吳 迪，武利國(guó)，武建新

(內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010051)

0 前言

棱管與法蘭的焊接軌跡為與棱管相同的多邊形，焊接時(shí)運(yùn)動(dòng)復(fù)雜，控制難度大。本研究設(shè)計(jì)了一種棱管法蘭自動(dòng)焊接機(jī)械臂，在自動(dòng)焊接設(shè)備的設(shè)計(jì)過(guò)程中引入焊接機(jī)器人的結(jié)構(gòu)和控制方法，使得該設(shè)備兼有焊接機(jī)器人的某些優(yōu)點(diǎn)。本研究利用建立的機(jī)械臂數(shù)學(xué)模型，編寫相應(yīng)的程序進(jìn)行求解，利用PRO-E建立虛擬樣機(jī)來(lái)驗(yàn)證求解的正確性，并對(duì)插補(bǔ)誤差進(jìn)行計(jì)算分析。利用該機(jī)械能夠完成棱管與法蘭復(fù)雜相貫線接縫的自動(dòng)焊接任務(wù)[1-2]。

1 焊接機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)模型建立及求解

四自由度焊接機(jī)械臂由四個(gè)連桿組成，其中三個(gè)連桿L1、L2、L3的運(yùn)動(dòng)在同一主平面上，并垂直于棱管的橫截面[3]，如圖1所示。連桿L4（焊槍）在與主平面垂直的L3和L4所在平面上運(yùn)動(dòng)并與水平面夾角為45°，并且在焊接過(guò)程中與棱管保持一定的焊接距離和角度，如圖1所示。主平面上的連桿之間通過(guò)關(guān)節(jié)進(jìn)行約束定義(B點(diǎn)和C點(diǎn))，同時(shí)初始關(guān)節(jié)與剛性固定點(diǎn)通過(guò)關(guān)節(jié)約束(A點(diǎn))，主平面上OA垂直于OE，O點(diǎn)距固定點(diǎn)A的距離為Q，距棱管的表面為P，棱管繞其中心軸線勻角速旋轉(zhuǎn)，所以P的值隨著時(shí)間變化。棱管的頂點(diǎn)F（最高點(diǎn)）在棱管的外接圓上，棱管邊的中點(diǎn)G（最低點(diǎn)）在棱管的內(nèi)切圓上，如圖2所示。

圖1 四自由度焊接機(jī)械臂

圖2 焊接機(jī)械臂結(jié)構(gòu)示意

在焊接過(guò)程中，棱管按一定角速度繞中心軸線轉(zhuǎn)動(dòng)，在主平面上棱管高度在頂點(diǎn)與邊的中點(diǎn)之間變化，P的長(zhǎng)度隨之變化。由于轉(zhuǎn)動(dòng)中棱管邊的斜率隨著時(shí)間變化，要保證焊接距離為10 mm以及焊槍與焊縫成 60°～80°夾角[4]，焊槍要時(shí)刻調(diào)整位姿滿足角度要求，焊槍轉(zhuǎn)動(dòng)產(chǎn)生位置變動(dòng)使P、Q產(chǎn)生變化。當(dāng)棱管的角速度確定以后，焊槍的轉(zhuǎn)角是有關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，P、Q可以相應(yīng)的確定。用幾何法求逆解[5]，主平面上的三個(gè)桿長(zhǎng)為 L1、L2、L3，現(xiàn)已知L3相對(duì)于地面坐標(biāo)系的位姿，通過(guò)逆運(yùn)算，可得到θ1、θ2、θ3的數(shù)列。做輔助線 AC 和 AD（圖 2 中的虛線部分）。在三角形OAE中

在三角形ACE中

∠AEC=45°-∠ACE=45°-arctan(Q/P)

由余弦定理可得出

在三角形ABC中

可得出

1.1 焊槍和棱管的運(yùn)動(dòng)形式和關(guān)系

L4是機(jī)械臂的焊槍部分，在與主平面垂直的L3所在平面上，焊槍部分可繞關(guān)節(jié)四轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)角為φ，如圖3所示。

