邱中輝 呂 帥 鄭 律 叢 剛

（哈爾濱工程大學(xué)船舶工程學(xué)院 哈爾濱150001）

0 引 言

船舶水下聲輻射問題即在無界區(qū)域上求解聲波方程的問題［1］。原有的有限元法通過在邊界上設(shè)置無反射或聲阻抗條件來模擬無限域，但要保證計算精度，所建立的有界流場區(qū)域，一般為結(jié)構(gòu)尺度的4～6 倍，模型規(guī)模大，計算效率不高［2］。

聲學(xué)無限單元是向外法向發(fā)散的“特殊“有限元，通過引進(jìn)邊界，將無界區(qū)域分離成有界的計算區(qū)域和外部的無界區(qū)域。在邊界外引入一種無限大的“有限”單元模擬無限大流場［3］。每個單元只有4個節(jié)點，且無截斷誤差，只有離散誤差，其數(shù)值計算精度和效率都高于有限元法［4］。

1 聲學(xué)無限元法

均勻球面波在聲學(xué)介質(zhì)傳播過程中，輻射空間中的聲壓等聲學(xué)量隨時間和空間的變化可由聲波方程（1）表示：

以圖1活塞振動為例，假設(shè)在r=a處有一活塞，其表面作一致諧響應(yīng)振動，振速幅值大小為U，此時施加速度邊界條件為：

式中：p為輻射聲壓；r為半徑；c為聲速；t為時間；k=ω/c為波數(shù)。

圖1 活塞振動示意圖

在無窮遠(yuǎn)處需滿足Sommerfied輻射邊界條件：

得解析解為：

假定聲壓p（r）的試函數(shù)形式表示為：

式中：Ni（r）為基函數(shù)；

qi為待求系數(shù)。

為便于理論推導(dǎo)，設(shè)邊界條件（3）施加在有限長邊界r=R處，再令R趨向無窮大，便可將有界域問題轉(zhuǎn)化并得出無界域結(jié)果。此時邊界條件（3）可表示為：

設(shè)權(quán)函數(shù)取為 wi（r）（i=1，2，…n），利用加權(quán)殘值法及邊界條件可以得到：

整理得：

其中：

以一維無限單元為例，節(jié)點C、P、Q是構(gòu)成無限單元的幾何要素（如圖2），節(jié)點R延伸到無窮遠(yuǎn)處模擬無界邊界，映射函數(shù)表達(dá)式直接寫出基于節(jié)點P、Q 的坐標(biāo)，可以寫成［5］：

式中：ξ為r對應(yīng)的映射坐標(biāo)。

圖2 一維無限單元

通過映射函數(shù)變換，無限域聲學(xué)問題轉(zhuǎn)換為有限域聲學(xué)問題，選取合適的形函數(shù)及權(quán)函數(shù)，可以得到模型的剛度矩陣、阻尼矩陣、質(zhì)量矩陣、載荷矩陣。權(quán)函數(shù)及附加系數(shù)對收斂速度有影響。

2 遠(yuǎn)場聲輻射特性

2.1 圓柱艇體

用錐柱混合結(jié)構(gòu)簡化模擬潛艇結(jié)構(gòu)，如圖3所示。

圖3 圓柱艇體結(jié)構(gòu)

在艇體艉部推進(jìn)主機(jī)部位，施加一個向激勵載荷、模擬主機(jī)引起的不平衡激擾力［6］。將殼體外表面作為人工邊界，截斷無限大流場。在人工邊界外引入一種幾何上無限大的“有限”單元，模擬無限大聲學(xué)流場單元，且與結(jié)構(gòu)有限元單元直接耦合。將殼體結(jié)構(gòu)幾何中心處設(shè)置一個參考點C，作為虛擬生源且視作聲輻射的起點。

振動傳遞到殼體外表面的單元節(jié)點P上，如圖2所示，沿CP方向映射到無限域的聲場單元Q上。進(jìn)而不需要外流場，利用無限單元可以得到遠(yuǎn)場輻射聲壓。以下為距參考點虛擬聲源100 m處頻率為20 Hz、100 Hz、 200 Hz、300 Hz，結(jié)構(gòu)阻尼分別為noloss、0.001、0.01、0.025 的流場聲壓云圖如圖 4。

圖4 圓柱艇體結(jié)構(gòu)流場聲壓云圖

2.2 雙柱艇體

用錐柱混合結(jié)構(gòu)簡化模擬潛艇結(jié)構(gòu)，模型中部采用單雙殼兩種結(jié)構(gòu)作為對比，如圖5所示。

圖5 雙柱艇體結(jié)構(gòu)

保持其他結(jié)構(gòu)與載荷情況一致。同樣提取距參考點虛擬聲源100 m處頻率為20 Hz、100 Hz、200 Hz、300 Hz， 結(jié)構(gòu)阻尼分別為 noloss、0.001、0.01、0.025的流場聲壓云圖如下頁圖6所示。

由圖4與圖6可見，對于潛艇等細(xì)長體結(jié)構(gòu)，沿艇長方向振動能量主要傳遞到艏位部，輻射聲壓較大，指向性較強(qiáng)。由于載荷激勵在靠近艉部推進(jìn)電機(jī)處，且艉部殼體為錐型，映射網(wǎng)格較密，遠(yuǎn)場聲壓值較大。

