劉永財，胡慶婉

（曲靖師范學院 數(shù)學與信息科學學院，云南 曲靖 655011）

數(shù)學建模是解決實際問題的第一步.將錯綜復雜的實際問題簡化、抽象成合理的數(shù)學模型，然后進行求解，對結果進行分析，對模型進行評價，最后對模型進行其他方面的應用是數(shù)學建模課程的主要內容.數(shù)學建模是能力與知識的綜合運用過程，需要建模者具有較扎實的數(shù)學基礎，對實際問題有足夠的了解，并具有盡可能靈活的技巧去駕馭問題的研究能力.因此，數(shù)學建模課程不僅需要教會學生知識，還需要培養(yǎng)學生駕馭知識的能力.

我校數(shù)學模型課程開設幾年以來，學生的實踐應用能力得到了明顯提高，教學效果明顯，參加數(shù)學建模競賽的人數(shù)每年也都在逐步增加.但是，隨著數(shù)學模型課程教學的不斷深入，我們發(fā)現(xiàn)在授課過程中還存在著如下不足：教材和教學內容陳舊，不能與時俱進更新；教學內容追求量不追求精，沒有足夠時間進行精細的教學；數(shù)學建模課程獨立化，很少和其他相關課程真正地聯(lián)系起來；課后作業(yè)與實際問題不搭邊，沒有新意，沒有趣味性，很多作業(yè)都能在網(wǎng)上或者參考書上找到答案，學生常常相互抄襲，敷衍了事；考核方式不合理，偏重理論知識，沒有學生駕馭知識能力的考核.針對以上問題，我們在教學過程中進行了下述的改革：

1 優(yōu)選教材，精選教學內容，與競賽題目相結合

我校自開課以來一直采用姜啟源等主編的《數(shù)學模型（第三版）》作為教材，這是一本很經(jīng)典的教材，也是一本很基礎的教材.隨著時間的發(fā)展，這本教材也出現(xiàn)了一些問題，例如內容本身形式不新穎，很難激發(fā)學生學習熱情，另一方面，由于內容和課后作業(yè)題目已經(jīng)成型很多年，答案也比較固定，很容易找到標準答案，學生做作業(yè)的時候抄襲答案，敷衍了事.基于以上原因，我們在原來教材的基礎上，新增加兩本參考書，分別是浙江大學出版社出版，楊啟帆等編著的《數(shù)學建模》和高教出版社出版，趙靜等主編的《數(shù)學建模與數(shù)學實驗》.以這兩本書作為參考，結合往年教學內容追求量忽視質的缺陷，我們重新調整了數(shù)學建模課程的教學內容，在初等模型章節(jié)，我們講解：席位的公平分配，汽車剎車距離，量綱分析，崖高的估算，艦艇的會合.在優(yōu)化模型章節(jié)，我們講解：存貯模型，最有價格.在規(guī)劃模型一章，我們講解：奶制品的生產(chǎn)和銷售，自來水的輸送和伙計裝運，汽車生產(chǎn)和原油采購，鋼管和易拉罐下料.對于易拉罐下料問題我們結合2006年試題C題“易拉罐的優(yōu)化設計問題”進行講授，問題的背景更加有說服力和感染力.在微分方程模型一章，我們講解傳染病模型，人口的預測和控制.人口預測和控制這一問題我們結合2007年全國大學生數(shù)學建模競賽中的A題進行講解，我們分析采用微分方程模型和差分方程模型解決這個問題的可行性及優(yōu)缺點分析.最后，我們下載當年獲得獎杯的論文給學生們欣賞，討論該論文的優(yōu)點在哪里，尚有哪些不足.在穩(wěn)定性模型一章，我們講解捕魚業(yè)的持續(xù)收獲，種群的相互競爭，捕食與被捕食模型.在差分方程模型一章，我們講解差分形式的阻滯增長模型和按年齡分組的種群增長.在離散模型一章，我們講解層次分析模型，并結合2010年全國數(shù)學建模競賽試題B題“2010年上海世博會影響力的定量評估”的題目以及2011年國數(shù)學建模競賽試題A題“城市表層土壤重金屬污染分析”進行講解，要求學生們用層次分析法去完成部分題目.

