黃得建，李艷青

(瓊州學(xué)院理工學(xué)院，海南 三亞 572022)

0 引言

二階雙曲型偏微分方程通常有如下形式:

變分迭代算法是何吉?dú)g在廣義拉氏乘子法［1］的基礎(chǔ)上提出來(lái)并進(jìn)行改進(jìn)［3］，［2，4］中作者成功的將此法應(yīng)用到一些模糊方程問(wèn)題，［5］中作者將這種方法應(yīng)用于生物反應(yīng)模型，［6，7］分別給出了這種方法的理論依據(jù).下面應(yīng)用［3］中改進(jìn)的變分迭代算法來(lái)找一類雙曲型偏微分方程的精確解.

1 雙曲型偏微分方程及解法分析

考慮下面的二階偏微分方程:

其中a，b，c，f 都是關(guān)于(x，y，p)的函數(shù)，其中p=(u，ux，uy).若對(duì)任意的(x，y)，都有b2-ac＞0 成立，則式(1)是一個(gè)雙曲型方程.

考慮雙曲型偏微分方程(1)及定解條件:

或

假定式(1)中的系數(shù)與ux，yy和u 無(wú)關(guān).若定解條件為式(2)，則由變分迭代算法，可在y 一方向上構(gòu)造解的校正泛函如下:

其中c≠0.應(yīng)用變分迭代算法，可近似識(shí)別:λ1=η-y

假定初始近似解為

由［3］中改進(jìn)的變分迭代算法，可以得到式(1)解的迭代公式如下:

同理，若定解條件為式(3)，由變分迭代算法，可在方向上構(gòu)造解的校正泛函:

其中a≠0.應(yīng)用變分迭代算法，可近似識(shí)別:λ2=ξ-x

假定初始近似解為

可以得到式(1)解的迭代公式如下:

2 應(yīng)用

變分迭代算法可以準(zhǔn)確的得到上述線性雙曲型偏微分方程的精確解，以下用幾個(gè)例子來(lái)說(shuō)明.

例1 考慮如下方程［8］:

定解條件為:

式(6)可改寫為:

由變分迭代算法，可以構(gòu)造y 一方向上解的校正泛函如下:

應(yīng)用變分迭代算法，可近似識(shí)別:λ=η-y

假定初始近似解為:u0(x，y)=f(x)+g(x)y=3x2，

由式(4)，可以得到解的迭代公式如下:

將u0(x，y)=f(x)+g(x)y=3x2代入上式，得

如表1，健康志愿者的rCBF比值范圍為（1.013±0.079），ASL圖左右對(duì)稱，未見(jiàn)明顯的異常灌注區(qū)；患者中TIA發(fā)作患者有15例，大面積梗塞患者11例，小面積梗塞患者14例，rCBF比值范圍為（0.764±0.117），兩組數(shù)據(jù)對(duì)比組間差異具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義（P＜0.05）。

此為式(6)在滿足定解條件u(x，0)=3x2，uy(x，0)=0 時(shí)的精確解.

例2 考慮如下方程［8］:

定解條件為:

式(7)可改寫為:

由變分迭代算法，可以構(gòu)造方向上解的校正泛函如下:

應(yīng)用變分迭代算法，可近似識(shí)別:

假定初始近似解為:u0(x，y)=f(y)+g(y)x=0，

將u0(x，y)=f(y)+g(y)x=0 代入上式，可得:

此為式(7)滿足定解條件u(0，y)=0，ux(0，y)=0 時(shí)的精確解.

例3 考慮如下方程［8］:

定解條件為:

由變分迭代算法，可以構(gòu)造方向上解的校正泛函如下:

應(yīng)用變分迭代算法，可近似識(shí)別:λ=ξ-x

假定初始近似解為:

由式(5)，可以得到解的迭代公式如下:

將u0(x，y)=f(y)+g(y)x=y+x 代入上式，可得:u1(x，y)=x+y

此為式(8)滿足定解條件u(0，y)=y，ux(0，y)=1 時(shí)的精確解.

3 結(jié)論

把改進(jìn)的變分迭代算法成功地運(yùn)用到一類雙曲型偏微分方程的求解，過(guò)程既簡(jiǎn)單又直觀，并且收斂速度很快，計(jì)算量小、精確度高，又可以很方便的編程.

［1］M.Inokuti，H.Sekine，T.Mura.General use of the lagrange multiplier in nonlinear mathematical physics，.in:S.Nemat-Nasser(Ed.)，Variational Method in the mechanics of Solids［C］，New York:Pergamon Press，1978，156-163.

［2］T.Allahviranloo，S.Abbasbandy，H.Rouhparvarc，The exact solutions of fuzzy wave-like equations with variable coefficients by a variational iteration method［J］.Applied Soft Computing.2011(11)2186–2192.

［3］He，J.H.，Variational iteration method-some recent results and new interpretation［J］.J.Comput.Appl.Math.2007(207):3-17.

［4］Omid Solaymani Fard，Nima Ghal-Eh，Numerical solutions for linear system of first-order fuzzy differential equations with fuzzy constant coefficients［J］.Information Sciences.2011(181)4765–4779

［5］S.M.Goh，M.S.M.Noorani，I.Hashimc，Introducing variational iteration method to a biochemical reaction model［J］.Nonlinear Analysis:Real World Applications.2010(11):2264_2272.

［6］Zaid M.Odibat，A study on the convergence of variational iteration method［J］.Mathematical and Computer Modelling.2010(51):1181_1192.

［7］Ning Chen，Baodan Tian，Jiqian Chen，A class of new fixed point theorems for1-set-contractive［J］.Physics Procedia 2012(33):1932– 1938.

［8］Zhongwei Cha.Partial differential equations of mathematics and physics［M］，Traffi-c university of southwest press，2005.