段黎明，王 侃，陳 中

（1．重慶大學(xué)ICT研究中心，重慶 400030；2．重慶大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，重慶 400030）

0 引言

在使用計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)（Computer Aided Design，CAD）軟件設(shè)計(jì)產(chǎn)品，建立其原始CAD模型并加工成型后，為判斷加工成型后的產(chǎn)品在形狀和尺寸方面是否達(dá)到設(shè)計(jì)要求，需要分析加工成型后的產(chǎn)品和原始CAD模型之間的差別。所采用的方法是：首先對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行數(shù)字化掃描，再根據(jù)掃描獲取的數(shù)據(jù)重建其三維數(shù)字化模型，然后與其原始三維CAD模型進(jìn)行比對(duì)分析。

目前對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行數(shù)字化掃描常用的技術(shù)有三坐標(biāo)機(jī)測量、超聲波測量和工業(yè)計(jì)算機(jī)斷層掃描（Computed Tomography，CT）等。其中工業(yè)CT掃描技術(shù)能以圖像形式準(zhǔn)確反映工件的內(nèi)外部情況，且不受工件復(fù)雜程度的影響，目前已成為檢測復(fù)雜產(chǎn)品（特別是含有內(nèi)腔的產(chǎn)品）的重要手段［1］。由于工業(yè)CT對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行掃描時(shí)有其獨(dú)立的坐標(biāo)系，導(dǎo)致重建的三維數(shù)字化模型坐標(biāo)系不同于產(chǎn)品原始三維CAD模型的坐標(biāo)系，在對(duì)這兩個(gè)模型進(jìn)行比對(duì)分析時(shí)，必須首先進(jìn)行配準(zhǔn)。

目前，配準(zhǔn)領(lǐng)域多以迭代最近點(diǎn)算法（Iterative Closest Point，ICP）及其改進(jìn)算法為主［2］。該算法對(duì)兩模型之間的初始位置要求較高，且很容易陷入局部極值，過早的收斂會(huì)導(dǎo)致配準(zhǔn)失?。?－4］。而近年提出的利用遺傳算法進(jìn)行配準(zhǔn)［5－6］的方法，雖然有較好的全局搜索能力，但耗時(shí)較長。無論采取哪種算法，都有必要進(jìn)行粗配準(zhǔn)，以減少兩模型之間的平移和角度偏差，在較短時(shí)間內(nèi)盡量使兩模型對(duì)齊，為精配準(zhǔn)提供良好的初始條件。

常用的粗配準(zhǔn)方法主要有三點(diǎn)對(duì)齊法、最小包圍盒法、遺傳算法和主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）法等。三點(diǎn)對(duì)齊法［7］不僅引入了人工操作的誤差，不能保證配準(zhǔn)結(jié)果，還無法實(shí)現(xiàn)自動(dòng)配準(zhǔn)；最小包圍盒方法［8］僅利用模型的外部輪廓數(shù)據(jù)，對(duì)內(nèi)部結(jié)構(gòu)不敏感，在配準(zhǔn)由工業(yè)CT圖像重建的模型時(shí)，容易忽略工件內(nèi)部關(guān)鍵結(jié)構(gòu)，導(dǎo)致粗配準(zhǔn)成功率較低；遺傳算法［9］耗時(shí)較長，適用于精配準(zhǔn)領(lǐng)域的多次迭代運(yùn)算而粗配準(zhǔn)要求在較短時(shí)間內(nèi)完成的情形。

PCA方法［10］是一種正交化線性變換方法，它將數(shù)據(jù)變換到一個(gè)新的坐標(biāo)系統(tǒng)中，構(gòu)成較少的不相關(guān)的新變量以代替原始變量，而每個(gè)新變量都包含盡量多的原始變量信息，新變量叫作原始變量的主成分或特征向量［11］。對(duì)于一個(gè)三維剛體，存在特定的表征其質(zhì)量分布的三個(gè)主軸，即三個(gè)主方向，而主軸就是慣量矩陣的特征向量。該方法利用兩模型點(diǎn)云具有相近的點(diǎn)分布特征進(jìn)行配準(zhǔn)，其經(jīng)典算法的思路為：計(jì)算數(shù)據(jù)模型的質(zhì)心及其慣量矩陣的特征向量，并利用質(zhì)心對(duì)齊和主軸對(duì)齊，得到平移向量和旋轉(zhuǎn)矩陣，從而完成配準(zhǔn)。

文獻(xiàn)［12］將PCA方法具體化為力矩主軸法進(jìn)行粗配準(zhǔn)，該方法的優(yōu)點(diǎn)是運(yùn)算量小，缺點(diǎn)是對(duì)數(shù)據(jù)缺失比較敏感。工業(yè)CT掃描圖像重建的三維模型數(shù)據(jù)完整，適宜采用該方法進(jìn)行粗配準(zhǔn)。文獻(xiàn)［13］使用PCA方法對(duì)點(diǎn)云數(shù)據(jù)進(jìn)行粗配準(zhǔn)，提到其反向問題，即由于PCA方法得到的主軸存在兩個(gè)方向，粗配準(zhǔn)的結(jié)果可能是其中任意一個(gè)，不符合配準(zhǔn)預(yù)期，易導(dǎo)致配準(zhǔn)失敗。該文獻(xiàn)采用人工旋轉(zhuǎn)模型將其配準(zhǔn)到正確方向。文獻(xiàn)［14］使用最小包圍盒來糾正PCA的反向問題，但同樣需要多次翻轉(zhuǎn)計(jì)算，時(shí)間空間效率較差。本文針對(duì)PCA方法的反向問題，以工業(yè)CT切片圖像三維重建模型的特點(diǎn)為基礎(chǔ)，提出基于模型形心和質(zhì)心矢量關(guān)系的PCA修正方法，避免主軸反向的發(fā)生。