通過調整教學內容，我們引入了部分新穎的題目，活躍了課堂氣氛，調動了學生自主學習的積極性.特別是歷年競賽題目的引入，使得問題更加具有實際意義，一方面使學生知道所學知識的實際用途，學有所用，可以用到現(xiàn)實問題的解決中，也能夠將自己所學到的方法用到競賽中去；另一方面，通過閱讀歷年的大學生數(shù)學建模競賽的獲獎論文，能夠看到我們采用的方法存在的不足之處，還能從論文中學習到其他的建模方法，建模思路和學生們沒有學習到的知識和方法，以及建模論文的寫作技巧，而這些都是我們數(shù)學模型的課堂很難直接教授給學生的.學然后知不足，通過采用這樣的授課方式，進一步地激發(fā)了他們的學習興趣，有效地提高了學生的學習效率.

2 教師交叉授課，學生站上講臺

數(shù)學模型這門課程自開課以來，得到了學生的普遍歡迎，為了進一步提高課堂教學的效率，考慮到不同的上課教師授課的風格習慣不同，講授的技巧不同，比如有的教師習慣于黑板加粉筆的傳統(tǒng)授課方式，有的教師喜歡采用多媒體課件授課，有的教師輔導過多屆學生參見數(shù)學建模競賽，建模經(jīng)驗比較豐富，有的教師對課程的內容熟悉，對知識的整體把握感強，鑒于此，我們采取了上課教師交叉授課的方式.在一個學期的授課過程中，安排6個課時，請其他講授數(shù)學模型的教師給本班同學授課，然后對教學效果進行反饋，取長補短，提高自己的教學水平.兩外我們精選6個小題目，安排6個課時請本班學生來講課，更大的調動了學生的學習熱情.實行這一番措施后，學生們的反應非常好，學生不僅能適應不同教師的授課風格，還能從一個被動接受的角色轉變成主動講授的角色.

3 增設實驗課，提高學生使用數(shù)學軟件的能力

針對數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)的學生數(shù)學理論知識扎實，但是計算機軟件能力相對欠缺這一情況，我們除了安排理論課程之外，還專門安排了相關的上機實踐課程，因為數(shù)學模型的求解，很多都要借助于計算機來實現(xiàn)，比如一般的優(yōu)化問題，需要借助LINGO或者LINDO軟件來實現(xiàn)，主成分分析的問題，需要借助于統(tǒng)計軟件SPSS來實現(xiàn)，微分方程模型，則大多需要借助MATLAB軟件來完成.

在實際的授課過程中，在講授完書本上介紹的理論課程后，及時地安排學生上機進行實踐，使學生能夠熟練地使用相應的軟件來解決實際問題.實踐課上，要求所有的同學，能夠使用軟件來完成書本上給出的例題.而對學有余力的同學，尤其是理論知識扎實，而且計算機實踐能力突出的同學，安排有一定難度的課外題目要求他們完成.這樣的話，他們就能夠在使用軟件進行基礎編程的基礎上，進一步學習軟件的其他功能和技巧，增強他們使用數(shù)學軟件的能力.

4 改革作業(yè)模式，動手又動腦

作業(yè)是教學改革的重要部分，作業(yè)布置得不好會讓學生更加討厭這門課程，相反，作業(yè)布置得好可以激發(fā)學生更大的學習熱情.《數(shù)學建模》教材有很多題目可供學生練習，但是這些題目無論從形式上，還是從內容上都很陳舊，題目的答案也很容易找到，學生大多彼此抄襲，敷衍了事，根本達不到預期的作業(yè)效果.針對這一情況，我們設計了形式和內容都很新穎的作業(yè)題.

