保正玉

（江蘇省南通市平潮高級(jí)中學(xué)，南通 226311）

在中學(xué)數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含著許多可以拓廣或推廣的材料，可用來(lái)讓學(xué)生在探究中提出問(wèn)題。有意識(shí)地組織學(xué)生進(jìn)行探究學(xué)習(xí),定能有效地提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

1.深入研究教材例題，適時(shí)對(duì)教材例題進(jìn)行拓展延伸，一題多問(wèn)，活躍思維

一題多問(wèn)是訓(xùn)練學(xué)生串聯(lián)解題能力的邏輯推理方法，通過(guò)多問(wèn)訓(xùn)練，可使學(xué)生對(duì)某一概念或規(guī)律逐漸深化、升華發(fā)展，它是活躍和的最好的形式。教材中的例習(xí)題對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決起著示范啟迪的作用，將例習(xí)題設(shè)計(jì)成探究問(wèn)題進(jìn)行課堂教學(xué),對(duì)學(xué)生的做法進(jìn)行歸類分析,從單一的求解過(guò)程提升到類型問(wèn)題的思考方法和步驟,可以形成思維定勢(shì)的正遷移,從而發(fā)揮例習(xí)題的問(wèn)題探究效能。

案例1：《蘇教版》選修2—1，第3.1.4節(jié)“空間向量的坐標(biāo)表示”教材設(shè)置的例2：已知空間四點(diǎn) A（-2，3，1），B（2，-5，3）,C(1 0,0,1 0)和 D（8，4，9），求證：四邊形 A B C D是梯形。

筆者有幸聽了江蘇省宿遷市泗陽(yáng)致遠(yuǎn)中學(xué)顏老師的一堂課，顏老師在處理例2時(shí)首先引導(dǎo)學(xué)生探索出證明空間四點(diǎn)構(gòu)成梯形的思路，然后巧妙的借助多媒體，利用幾何畫板在空間直角坐標(biāo)系中作出了四點(diǎn)A B C D構(gòu)成的四邊形，讓學(xué)生直觀的認(rèn)識(shí)了這四點(diǎn)構(gòu)成圖形的特征，加深了學(xué)生對(duì)該題的印象。然后，顏老師充分發(fā)掘例題的價(jià)值，在例2的基礎(chǔ)上提出了三個(gè)引人入勝的探究問(wèn)題：

（1）已知空間三點(diǎn)A(-2,3,1),B(2,-5,3),C(1 0,0,1 0)，若平行四邊形A B C E是平行四邊形，如何求點(diǎn)E的坐標(biāo)？

（2）在梯形A B C D中如何求直線A D和B C的交點(diǎn)坐標(biāo)？

（3）試判斷原點(diǎn)O是否在平面A B C D內(nèi)？

這三個(gè)探究一環(huán)扣一環(huán)，馬上引起了學(xué)生的熱烈討論，學(xué)生的探究熱情高漲，而且這三個(gè)探究問(wèn)題不僅鞏固了本節(jié)課的坐標(biāo)表示的定義，同時(shí)也復(fù)習(xí)鞏固了之前學(xué)習(xí)的空間向量共線定理和共面定理，達(dá)到了知識(shí)點(diǎn)前后呼應(yīng)，實(shí)現(xiàn)課堂教學(xué)的高效率。

2.對(duì)課堂例題的解題過(guò)程進(jìn)行研究，利用一題多解，開闊學(xué)生思路

在數(shù)學(xué)解題過(guò)程中，我們可以根據(jù)不同層次學(xué)生的智能水平，進(jìn)行一題多解的訓(xùn)練，達(dá)到拓寬學(xué)生思路的目的。許多問(wèn)題都可以通過(guò)一題多解的訓(xùn)練，幫助學(xué)生挖掘問(wèn)題與問(wèn)題間內(nèi)在聯(lián)系，提高學(xué)生求異思維的能力。

案例2：蘇教版必修5，第2.2.3節(jié)“等差數(shù)列的前n項(xiàng)和”教材設(shè)置的例5：某種卷筒衛(wèi)生紙繞在盤上，空盤時(shí)盤芯直徑4 0 m m，滿盤時(shí)直徑1 2 0 m m.已知衛(wèi)生紙的厚度為0.1 m m，問(wèn)：滿盤時(shí)衛(wèi)生紙的總長(zhǎng)度大約是多少米（精確到1 m）？

該題書本是利用等差數(shù)列的求和公式給出解答的，在2 0 1 1屆高三復(fù)習(xí)模擬試卷中也出現(xiàn)了相同的問(wèn)題，但是，發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生已經(jīng)忘記了如何利用等差數(shù)列去解決這道題，很多學(xué)生雖然知道應(yīng)該用等差數(shù)列去解決，卻無(wú)法正確的構(gòu)造出相應(yīng)等差數(shù)列的首項(xiàng)與公差，從而導(dǎo)致最終結(jié)果的錯(cuò)誤。