圖3 焊槍的運(yùn)動(dòng)形式

當(dāng)棱管逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角度時(shí)，為了保證焊槍與管壁保持一定角度，焊槍要相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)β角度。棱管旋轉(zhuǎn)時(shí)所帶來(lái)的在焊接距離的變化，還有焊槍轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)所帶來(lái)的焊接距離的變化總和為h，如圖4所示。為了保證焊槍頭與工件之間的焊接距離在規(guī)定范圍內(nèi)，在焊接過(guò)程中補(bǔ)償差值，以保證焊接質(zhì)量。焊槍在每個(gè)周期內(nèi)都旋轉(zhuǎn)β角，β角可由焊槍長(zhǎng)度與棱管的尺寸參數(shù)求得，如圖5所示。

圖4 焊槍與棱管的相對(duì)運(yùn)動(dòng)姿態(tài)

圖 5 中△ABC 相似于△ODC，AB∶OD=BC∶DC，BC+DC=a（a為棱邊的一半），AB、OD、a已知，可求出BC長(zhǎng)度，從而可求得β角。

圖5 求β角度

1.2 焊接過(guò)程的周期劃分

把棱管轉(zhuǎn)動(dòng)一圈分成8個(gè)周期，每個(gè)周期為從棱管一邊中點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)到相鄰的下一邊中點(diǎn)，這樣每個(gè)周期焊槍的運(yùn)動(dòng)是相同的。再把每個(gè)周期的運(yùn)動(dòng)分為4個(gè)小周期，如圖6～圖9所示。第一個(gè)周期棱管的頂點(diǎn)由a點(diǎn)繞棱柱圓心旋轉(zhuǎn)到b點(diǎn)，焊槍由1位置旋轉(zhuǎn)到2位置。第二個(gè)周期棱管的頂點(diǎn)由b點(diǎn)繞棱柱圓心旋轉(zhuǎn)到c點(diǎn)，焊槍由2位置旋轉(zhuǎn)到3位置。第三個(gè)周期棱管的頂點(diǎn)由c點(diǎn)繞棱柱圓心旋轉(zhuǎn)到d點(diǎn)，焊槍由3位置旋轉(zhuǎn)到4位置。第四個(gè)周期棱管的頂點(diǎn)由d點(diǎn)繞棱柱圓心旋轉(zhuǎn)到e點(diǎn)，焊槍由4位置旋轉(zhuǎn)到5位置。

圖6 運(yùn)動(dòng)周期1

圖7 運(yùn)動(dòng)周期2

1.3 Matlab編程及求解[6]

圖8 運(yùn)動(dòng)周期3

圖9 運(yùn)動(dòng)周期4

式（1）、式（2）、式（3）三個(gè)方程都是關(guān)于變量P、Q 的方程，周期性的檢測(cè)出 P、Q 的值，θ1、θ2、θ3可相應(yīng)的求出唯一值。在此選用Matlab 7.1編程來(lái)進(jìn)行求解。所得各關(guān)節(jié)角度如表1所示。在Matlab中生成時(shí)間與各關(guān)節(jié)的關(guān)系，由于時(shí)把間分成了400個(gè)時(shí)間點(diǎn)，這里只列出18個(gè)時(shí)間點(diǎn)中各關(guān)節(jié)的角度。圖中第一列為插補(bǔ)時(shí)間，第二到第四列為四個(gè)關(guān)節(jié)的角度。

