于雪泳，李本昌，黃文斌

(海軍潛艇學院，山東 青島 266042)

0 引言

在目標位置散布概率密度已知的情況下，計算某種搜索行動發(fā)現(xiàn)目標的概率，對于搜索決策的優(yōu)化具有十分重要的意義。

求解聲自導魚雷機動搜索發(fā)現(xiàn)目標的概率，是這類問題的一個典型實例。

1 問題的描述

目標散布概率密度已知情況下，聲自導魚雷機動搜索發(fā)現(xiàn)目標概率的計算，需要明確已知條件和要求解的問題。其中已知條件包括目標散布概率密度、聲自導魚雷探測手段和聲自導魚雷搜索彈道。

1.1 目標散布概率密度

目標散布概率密度表征了目標位置點在二維空間中的分布情況，在魚雷攻擊過程中，目標散布概率密度是動態(tài)的，即目標散布概率密度是時間的函數(shù)。在潛艇自行跟蹤、解算目標運動要素和引導兵力通報目標信息情況下，可以求得目標散布概率密度近似符合二維正態(tài)分布，即平面直角坐標系(x，y)處存在目標的概率p(x，y)的表達式為

式中:σx為x軸方向的標準差，σx是時間的函數(shù)，即σx=σx(t);σy為y軸方向的標準差，σy是時間的函數(shù)，即σy=σy(t);r為協(xié)方差，r是時間的函數(shù)，即r=r(t)。

1.2 聲自導魚雷探測手段

聲自導魚雷通過聲吶設備探測目標，為方便問題的求解，將聲自導魚雷探測能力用發(fā)現(xiàn)目標距離d和魚雷搜索有效扇面角±α表示。當目標處于魚雷搜索有效扇面之內且距離小于d時，即認為魚雷發(fā)現(xiàn)目標，如圖1所示。

1.3 聲自導魚雷搜索彈道

圖1 魚雷探測能力示意圖Fig.1 Map of torpedo detection capacity

魚雷機動搜索彈道是魚雷機動過程中，按時間順序形成的魚雷位置點的數(shù)據(jù)序列。一般情況下，魚雷搜索彈道不能用一個確定的函數(shù)來表達，而用魚雷彈道仿真程序中的數(shù)值方式來描述。即

當t=t1時，x=x1，y=y1;當t=t2時，x=x2，y=y2。

1.4 要求解的問題

一般情況下，要考察魚雷的機動搜索過程內或從開始搜索到某時刻范圍內，即t［0，T］的時間范圍內，魚雷搜索到目標的概率P。

2 問題的解決思路

因已知目標散布概率密度是時間的函數(shù)，且可以用確定的函數(shù)表達，魚雷機動搜索彈道也可以確定，要求魚雷在時間［0，T］范圍內發(fā)現(xiàn)目標的概率?？梢钥紤]魚雷在某時間段［t，t+Δt］內用魚雷有效作用范圍所經(jīng)過的區(qū)域作為積分區(qū)間，用目標散布概率密度在t時刻的數(shù)值作為被積函數(shù)，用數(shù)值積分的方法求出［t，t+Δt］內魚雷發(fā)現(xiàn)目標的概率。當Δt→0時，求得的發(fā)現(xiàn)概率為［t，t+Δt］時間段內魚雷發(fā)現(xiàn)目標的概率dP(t)。對dP(t)在區(qū)間［0，T］進行積分計算，即為［0，T］時間段內魚雷機動搜索發(fā)現(xiàn)目標的概率。即

在計算dP(t)的過程中，因被積函數(shù) (即目標散布概率密度)表達式十分復雜，積分區(qū)間具有不規(guī)則性，很難用數(shù)學表達式進行描述，所以用求解積分表達式的方法進行計算是十分困難的。鑒于此，可以用計算機仿真和數(shù)值積分的方法，進行積分過程的計算。

3 問題的求解過程

要用數(shù)值積分的方法求得聲自導魚雷機動搜索［0，T］時間段內發(fā)現(xiàn)目標的概率，需要在合適的坐標系內，描繪魚雷機動搜索的相對彈道，然后確定積分區(qū)域，進行數(shù)值積分計算。

3.1 魚雷相對彈道

為便于發(fā)現(xiàn)概率數(shù)值積分的計算，在魚雷機動搜索仿真程序中，引進相對彈道的概念。相對彈道是相對絕對彈道而言的。

絕對彈道就是魚雷在機動搜索過程中，其位置點所形成的彈道。

相對彈道是魚雷機動搜索過程中，其位置點與此時刻目標散布中心點之差所構成的數(shù)據(jù)序列形成的彈道，即

式中:x'(t)，y'(t)為魚雷 t時刻的相對位置點;x(t)，y(t)為魚雷t時刻的絕對位置點;X(t)，Y(t)為目標t時刻的絕對位置點。

3.2 Δt的確定

在用數(shù)值積分法計算［t，t+Δt］魚雷發(fā)現(xiàn)目標概率的過程中，是以魚雷有效作用范圍所經(jīng)過的區(qū)域作為積分區(qū)間，以目標散布概率密度在t時刻的數(shù)值作為被積函數(shù)的。