不過(guò)，在評(píng)講的過(guò)程中，學(xué)生卻提出了更好的解決辦法：

將整盤時(shí)的衛(wèi)生紙沿著一條母線剪開，將所有的衛(wèi)生紙平鋪開，設(shè)紙筒高度為h m m,衛(wèi)生紙的總長(zhǎng)度為x m m，則此時(shí)可將衛(wèi)生紙視為以x m m、0.1 m m、h m m分別為長(zhǎng)、寬、高的長(zhǎng)方體，其體積等于剪開前衛(wèi)生紙的體積。于是，利用等積法可以很快的得出求衛(wèi)生紙的總長(zhǎng)度l的計(jì)算式：0.1 h x=π6 02h-π2 02h，從而可以很快的計(jì)算出衛(wèi)生紙的總長(zhǎng)度。

非常巧妙，兩種不同的解法運(yùn)用兩種完全不同的知識(shí)點(diǎn)都能夠解決該題。所以在講解課堂例題時(shí)，應(yīng)該對(duì)解題過(guò)程進(jìn)行研究，利用一題多解開拓學(xué)生的思路，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的濃厚興趣。

3.充分利用典型例題，一題多變，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，很多老師在課后給學(xué)生布置除書上練習(xí)題和習(xí)題以外的大量習(xí)題，使學(xué)生感到負(fù)擔(dān)很重。教師可以從書上的習(xí)題入手，進(jìn)行演變，逐漸加深。讓學(xué)生有規(guī)律可尋，循序漸進(jìn)。日積月累過(guò)后，學(xué)生解題能力自然提高，對(duì)于從未見(jiàn)過(guò)的新題也會(huì)迎刃而解。

案例3、已知圓O：x2+y2=4，求：斜率為1的切線方程；

變題①過(guò)點(diǎn)M（2，4）的切線方程。

②你會(huì)求切點(diǎn)弦A B的的方程嗎？

③若 M（x0，y0）為圓 x2+y2=r2外一點(diǎn)，你能模仿上例推出關(guān)于切點(diǎn)弦的一般性結(jié)論嗎？

以問(wèn)題鏈的形式提出新的問(wèn)題，注意到了結(jié)合學(xué)生的實(shí)際學(xué)情，立足顯示水平，挑戰(zhàn)學(xué)生的潛在能力。通過(guò)這種變式訓(xùn)練，給教學(xué)注入了生機(jī)和活力，對(duì)發(fā)揮學(xué)生的主動(dòng)性和參與性又起到了很好的促進(jìn)作用，激發(fā)了學(xué)生的探究欲望和探究熱情。

4.對(duì)課堂例題深度挖掘，一題多編，引導(dǎo)學(xué)生“經(jīng)歷”數(shù)學(xué)

弗賴登塔爾認(rèn)為:數(shù)學(xué)教育方法的核心是學(xué)生的“再創(chuàng)造”，數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)上是人們常識(shí)系統(tǒng)化，每個(gè)學(xué)生都可能在一定的指導(dǎo)下，通過(guò)自身實(shí)踐來(lái)獲得知識(shí)。學(xué)生自己“發(fā)現(xiàn)”數(shù)學(xué)就會(huì)學(xué)得更好，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過(guò)程，這是教學(xué)的根本需要。

案例4、已知圓O：x2+y2=1，直線l：y=k x+2與圓O交于A、B兩點(diǎn)，若O→A·O→B=0，求直線的方程。

變題：若圓 O上存在點(diǎn) C，使O→C=O→A+O→B，求直線的方程及對(duì)應(yīng)的點(diǎn)C的坐標(biāo)。

在此基礎(chǔ)上，我們可以要求學(xué)生改變例3的條件或結(jié)論，自己編出相應(yīng)的問(wèn)題，教師則把時(shí)間交給學(xué)生自主學(xué)習(xí)和討論，自己適時(shí)的給一些學(xué)生以指導(dǎo)。

學(xué)生很快編出下列問(wèn)題：

（1）若O→A·O→B>0，求 k的范圍；

（2）若O→A與O→B的夾角為銳角，求k的取值范圍；

（3）當(dāng)△A O B面積最大時(shí)，求直線l的方程；

（4）設(shè)直線l交y軸于點(diǎn)P，若A是P B中點(diǎn)，求直線l的方程；

（5）設(shè)直線 l交 y軸于點(diǎn) P，若P→B=λP→A，求實(shí)數(shù) λ 的取值范圍等等。

由此，我們不能不感嘆學(xué)生的能力，學(xué)生具有豐富的想象力和創(chuàng)造力，我們不能總認(rèn)為學(xué)生什么都無(wú)法自己解決，我們必須給學(xué)生展示自己的空間，為學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣打下了基礎(chǔ)。

綜上，數(shù)學(xué)教師在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)不斷轉(zhuǎn)變觀念，堅(jiān)持以人為本的教育理念，給學(xué)生發(fā)展以最大的空間；克服教學(xué)過(guò)程過(guò)分強(qiáng)調(diào)知識(shí)傳承和技能訓(xùn)練的傾向，將教學(xué)的重點(diǎn)更加側(cè)重于學(xué)生獲得知識(shí)的過(guò)程，讓學(xué)生主動(dòng)參與、探究發(fā)現(xiàn)、合作交流，培養(yǎng)學(xué)生積極主動(dòng)學(xué)習(xí)的愿望和能力，更深層次的激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)的欲望，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)能力的發(fā)展。