2 插補(bǔ)誤差控制

焊接過(guò)程中，隨著棱管的轉(zhuǎn)動(dòng)，焊槍轉(zhuǎn)動(dòng)與棱管要保持60°～80°夾角，焊槍尾部在Y軸上移動(dòng)。棱管的中心距焊接位置的變化為直線變化，這樣就形成了焊槍的圓弧運(yùn)動(dòng)來(lái)插補(bǔ)焊接位置的直線變化。插補(bǔ)過(guò)程中采用定時(shí)插補(bǔ)，這種插補(bǔ)方式易于自動(dòng)化焊接機(jī)床的控制系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)。每隔t秒中斷一次進(jìn)行一次插補(bǔ)，計(jì)算并輸出一次給定值。從焊接開(kāi)始的初始位每隔一個(gè)插補(bǔ)周期取一個(gè)點(diǎn)，取了五個(gè)點(diǎn)，焊槍從a點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到e點(diǎn)，如圖10所示。每個(gè)周期棱管旋轉(zhuǎn)β角度?，F(xiàn)將圖中焊槍端點(diǎn)位置放大。如圖11所示，可以看出在焊接插補(bǔ)過(guò)程中，弧ab與直線ab的間隙最大，所以現(xiàn)分析ab段最大誤差[7]。

2.1 插補(bǔ)誤差的計(jì)算

采用2500線編碼器，4倍頻，分辨率10000 cts/rev。圖 12 中，桿長(zhǎng) L，初始位置 a（x1，y1）與 Y 軸夾角為α。一個(gè)單位脈沖時(shí)間焊槍旋轉(zhuǎn)β角，a運(yùn)動(dòng)到b（x2，y2），可求直線 ab 方程為

表1 所得各關(guān)節(jié)角度

圖11 焊槍端點(diǎn)位置放大

弧ab上動(dòng)點(diǎn)由a到b的軌跡方程為

圖12 求直線ab方程

將一個(gè)單位脈沖按時(shí)間等分n份，可求焊槍軌跡與弧ab、直線ab的交點(diǎn)間的距離。根據(jù)兩點(diǎn)間距離式（4）可以求得弧ab到直線ab的最大距離d。計(jì)算值為0.009 1 mm，小于規(guī)定的最大誤差值

3 機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真

通過(guò)PRO-E建立焊接機(jī)械臂的模型，通過(guò)裝配等形式及約束條件，將關(guān)節(jié)部分和棱管的旋轉(zhuǎn)軸定義銷釘約束，如圖13所示，其他裝備定義為剛性約束。模型建立好后，在應(yīng)用程序的機(jī)構(gòu)選項(xiàng)中顯示裝配關(guān)節(jié)定義無(wú)問(wèn)題，開(kāi)始添加電機(jī)驅(qū)動(dòng)，電機(jī)驅(qū)動(dòng)為圖9中4個(gè)旋轉(zhuǎn)箭頭所示。將Matlab中運(yùn)算的值以tab格式保存，在電機(jī)的編輯定義中導(dǎo)入，完成仿真[8]。圖14為焊槍頭運(yùn)動(dòng)軌跡曲線，可以看處曲線閉合并符合個(gè)周期運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)。

4 結(jié)論

圖13 PRO-E運(yùn)動(dòng)仿真點(diǎn)的軌跡

圖14 PRO-E運(yùn)動(dòng)仿真變的軌跡

利用幾何運(yùn)算，通過(guò)Matlab運(yùn)算功能自編程序?qū)λ淖杂啥葯C(jī)械臂的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)進(jìn)行求解，并沒(méi)有采用傳統(tǒng)使用Matlab的Robotics Toolbox工具箱對(duì)該機(jī)械臂進(jìn)行建模求解。將編寫的求解逆運(yùn)動(dòng)學(xué)程序編制成一個(gè)函數(shù)，通過(guò)定義其中的輸入輸出參數(shù)，就可求解四桿機(jī)械臂末端執(zhí)行器在工作范圍內(nèi)變化過(guò)程中各關(guān)節(jié)的變化。確定運(yùn)動(dòng)參數(shù)并分析計(jì)算插補(bǔ)誤差。通過(guò)PRO-E運(yùn)動(dòng)仿真對(duì)機(jī)械運(yùn)動(dòng)過(guò)程可視化，驗(yàn)證是否達(dá)到工作要求。

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