謝倫杰，張維剛，常偉波，崔 杰

(湖南大學，汽車車身先進設計制造國家重點實驗室，長沙 410082)

前言

拓撲優(yōu)化是一種根據(jù)約束、載荷和優(yōu)化目標而尋求材料最佳分配的優(yōu)化方法，主要應用在產(chǎn)品開發(fā)的概念設計階段。拓撲優(yōu)化在設計初始階段即被引入，可優(yōu)化空間大，對最終產(chǎn)品的成本和性能有非常重要的影響［1］。電動汽車能有效解決能源短缺和環(huán)境污染問題，已成為汽車行業(yè)的研究熱點。由于驅(qū)動、儲能裝置的特殊性，傳統(tǒng)的車身結(jié)構(gòu)難以滿足電動汽車的性能要求［2］;電動汽車主要通過柔性的電線傳遞能量，其各部件的布置具有很大的靈活性，這為拓撲優(yōu)化創(chuàng)造了有利的條件。

目前電動汽車車身的拓撲優(yōu)化主要集中在單目標的優(yōu)化分析［3-5］，但車身結(jié)構(gòu)作為承載基體，須滿足多種靜態(tài)工況和動態(tài)工況下的性能要求，是一個多目標拓撲優(yōu)化問題［6］。為了同時滿足電動汽車車身多種靜態(tài)載荷工況和動態(tài)頻率特性的要求，本文中以平均柔度最小和平均頻率最大為總目標，對電動汽車車身實現(xiàn)多目標拓撲優(yōu)化，得到較為清晰的承載結(jié)構(gòu)，避免了單目標拓撲優(yōu)化無法同時考慮其他因素的缺點。

1 拓撲優(yōu)化數(shù)學模型及算法

1.1 SIMP插值模型

拓撲優(yōu)化是一個“0-1”問題，即結(jié)構(gòu)件材料的“有”與“無”的問題。由于不可能把設計區(qū)域中的每個點都作為一個設計變量，故必須對設計區(qū)域進行離散，但離散問題在數(shù)學上很難處理，通常將此問題轉(zhuǎn)化為連續(xù)問題去研究，變密度法就是這一思路的產(chǎn)物［7］，其基本思想是人為引入一種假想的密度可變材料，優(yōu)化時以材料密度為設計變量，將結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為材料的最優(yōu)分布問題。

文獻［8］中對密度法材料插值模型進行研究，提出一種基于正交各向同性材料密度冪指數(shù)形式的帶懲罰的實體各向同性材料(solid isotropic material with punishment，SIPM)，即變密度法材料密度插值理論。優(yōu)化時以單元設計變量的大小決定單元取舍，采用懲罰因子約束抑制介于0～1之間的單元，使中間密度值盡量向0與1兩端聚集，使連續(xù)變量的拓撲優(yōu)化模型能很好地逼近0-1離散變量的優(yōu)化模型。SIMP材料插值模型假設材料的彈性張量各向同性，泊松比為與密度無關(guān)的常量，材料屬性隨著單元相對密度的變化而變化，其具體關(guān)系式［9］為

式中:E0和E(ρ)為初始和優(yōu)化后彈性模量;K0和K(ρ)為初始和優(yōu)化后剛度矩陣;P為懲罰因子，P＞1;ρ為材料密度;ρmin為材料為空的最小密度值。

1.2 拓撲優(yōu)化數(shù)學模型

1.2.1 靜態(tài)拓撲優(yōu)化數(shù)學模型

靜態(tài)單工況下，以結(jié)構(gòu)單元的相對密度作為設計變量，以體積分數(shù)作為約束條件，以結(jié)構(gòu)柔度的最小化(即剛度最大化)作為目標函數(shù)，建立基于SIMP理論的連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化數(shù)學模型:

式中:ρi為結(jié)構(gòu)單元的相對密度;C為結(jié)構(gòu)的總體柔度;U為位移矩陣;P為懲罰因子;K為優(yōu)化前的結(jié)構(gòu)總剛度矩陣;F為力列向量;ui為單元位移列向量;k0為結(jié)構(gòu)初始單元剛度矩陣;V為優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)總體積;V0為初始結(jié)構(gòu)總體積;α為體積分數(shù);vi為優(yōu)化后的單元體積;ρmin為設計變量的下限，其目的是防止單元剛度矩陣奇異。

多工況情況下，不同的載荷工況將得到不同的拓撲結(jié)構(gòu)。傳統(tǒng)的多工況優(yōu)化問題采用線性加權(quán)疊加法將多目標問題轉(zhuǎn)化為單目標問題求解，但對于非凸優(yōu)化問題來說，該方法不能確保得到的所有帕累托(pareto)解為最優(yōu)解［10］，故采用折衷規(guī)劃法結(jié)合功效函數(shù)法來解決此問題。折衷規(guī)劃法的基本思想是把多個子目標函數(shù)正規(guī)化，并給每個子目標加權(quán)后合成一個單目標。功效函數(shù)法是根據(jù)多目標規(guī)劃原理，對每一項子目標確定一個理想值和不允許值，以理想值為上限，不允許值為下限，再經(jīng)過加權(quán)平均進行綜合，從而評價被研究對象的綜合狀況［11］。由折衷規(guī)劃法結(jié)合功效函數(shù)法得到靜態(tài)多工況下拓撲優(yōu)化的目標函數(shù):

式中:m為載荷工況總數(shù);wk為第k個工況的權(quán)值;P為懲罰因子(P≥2);Ck(ρ)為第k個工況的柔度目標函數(shù)、分別為第k個工況柔度目標函數(shù)的最大值和最小值。

1.2.2 動態(tài)拓撲優(yōu)化數(shù)學模型

動態(tài)拓撲優(yōu)化是為了改善結(jié)構(gòu)的模態(tài)特性。如果將某一階頻率的最大化作為目標函數(shù)，在優(yōu)化迭代過程中，由于結(jié)構(gòu)材料的刪除等修改，當一個階次的頻率達到最大時，其他階次的頻率可能降到一個較低的值，幾階頻率之間可能相互調(diào)換次序，發(fā)生模態(tài)交換現(xiàn)象，從而引起振蕩并干擾模型求解收斂，使優(yōu)化設計的收斂性和穩(wěn)定性得不到保證。為了克服這種現(xiàn)象，采用平均頻率公式［12］來定義優(yōu)化的目標函數(shù)，建立動態(tài)頻率拓撲優(yōu)化數(shù)學模型:

式中:Λ(ρ)為平均頻率;λj為第 j階特征頻率;λ0、s為給定的參數(shù)，用來調(diào)整目標函數(shù);wj為第j階頻率的權(quán)值系數(shù);f為需要優(yōu)化的低階頻率的階次;M為總質(zhì)量矩陣;φj是第j階振型向量。

1.2.3 靜態(tài)-動態(tài)聯(lián)合拓撲優(yōu)化數(shù)學模型

為了使優(yōu)化結(jié)果具有良好的靜態(tài)特性和動態(tài)特性，同時考慮靜態(tài)剛度目標和動態(tài)振動頻率目標為拓撲優(yōu)化的總目標函數(shù)。由于兩者的數(shù)量級存在較大的差異，計算時容易忽略小數(shù)量級目標函數(shù)在優(yōu)化中的作用，使計算結(jié)果受到數(shù)量級高的目標函數(shù)的支配。為了平衡兩者數(shù)量級之間的差異，目標函數(shù)先經(jīng)如下形式的歸一化定義:

式中:fi(x)為第i個目標函數(shù);wi為第i個目標函數(shù)的權(quán)系數(shù);x為設計變量;si為標度因子，使每個目標函數(shù)有相同數(shù)量級，并在優(yōu)化中占有同等地位。

建立靜態(tài)-動態(tài)聯(lián)合拓撲優(yōu)化數(shù)學模型如下:

