耿彥峰， 蹇繼貴， 張炎彪

（1.忻州師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，山西忻州034000；2.三峽大學(xué)理學(xué)院，湖北宜昌443002）

0 引 言

現(xiàn)代電力系統(tǒng)規(guī)模不斷擴(kuò)大，電網(wǎng)結(jié)構(gòu)日益復(fù)雜，大容量機(jī)組逐漸增多，電力系統(tǒng)已經(jīng)逐步形成了以大機(jī)組、超高壓、長距離、大區(qū)聯(lián)網(wǎng)為特征的復(fù)雜大系統(tǒng). 電力系統(tǒng)的互聯(lián)，可以帶來顯著的經(jīng)濟(jì)效益; 然而，電力系統(tǒng)的規(guī)模越大，引起系統(tǒng)事故的可能性也就越大. 在實際的互聯(lián)電力系統(tǒng)中，經(jīng)常會出現(xiàn)由于故障或其他原因引起的結(jié)構(gòu)擾動，從而導(dǎo)致整個電力系統(tǒng)出現(xiàn)較大的結(jié)構(gòu)變化. 特別是像個別子系統(tǒng)從互聯(lián)電力系統(tǒng)上脫離又重新連接這樣的結(jié)構(gòu)擾動，它會對整個大系統(tǒng)的正常運(yùn)行產(chǎn)生非常不利的影響和后果. 因此，對互聯(lián)電力系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行分析與控制，對于提高整個電力系統(tǒng)的安全性和穩(wěn)定性有十分重要的意義. 近些年來，很多學(xué)者對于此進(jìn)行了廣泛的研究，并得到了許多有意義的成果[1-4]. 但是，我們有時需要考慮的是，各子系統(tǒng)的部分變量對于整個大系統(tǒng)是否具備運(yùn)行的穩(wěn)定性[5-8]. 例如，假設(shè)每個電力子系統(tǒng)都包含一個水電機(jī)組和一個火電機(jī)組，如果只研究所有水電機(jī)組的聯(lián)結(jié)穩(wěn)定性，這個問題即為互聯(lián)系統(tǒng)的部分聯(lián)結(jié)穩(wěn)定性. 因此，對于互聯(lián)系統(tǒng)的部分聯(lián)結(jié)穩(wěn)定性研究，應(yīng)該具有更廣泛的意義. 但是，對于這類問題的研究仍然不是很多[9-12]. 本文在已有的理論成果上，給出一個關(guān)于互聯(lián)系統(tǒng)的部分聯(lián)結(jié)穩(wěn)定性的判據(jù). 最后，給出一個實例，并進(jìn)行仿真，以說明本文結(jié)果的有效性.

1 問題的描述

考慮一類由N 個區(qū)域組成的互聯(lián)電力系統(tǒng)，該系統(tǒng)包含了N 個子系統(tǒng)， 每個子系統(tǒng)分別有一個水電機(jī)組和一個火電機(jī)組，為了研究互聯(lián)電力系統(tǒng)在不確定擾動下的聯(lián)結(jié)穩(wěn)定性，其數(shù)學(xué)模型可描述為：[1]

根據(jù)文獻(xiàn)[1]，eij=1 表示第i 個子系統(tǒng)和第j 個子系統(tǒng)完全相聯(lián)，eij=0 表示第i 個子系統(tǒng)和第j 個子系統(tǒng)完全分離， 用0＜eij＜1 表示第i 個子系統(tǒng)和第j 個子系統(tǒng)部分相聯(lián).

文中只考慮互聯(lián)矩陣E=（eij）N×N的元素eij為0＜eij＜1 的情形下系統(tǒng)（1）的部分變元的聯(lián)結(jié)穩(wěn)定性. 那么，系統(tǒng)（1）相應(yīng)的孤立子系統(tǒng)為:

下面引入互聯(lián)電力系統(tǒng)的部分變元聯(lián)結(jié)穩(wěn)定性的幾個相關(guān)定義.

定義3 互聯(lián)系統(tǒng)（1）的平凡解x=0 分別稱為關(guān)于y 聯(lián)結(jié)穩(wěn)定的﹑關(guān)于y 聯(lián)結(jié)漸近穩(wěn)定的，若對于所有的E∈E，互聯(lián)系統(tǒng)（1）的平凡解x=0 分別是關(guān)于y 穩(wěn)定的﹑關(guān)于y 漸近穩(wěn)定的.

不失一般性，為了得到有關(guān)問題的結(jié)論，我們先給出如下假設(shè):

注:假設(shè)A 意味著前r 個孤立子系統(tǒng)的平凡解xi=0 是關(guān)于yi漸近穩(wěn)定的，而r 之后的N-r 個孤立子系統(tǒng)的平凡解xi=0 關(guān)于yi可能是穩(wěn)定的， 也可能是不穩(wěn)定的.

2 主要結(jié)果

定理1 對于互聯(lián)系統(tǒng)（1），若有以下條件成立:

（1）孤立子系統(tǒng)（2）滿足假設(shè)A;

（2）存在一個常矩陣A=（aij）N×N，使得下式成立:

則系統(tǒng)（1）的平凡解x=0 是關(guān)于y 聯(lián)結(jié)漸近穩(wěn)定的.

證 明 對于互聯(lián)系統(tǒng)（1）構(gòu)造Lyapunov 函數(shù):

由條件（1）可知，V 函數(shù)關(guān)于y 是正定的.那么有，

因此，對于整個互聯(lián)系統(tǒng)有，

3 數(shù)值仿真

考慮具有如下形式的互聯(lián)電力系統(tǒng)，其包含兩個子系統(tǒng).

其中，

將系統(tǒng)（3）寫成下面兩個子系統(tǒng):

子系統(tǒng)（4）、（5）的孤立子系統(tǒng)分別為:

圖1 部分變量y 的狀態(tài)仿真

圖2 部分變量z 的狀態(tài)仿真

4 結(jié) 論

本文基于Lyapunov 穩(wěn)定性理論以及互聯(lián)大系統(tǒng)的關(guān)聯(lián)性質(zhì)，主要討論了一類互聯(lián)電力大系統(tǒng)的部分變元聯(lián)結(jié)穩(wěn)定性，建立了判別此類系統(tǒng)的部分變元聯(lián)結(jié)漸近穩(wěn)定性的充分條件.并給出一個包含兩個子系統(tǒng)的互聯(lián)系統(tǒng)，第一個孤立子系統(tǒng)是關(guān)于穩(wěn)定的，而第二個是關(guān)于不穩(wěn)定的，并進(jìn)行了實例仿真，仿真結(jié)果說明了結(jié)論的有效性. 此外，本文的結(jié)果也可以推廣到互聯(lián)矩陣的元素為時變的情形，只需對條件和結(jié)論做一些相應(yīng)的改變即可. 對于具有函數(shù)型的關(guān)聯(lián)因子的情形，應(yīng)該具有更廣泛的研究意義，在以后研究工作中，仍需給予更多的關(guān)注.

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