在數(shù)學意義上，Δt可以取無限小，計算所得的發(fā)現(xiàn)概率p(t)為t時刻魚雷發(fā)現(xiàn)目標的即時概率。但用數(shù)值積分方法，Δt如果取得太小，就會增大計算量，影響計算速度;如果Δt取得太大，用t時刻的目標概率密度作為被積函數(shù)就會有較大誤差。所以，為兼顧計算速度和計算精度，應適當選擇Δt的大小。在魚雷機動搜索過程中，由于魚雷和目標的速度均不太高，且目標散布概率密度隨時間變化不很劇烈，在實際計算過程中，取Δt=1 s就可得到較高的計算精度，且不影響計算速度。

3.3 ［t，t+Δt］內積分區(qū)域的確定

為求得［t，t+ Δt］內的數(shù)值積分，必先確定［t，t+Δt］內的積分區(qū)域。這個積分區(qū)域是魚雷在t時刻與(t+Δt)時刻所經(jīng)歷的搜索區(qū)域的增量。

為便于說明和計算，設以任意時刻目標散布中心點為原點，在一定距離范圍 (本例中以10 km×10 km)上標繪魚雷相對位置點及目標散布密度圖。在t時刻，魚雷位置點及目標散布密度如圖2所示。(t+Δt)時刻，魚雷搜索范圍以及搜索范圍增量如圖3所示。圖3中“鏟”形區(qū)域就是［t，t+Δt］內的積分區(qū)域。

圖2 t時刻魚雷相對位置圖Fig.2 Relative position of torpedo at t

圖3 (t+Δt)時刻魚雷相對位置圖Fig.3 Relative position of torpedo at t+Δt

3.4 ［t，t+Δt］內的數(shù)值積分

因［t，t+Δt］內積分區(qū)域的形狀具有不規(guī)則性，所以采用“圖形相與”的方法進行積分計算。

所謂“圖形相與”，就是以圖3中的“鏟”形區(qū)域所代表的圖形像素，與圖3所表示的范圍中的對應像素處目標散布概率密度值進行“與”計算，獲得［t，t+Δt］內魚雷發(fā)現(xiàn)目標的概率。目標概率密度圖與積分區(qū)間相“與”的效果如圖4所示。

圖4 積分區(qū)間和被積函數(shù)圖Fig.4 Map of integral interval and integrand

圖4中以色彩代表目標概率密度的數(shù)值，圖形中央的“鏟”形區(qū)域就是［t，t+Δt］內積分區(qū)域。圖5是數(shù)值積分的立體圖，目標散布概率密度呈“山丘”形狀，積分區(qū)域范圍內的體積，就是［t，t+Δt］內魚雷發(fā)現(xiàn)目標的概率。

圖5 數(shù)值積分立體圖Fig.5 Three-dimension map of integral numerical integration

3.5 ［0，T］內魚雷發(fā)現(xiàn)目標的概率

按3.1～3.4節(jié)的步驟，用程序的方法計算［0，Δt］，［Δt，2Δt］，［2Δt，3Δt］，…［T－Δt，T］時間段內魚雷發(fā)現(xiàn)目標的概率，然后進行累加，即得到魚雷在［0，T］時間內發(fā)現(xiàn)目標的概率。

4 結語

目標散布概率密度已知情況下，聲自導魚雷機動搜索發(fā)現(xiàn)目標概率的計算方法，可以作為規(guī)劃魚雷機動搜索彈道的手段，也可以用于魚雷彈道的設計。這種計算方法亦可擴展應用到其他領域，如海上目標搜尋、海底沉船搜尋等，計算多種搜索方案發(fā)現(xiàn)目標的概率，選擇發(fā)現(xiàn)目標概率最高的方案，以此來優(yōu)化搜索行動。

［1］孟慶玉.魚雷作戰(zhàn)效能分析［M］.北京:國防工業(yè)出版社，2003.

［2］徐培德.武器系統(tǒng)分析［M］.長沙:國防科技大學出版社，2001.

［3］同濟大學數(shù)學教研室.高等數(shù)學［M］.北京:高等教育出版社，1991.

［4］楊振明.概率論［M］.北京:科學出版社，1999.

［5］沈永歡.實用數(shù)學手冊［M］.北京:科學出版社，2004.

［6］朱清新.離散和連續(xù)空間中的最優(yōu)搜索理論［M］.北京:科學出版社，2006.

［7］周斌.基于全局概率密度搜索的快速目標跟蹤［J］.電子與信息學報，2010(11):2680－2685.ZHOU Bin.Fast object tracking with global kernel density seeking［J］.Journal of Electronics ＆ Information Technology，2010(11):2680－2685.