式中:F(ρ)為靜動態(tài)聯(lián)合總目標函數(shù);w為柔度目標函數(shù)的權(quán)重;Λmin、Λmax分別為頻率目標函數(shù)的最小值和最大值，用來消除量綱。

1.3 拓撲優(yōu)化求解算法

連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化的求解算法主要有優(yōu)化準則法和數(shù)學規(guī)劃法。其中數(shù)學歸納法求解結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題時，通常需要計算目標函數(shù)、約束函數(shù)和它們的導數(shù)，計算效率較低。優(yōu)化準則法是一種間接優(yōu)化方法，不直接優(yōu)化目標函數(shù)，而是把數(shù)學中最優(yōu)解應滿足的庫恩塔克(Kuhn-Tucker)條件作為最優(yōu)結(jié)構(gòu)應滿足的準則來更新設計變量和拉格朗日乘子，收斂速度快，迭代次數(shù)少且與結(jié)構(gòu)大小和復雜程度無關(guān)，尤其對體積約束下的最小柔度問題的求解更為有效［13］，因此采用優(yōu)化準則法求解并構(gòu)造拉格朗日(Lagrange)函數(shù):

式中:η1、η2、η3、η4為拉格朗日乘子，η1為標量，η2、η3、η4為向量;ρ 是 ρi組成的向量;ai、bi為松馳因子。由此可得庫恩塔克條件和設計變量迭代公式:

1.4 拓撲優(yōu)化流程

利用Hypermesh軟件的Optistruct模塊進行拓撲優(yōu)化的流程如圖1所示。

2 電動汽車車身拓撲優(yōu)化

2.1 載荷工況分析

依據(jù)電動汽車的使用情況和實際載荷工況，選擇以下4種典型工況作為模型分析載荷工況。

(1)彎曲工況 彎曲工況模擬電動汽車四輪著地、勻速直線行駛。考慮滿載情況，車上共有4名乘員，每位乘員體質(zhì)量為65kg，行李總質(zhì)量為40kg。約束左前輪全部自由度和其余3輪z方向上的平動自由度。

(2)扭轉(zhuǎn)工況 扭轉(zhuǎn)工況模擬各車輪懸空狀態(tài)，分別釋放對應懸空車輪的全部自由度，同時在懸空一端的車軸上施加一極限轉(zhuǎn)矩(車軸負荷的一半乘以輪距)，約束懸空同軸對稱車輪除x方向平動自由度以外的全部自由度和其他兩輪的全部自由度。

(3)緊急制動工況 緊急制動工況主要考慮電動汽車以最大減速度制動時，地面制動力對車身的影響。在x方向上附加-0.8g的慣性力。約束前輪的全部自由度和后輪除x方向平動自由度外的全部自由度。

(4)急轉(zhuǎn)彎工況 主要考慮當電動汽車以最大轉(zhuǎn)向速度轉(zhuǎn)彎時，慣性力對車身的影響。在y方向附加0.4g的離心力。釋放一側(cè)車輪y方向的平動自由度，約束另一側(cè)車輪的全部自由度。

2.2 拓撲優(yōu)化計算

根據(jù)電動汽車的結(jié)構(gòu)布置特點，扣除乘員艙、行李艙、動力總成、輪胎包絡和風窗玻璃等所占據(jù)的部分，確定剩余部分為優(yōu)化設計空間如圖2所示。在Hypermesh軟件中采用六面體單元劃分網(wǎng)格，定義材料屬性，確定載荷和邊界條件，建立拓撲優(yōu)化有限元模型。

多目標拓撲優(yōu)化的函數(shù)公式在OptiStruct軟件中不能直接調(diào)用，因此借助于軟件中的用戶自定義方程功能來實現(xiàn)。先定義靜態(tài)折衷規(guī)劃公式和動態(tài)平均頻率公式，然后把定義好的函數(shù)設為響應，最后把該響應作為目標函數(shù)進行拓撲優(yōu)化。