頻率越高，紅色區(qū)域（即聲壓較大的區(qū)域）越集中在艉部。這是因為，頻率越高、振動波波長越小、結(jié)構(gòu)阻抗對其影響越大、振動波能量被反射得越多、因此引起局部振動的頻率越高，輻射聲壓越集中在艉部。在同一頻率下，阻尼越大、振動波向前傳播更困難，聲壓較大區(qū)域約集中在艉部。

3 阻尼對聲輻射特性影響

為了數(shù)學(xué)計算的方便，將阻尼描述為結(jié)構(gòu)振動過程中能量耗散的機(jī)理。影響阻尼的因素很多，主要有介質(zhì)阻尼、結(jié)構(gòu)阻尼、材料內(nèi)阻尼、輻射阻尼等［7］。

圖6 雙柱艇體結(jié)構(gòu)流場聲壓云圖

3.1 材料阻尼對聲輻射特性影響

以下將船體結(jié)構(gòu)材料屬性中的結(jié)構(gòu)損耗因子設(shè)置分別為 noloss、0.001、0.025、0.01，通過頻域內(nèi)諧響應(yīng)計算在20～300 Hz的低頻段頻率范圍內(nèi)，艇體水下聲輻射特性，得到艇體水下遠(yuǎn)場輻射聲壓。圖7、圖8為距虛擬聲源100 m處輻射聲壓隨頻率的變化曲線。

圖7 圓柱結(jié)構(gòu)輻射聲壓隨頻率變化曲線

圖8 雙柱結(jié)構(gòu)輻射聲壓隨頻率變化曲線

由圖7、圖8可見，將艇體材料的結(jié)構(gòu)損耗因子設(shè)置得越大，流場中輻射聲壓越小，說明結(jié)構(gòu)振動能量耗散越大。阻尼為0.025時，輻射聲壓減小較明顯，而結(jié)構(gòu)阻尼為0.01、0.001或無阻尼時的流場輻射聲壓差別則不明顯。材料阻尼在頻率較低時，對輻射聲壓影響很大；頻率為200 Hz以上時，材料阻尼對輻射聲壓影響較小。

3.2 結(jié)構(gòu)阻尼對聲輻射特性影響

通過改變圓柱殼結(jié)構(gòu)，在艇體中部將圓柱殼半徑加大，采用雙圓柱殼結(jié)構(gòu)。由此引起結(jié)構(gòu)的改變，使結(jié)構(gòu)阻抗特性增加。以材料結(jié)構(gòu)損耗因子設(shè)置成0.025 阻尼為例， 取頻點為 25 Hz、100 Hz、200 Hz、300 Hz時，比較圓柱、雙柱兩種結(jié)構(gòu)的艉部節(jié)點的聲輻射特性，曲線如圖9所示。

圖9 圓柱、雙柱結(jié)構(gòu)艉部節(jié)點聲輻射特性比較

由圖9可見，雙柱結(jié)構(gòu)比圓柱結(jié)構(gòu)在艇體艉部節(jié)點聲輻射值更大。這是由于激擾力位置靠近殼體艉部，在保證材料結(jié)構(gòu)損耗因子同為0.025的條件下，雙柱結(jié)構(gòu)由于中部結(jié)構(gòu)突起，阻抗增大。當(dāng)振動波傳播時，遇到阻礙作用較大，傳到艏部的能量較小，反射回艉部的振動能量較大，因此艉部節(jié)點處水中遠(yuǎn)場聲輻射值比單圓柱結(jié)構(gòu)大。

4 結(jié) 論

通過聲學(xué)阻抗原理及聲學(xué)無限元方法，研究阻尼對船體結(jié)構(gòu)水下聲輻射特性的影響，得到以下結(jié)論：

（1）利用無限元法求解水下遠(yuǎn)場輻射聲壓是可行的，比有限元法計算效率高。

（2）材料結(jié)構(gòu)損耗因子設(shè)置得越大，流場中輻射聲壓越小。阻尼為0.025時，輻射聲壓減小較明顯；而結(jié)構(gòu)阻尼為0.01、0.001以及無阻尼時，流場輻射聲壓差別不明顯。

（3）材料阻尼在頻率較低時，對輻射聲壓影響很大，在200 Hz以上材料阻尼對輻射聲壓影響較小。

（4）雙柱結(jié)構(gòu)由于中部結(jié)構(gòu)突起，阻抗增大，反射回艉部的振動能量較大，因此艉部節(jié)點處水中遠(yuǎn)場聲輻射值比單圓柱結(jié)構(gòu)大。

［1］楊瑞梁，汪鴻振.聲無限元進(jìn)展［J］.機(jī)械工程學(xué)報，2003，39（11），82-87.

［2］楊瑞梁，范曉偉.使用有限元和無限元耦合求解聲輻射問題［J］.振動工程學(xué)報，2004，17：1007-1009.

［3］李錄賢，國松直，王愛琴.無限元方法及其應(yīng)用［J］.力學(xué)進(jìn)展，2007，37：161-173.

［4］DEMKOWICZ L，GERDES K.Convergence of the infinite element methods for the Helmholtz equation［J］.Math，1998，79（1），11-42.

［5］GERDES K.A summary of infinite element formulations for exterior Helmholtz problems［J］.Comput Methods Appl.Mech.Engrg.，1998，16（4）： 95-105.

［6］謝官模.環(huán)肋圓柱殼在流場中的動力響應(yīng)和聲輻射［D］.武漢：華中理工大學(xué)，1994.

［7］梁超鋒，歐進(jìn)萍.結(jié)構(gòu)阻尼與材料阻尼的關(guān)系［J］.地震工程與工程振動，2006，26（1）：49-55.