為了鍛煉學生解決實際問題的能力，我們布置的一個作業(yè)題目是發(fā)給每個人一個形狀不規(guī)則的卡片如圖1所示，讓他們分別用梯形公式，Simpson公式，復化梯形公式，復化Simpson公式計算其面積.作業(yè)最后以小論文的形式上交，作業(yè)內容包括設計算法，編寫代碼，圖像展示數(shù)值結果，估計誤差.由于每個人的卡片不同，堅決杜絕了作業(yè)抄襲的現(xiàn)象.另外由于形式新穎，且需要動手測量，極大的調動了學生的學習熱情.

圖1 數(shù)值積分計算面積

還有的作業(yè)題目需要自己搜索資料和數(shù)據(jù)，例如我們考慮曲靖地區(qū)的氣溫變化，以24小時為小周期變化，與此同時日平均氣溫又隨季節(jié)變化，以一年為周期改變，建立數(shù)學模型刻畫時間與曲靖氣溫之間的關系.這個題目就需要學生自己去搜索曲靖市歷年氣溫變化情況，不僅鍛煉學生的數(shù)學建模能力，還鍛煉了學生利用網(wǎng)絡，查找文獻和數(shù)據(jù)的能力.

5 改革學生成績的考核方式

以前學生的綜合成績評定為平時成績占20%，期中成績占20%，期末成績占60%.期中和期末考試都采用閉卷形式，考察學生掌握知識的情況，但是根本考察不到學生的實踐能力和駕馭知識的能力.在這種考試模式下，學生往往出于對高分的追求，相應的學習重心也發(fā)生轉移，過分注重書本上的理論知識，忽略了實踐能力的培養(yǎng)，這與我們開設這門課的初衷是相違背的.因此，我們對考核方式進行改革.綜合成績評定為平時成績占10%，期中成績占20%，上機實驗成績占10%，期末成績占60%.平時成績主要是考勤和作業(yè)情況，所以不用占很大比例.我們增加了上機實驗環(huán)節(jié)，突出考察學生的實踐能力.我們還將期中考試的閉卷考試形式改成了提交一篇數(shù)學建模的小論文.授課教師指定若干題目，學生在老師制定的題目當中任意選擇題目來做，這樣能有效地杜絕學生之間相互抄襲，提高學生的寫作能力以及實踐能力，這部分的內容占學生課程總成績的20%.通過這種考核方案的調整，能夠從一定程度上糾正學生只偏重書本理論知識的學習而忽略了實踐能力培養(yǎng)的學習方式.實踐證明，新的考核方式使得學生的使用計算機軟件能力以及論文的寫作能力得到很大的提高.

我們鼓勵學生積極參加數(shù)學建模的網(wǎng)絡挑戰(zhàn)賽，全國大學生數(shù)學建模競賽，美國大學生數(shù)學建模競賽，通過參加競賽，學生把書本上學到的知識應用到實際問題的解決中，進一步地熟悉數(shù)學建模的一般過程，通過這樣的實戰(zhàn)演練，提高了學生的綜合能力.另外，通過參加競賽，提高了學生快速查閱文獻的能力以及論文寫作能力，而這些都是數(shù)學模型教學課堂沒有辦法直接教授給學生的.

以上是我們在數(shù)學模型教學課程中采用的一些方法和探索，一定存在很多不足之處.全國大學生數(shù)學建模競賽和美國大學生數(shù)學建模競賽正如火如荼地展開，每年都有新題型、新問題出現(xiàn)，這也給數(shù)學模型的課程帶來了新變化.而且，隨著新方法新技術的出現(xiàn)，數(shù)學模型課程的內容也會發(fā)生變化.因此，數(shù)學模型課程的改革任重而道遠，我們還要繼續(xù)努力，爭取把數(shù)學模型課程建設成為校級精品課程.

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〔6〕姜啟源，謝金星，葉俊.數(shù)學模型[M].北京：高等教育出版社,2009.