在進行單目標拓撲優(yōu)化時發(fā)現(xiàn)，以剛度作為目標函數(shù)進行優(yōu)化時，平均柔度達到最優(yōu)，但平均特征值卻很小;而以頻率作為目標函數(shù)進行優(yōu)化時，平均特征值達到最優(yōu)，但平均柔度卻很大。這表明靜態(tài)剛度和動態(tài)頻率是兩個相互矛盾的目標函數(shù)，權(quán)重分配相差過大時難以使剛度和頻率目標函數(shù)同時達到最優(yōu)，而車身結(jié)構(gòu)作為各個部件的承載基體，首先應保證其剛度要求，出于這樣的考慮，取柔度目標函數(shù)的權(quán)值為0.6，頻率目標函數(shù)的權(quán)值為0.4。

以優(yōu)化設計空間內(nèi)每個單元的相對密度為設計變量，以體積分數(shù)為約束，以自定義的靜動態(tài)聯(lián)合總函數(shù)公式為目標函數(shù)，在OptiStruct軟件中建立拓撲優(yōu)化計算模型。由于約束條件對最終的拓撲優(yōu)化結(jié)果影響較大，因此先分別選取體積分數(shù)α為0.2和0.4的約束條件進行拓撲優(yōu)化試計算，假定單元相對密度在0.15以下的區(qū)域為無材料分布，優(yōu)化結(jié)果如圖3所示。

從試算結(jié)果可以看出，約束為α=0.2時，刪除材料單元過多，約束為α=0.4時，保留材料單元過多，均不是最佳的材料布局方式。選取約束為α=0.3進行拓撲優(yōu)化計算，求解拉格朗日乘子，采用優(yōu)化準則算法計算迭代因子，更新設計變量。經(jīng)過30步迭代計算，沒有發(fā)生振蕩現(xiàn)象，目標函數(shù)趨于收斂，其收斂曲線如圖4所示，拓撲優(yōu)化結(jié)果如圖5所示。通過對優(yōu)化結(jié)果觀察可以發(fā)現(xiàn)清晰的載荷路徑，圖6為截取前艙部分的載荷路徑。

拓撲優(yōu)化計算結(jié)果對車身結(jié)構(gòu)的載荷傳遞路徑和材料布局方式具有指導意義，但與工程實際仍有較大的距離，根據(jù)實際情況和經(jīng)驗資料進行適當?shù)男拚蟪醪酱_定電動汽車車身結(jié)構(gòu)如圖7所示。

3 拓撲優(yōu)化結(jié)果分析

由于所研究對象為微型電動汽車，根據(jù)廠家的設計用途，該電動汽車主要作為城市代步工具使用，最高行駛速度的設計要低于傳統(tǒng)燃油汽車，使用環(huán)境和極限工況也優(yōu)于傳統(tǒng)燃油汽車，因而其車身的設計要求也相應地低于同類型的傳統(tǒng)燃油汽車。依據(jù)拓撲優(yōu)化分析結(jié)果，建立相應的有限元模型，對其靜動態(tài)結(jié)構(gòu)特性進行分析，驗證優(yōu)化設計方案的可行性。有限元靜態(tài)分析結(jié)果如表1所示。從表1中可以發(fā)現(xiàn)，各載荷工況的應力最大值均在材料應力的許可值范圍內(nèi)，其中最大應力為141.1MPa，最大變形為7.6mm，出現(xiàn)在扭轉(zhuǎn)工況的后懸支撐與車架連接區(qū)域;其余各工況下最大應力均小于100MPa，最大變形為2～3mm，車身結(jié)構(gòu)基本滿足靜態(tài)剛度設計要求。在下一步的詳細設計中，扭轉(zhuǎn)工況下的車身結(jié)構(gòu)剛度可以做進一步的優(yōu)化改進。

