加PD控制方法的仿真，經(jīng)過多次仿真實(shí)驗(yàn)，調(diào)整比例微分參數(shù)，確定KP=diag［50 50］，KD=diag［50 50］。在RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)補(bǔ)償控制方法中，取KP、KD取值相同。由于助行腿雙腿可以視為兩個(gè)獨(dú)立控制體，所以將助行腿每條單腿作為控制單元，輸入層為單腿兩關(guān)節(jié)期望軌跡值與虛擬樣機(jī)虛擬傳感器測得實(shí)際的偏差值（下標(biāo)h、k、a分別表示髖關(guān)節(jié)、膝關(guān)節(jié)、踝關(guān)節(jié)，輸出層為對應(yīng)關(guān)節(jié)的補(bǔ)償力矩傳遞函數(shù)為高斯函數(shù)，仿真時(shí)初始權(quán)值W設(shè)為［－10，10］之間的隨機(jī)數(shù)，將隱元中心設(shè)為ci＝［－2 －1 0 1 2］，bi＝［1］（i＝1，2，3，4），助行腿各關(guān)節(jié)位置誤差和初始速度均設(shè)為零。采用方法（2）的自適應(yīng)權(quán)值調(diào)整律。

從圖4和圖5可知，髖關(guān)節(jié)、膝關(guān)節(jié)和踝關(guān)節(jié)角位移誤差范圍分別為－0.156～0.28rad、－0.146～0.08rad、－0.005～0.095rad；髖關(guān)節(jié)角、膝關(guān)節(jié)角和踝關(guān)節(jié)角速度誤差范圍分別為－0.18～0.2rad／s、－0.39～0.41rad／s、－0.33～0.22rad／s。上 述 結(jié)果表明計(jì)算力矩加PD控制方法能夠達(dá)到預(yù)期的控制效果。但此方法控制效果容易受以下因素的影響：①系統(tǒng)建模誤差、擾動(dòng)等一些不確定因素；②計(jì)算力矩中由于采取簡化計(jì)算或近似算法，導(dǎo)致助行腿的連桿質(zhì)量分布及轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算不準(zhǔn)確，引入額外誤差；③由于忽略助行腿中一些小零件，因此計(jì)算力矩沒有考慮小部件影響，產(chǎn)生偏差。圖6和圖7是引入RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)補(bǔ)償控制的仿真結(jié)果，髖關(guān)節(jié)、膝關(guān)節(jié)角和踝關(guān)節(jié)角位移誤差范圍分別為－0.053～0.087rad、－0.043～0.025rad、－0.027～0.023rad；髖關(guān)節(jié)、膝關(guān)節(jié)和踝關(guān)節(jié)角速度誤差范圍分別為－0.063～0.068rad／s、－0.086～0.096rad／s、－ 0.098 ～0.088rad／s。對比分析結(jié)果，采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對計(jì)算力矩誤差進(jìn)行補(bǔ)償后，助行腿的關(guān)節(jié)角位移、角速度誤差變得更小，一定程度上提高了計(jì)算力矩的精度，使得助行腿關(guān)節(jié)軌跡跟蹤能力明顯提高。

圖4 關(guān)節(jié)角位移曲線

圖5 關(guān)節(jié)角速度曲線

4 系統(tǒng)測試實(shí)驗(yàn)

根據(jù)設(shè)計(jì)的“機(jī)器主動(dòng)”訓(xùn)練模式控制策略，在搭建的樣機(jī)平臺上進(jìn)行無人空載步行實(shí)驗(yàn)，以測試系統(tǒng)在空載下助行腿關(guān)節(jié)的軌跡跟隨情況。

實(shí)驗(yàn)過程中，為了檢驗(yàn)助行腿關(guān)節(jié)軌跡跟隨狀況，采用編碼器反饋采集外骨骼關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)軌跡。采用模擬量輸出的編碼器容易受電磁干擾，本實(shí)驗(yàn)中主要受伺服電機(jī)的影響。為了消除不確定干擾因素，對編碼器的輸出進(jìn)行濾波、添加屏蔽線等操作。為進(jìn)一步檢驗(yàn)編碼器反饋數(shù)據(jù)是否滿足要求，使用NDI運(yùn)動(dòng)捕捉儀進(jìn)行助行腿關(guān)節(jié)軌跡檢測。圖8～圖10所示為5s步態(tài)周期空載狀況下，外骨骼助行腿髖關(guān)節(jié)、膝關(guān)節(jié)和踝關(guān)節(jié)的期望軌跡、編碼器采集數(shù)據(jù)和NDI運(yùn)動(dòng)捕捉儀采集數(shù)據(jù)的比較。髖關(guān)節(jié)誤差在±1°內(nèi)，膝關(guān)節(jié)，踝關(guān)節(jié)誤差在±0.5°內(nèi)。圖中表明，理論值與編碼器采集數(shù)據(jù)最大誤差產(chǎn)生在關(guān)節(jié)的最大角度處，主要是由于步行過程中助行腿的慣性引起的，此外，助行腿系統(tǒng)機(jī)械裝配間隙誤差，如驅(qū)動(dòng)器與關(guān)節(jié)連接頭部、關(guān)節(jié)軸軸向竄動(dòng)等也是產(chǎn)生誤差的因素。系統(tǒng)零位設(shè)置（主要靠操作人員調(diào)整）等影響因數(shù)會造成軌跡跟蹤誤差。

圖6 關(guān)節(jié)角位移曲線（RBF補(bǔ)償）

圖7 關(guān)節(jié)角速度曲線（RBF補(bǔ)償）

圖8 5s步態(tài)周期髖關(guān)節(jié)角度軌跡

5 結(jié)束語

圖9 5s步態(tài)周期膝關(guān)節(jié)角度軌跡

圖10 5s步態(tài)周期踝關(guān)節(jié)角度軌跡

本文利用拉格朗日法，建立了“機(jī)器主動(dòng)”運(yùn)動(dòng)訓(xùn)練模式下助行腿機(jī)器人系統(tǒng)在跑步機(jī)上步行的動(dòng)力學(xué)模型，并在虛擬樣機(jī)協(xié)同仿真平臺進(jìn)行動(dòng)力學(xué)仿真求解運(yùn)算，為研究助行腿機(jī)器人“患者主動(dòng)”運(yùn)動(dòng)訓(xùn)練模式時(shí)的動(dòng)態(tài)特性奠定基礎(chǔ)。

基于計(jì)算力矩加PD反饋的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)補(bǔ)償控制，可以保證軌跡跟蹤的漸近穩(wěn)定，較計(jì)算力矩加PD反饋控制更能實(shí)現(xiàn)助行腿機(jī)器人關(guān)節(jié)非線性系統(tǒng)的時(shí)變軌跡跟蹤控制，達(dá)到了消除系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型不確定因素，提高軌跡跟蹤控制性能的目的。

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