表1 有限元靜態(tài)分析結(jié)果

由于低頻振動比高頻振動危險，前幾階振動對結(jié)構(gòu)的動態(tài)性能影響較大，故模態(tài)分析中只選取前5階的模態(tài)振型進行分析，結(jié)果如表2所示。由于電動汽車的驅(qū)動裝置采用平衡性更好的電機代替?zhèn)鹘y(tǒng)的發(fā)動機，有效減少了整車的振動激勵;而路面激勵隨道路條件決定，高速公路和城市較好路面的激勵多在3Hz以下，因而只須重點校驗車身結(jié)構(gòu)的低階頻率是否高于非簧載結(jié)構(gòu)的固有頻率(一般為6～15Hz)。由表中數(shù)據(jù)可以看出，前3階的振動頻率為24.4～54.5Hz，有效地避開了路面對汽車的激勵頻率范圍，且高于非簧載質(zhì)量的固有頻率，避免了共振的產(chǎn)生。從頻率分布上看，1階扭轉(zhuǎn)振型頻率為24.4Hz，1階彎曲振型頻率為36.2Hz，車身整體彎曲剛度大于扭轉(zhuǎn)剛度，兩種固有頻率明顯錯開，主要的彎扭模態(tài)沒有耦合。

表2 有限元動態(tài)分析結(jié)果

4 結(jié)論

對電動汽車車身結(jié)構(gòu)靜動態(tài)多目標拓撲優(yōu)化方法進行探討?；赟IMP材料插值理論，在對目標函數(shù)進行歸一化以消除數(shù)量級差異后，以平均柔度最小和平均頻率最大為總目標，利用優(yōu)化準則法建立設計變量的迭代方程，同時考慮約束條件對優(yōu)化結(jié)果的影響，選取不同的體積分數(shù)對電動汽車車身結(jié)構(gòu)進行拓撲優(yōu)化，得到車體結(jié)構(gòu)清晰、載荷路徑明顯的優(yōu)化結(jié)果。有限元分析結(jié)果表明，采用此方法設計的車身結(jié)構(gòu)具有較好的靜動態(tài)特性，滿足設計要求。該方法為電動汽車車身各部件的下一步詳細設計和其它車型的車身開發(fā)提供思路和參考依據(jù)。

［1］Bendsoe M P，Sigmund O.Topology Optimization:Theory，Methods and Applications［M］.Berlin:Springer，2003.

［2］謝慶喜，張維剛，鐘志華.電動汽車電池架的耐撞性仿真設計與優(yōu)化［J］.汽車科技，2005，5(3):25-28.

［3］高云凱，姜欣，張榮榮.電動改裝轎車車身結(jié)構(gòu)優(yōu)化設計分析［J］.汽車工程，2005，27(1):115-117.

［4］丁利.結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化分析在電動小車車身的輕量化的應用［J］.中國制造業(yè)信息化，2009，38(11):58-60.

［5］徐曉瑜，郭永進.電動低速汽車車身結(jié)構(gòu)剛度約束拓撲優(yōu)化設計［J］.機械設計與研究，2010，26(2):110-113.

［6］Chen T Y，Wu S C.Multi-objective Optimal Topology Design of Structures［J］.Computational Mechanics，1999，17(4):269-278.

［7］范文杰，范子杰，桂良進，等.多工況下客車車架結(jié)構(gòu)多剛度拓撲優(yōu)化設計研究［J］.汽車工程，2008，30(6):531-533.

［8］Bendsoe M P，Sigmund O.Material Interpolation Schemes in Topology Optimization［J］.Arch Appl Mech，1999，69:635-654.

［9］左孔天，陳立平，鐘糗芳，等.基于人工材料密度的新型拓撲優(yōu)化理論和算法研究［J］.機械工程學報，2004，40(12):31-37.

［10］Min S，Nishiwaki S，Kikuchi N.Unified Topology Design of Static and Vibrating Structures Using Multi-objective Optimization［J］.Computers and Structures，2000，75:93-116.

［11］Marler R T，Arora J S.Survey of Multi-objective Optimization Methods for Engineering［J］.Struct Multidisc Optim，2004，26:369-395.

［12］Ma Z D，Kikuchi N.Topological Design for Vibrating Structures［J］.Comput.Methods Appl.Mech.Engrg，1995，121:259-280.

［13］孫靖民.機械優(yōu)化設計［M］.北京:機械工業(yè)出版社，2005:167-172.