1 重建模型與CAD模型配準(zhǔn)問題的數(shù)學(xué)描述

利用工業(yè)CT對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行掃描時(shí)，需要根據(jù)產(chǎn)品的內(nèi)外結(jié)構(gòu)情況來確定裝夾方式，掃描坐標(biāo)系不一定與原始CAD模型的坐標(biāo)系一致，這樣根據(jù)掃描數(shù)據(jù)重建的三維數(shù)字化模型與其原始的三維CAD模型常常不會(huì)處于同一坐標(biāo)系中。因此，需要對(duì)三維重建模型進(jìn)行空間變換，使其與CAD模型在空間上對(duì)齊。

工業(yè)CT三維重建模型一般為立體光刻成型（Stereo Lithography，STL）格式的表面模型，它通過大量的三角面片擬合實(shí)體表面來表現(xiàn)模型的空間特征，為方便配準(zhǔn)計(jì)算，將CAD模型離散為表面點(diǎn)云模型。本文假設(shè)兩模型均已轉(zhuǎn)化為不包含冗余數(shù)據(jù)的點(diǎn)云模型。

設(shè)CAD點(diǎn)云模型為點(diǎn)集矩陣P，工業(yè)CT掃描重建點(diǎn)云模型為點(diǎn)集矩陣Q，存在一種剛體變換，使得Q經(jīng)過該變換得到新點(diǎn)集矩陣Q′后，Q′與P在空間上能夠重合，即Q′上任意一點(diǎn)到P的距離最小。配準(zhǔn)問題可依此描述為：求得一個(gè)空間剛體變換S，且滿足distance（S（Q），P）最?。?5］。根據(jù)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)理論［16］，剛體變換S可由一個(gè)旋轉(zhuǎn)矩陣R和一個(gè)平移向量T來描述，

則新點(diǎn)集Q′＝Q·R＋T。

2 主成分分析配準(zhǔn)方法的改進(jìn)

經(jīng)典的PCA配準(zhǔn)方法具體步驟如下：

（1）求兩模型的質(zhì)心GP和GQ。

（2）根據(jù)力學(xué)公式分別求出兩模型的慣量矩陣IP和IQ。

（3）計(jì)算主方向，主方向即為兩模型慣量矩陣IP和IQ的特征向量。由于IP和IQ均為實(shí)對(duì)稱矩陣，故其有三個(gè)正交的特征向量，即三個(gè)正交的主方向。

（4）計(jì)算旋轉(zhuǎn)矩陣R。將兩組特征向量按特征值的大小分別排列為三階方陣并單位化，得到EP和EQ，則可通過R·EQ＝EP求得旋轉(zhuǎn)矩陣R。

（5）計(jì)算兩模型間的平移向量T，T即為兩模型質(zhì)心間的矢量。

（6）將旋轉(zhuǎn)矩陣R和平移矩陣T應(yīng)用到Q上，得到Q′，完成配準(zhǔn)。

該經(jīng)典方法存在一個(gè)致命的缺陷，即計(jì)算出的兩模型慣量矩陣的特征向量沒有確定的正負(fù)號(hào)，導(dǎo)致模型的第二和第三主方向符號(hào)不確定，這將對(duì)后續(xù)旋轉(zhuǎn)矩陣R的求解產(chǎn)生致命影響。在某些情況下主方向會(huì)出現(xiàn)反向，求出R并配準(zhǔn)后，Q′與P關(guān)于某軸線對(duì)稱，直接導(dǎo)致配準(zhǔn)結(jié)果與預(yù)期嚴(yán)重不符。因此，有必要在PCA配準(zhǔn)后判斷是否反向，以及出現(xiàn)反向的主方向向量，從而修正配準(zhǔn)結(jié)果。

2．1 判斷是否反向

形心和質(zhì)心作為點(diǎn)集的固有特征，在正確配準(zhǔn)時(shí)，兩點(diǎn)之間的相對(duì)位置關(guān)系不會(huì)隨空間剛體的變換而變化。當(dāng)配準(zhǔn)反向時(shí)，點(diǎn)云的形心與質(zhì)心的相對(duì)位置關(guān)系與正常情況反向，因此該位置關(guān)系便可作為一種是否反向的判斷標(biāo)準(zhǔn)。圖1所示為點(diǎn)集模型中各點(diǎn)和矢量在aGb平面的投影示意圖，其中兩段弧分別表示點(diǎn)集P和Q′，a和b是P的兩個(gè)主方向，G是P和Q′配準(zhǔn)后共同的質(zhì)心，PMP和PMQ′分別是P和Q′的形心MP和MQ′在aGb平面的投影點(diǎn)，點(diǎn)集的形心和質(zhì)心的位置關(guān)系在aGb平面內(nèi)用矢量GPMP和GPMQ′表示。利用PCA配準(zhǔn)正常時(shí)（如圖1a），由于配準(zhǔn)誤差，GPMP與GPMQ′之間有一定夾角，但兩者在a和b方向上不存在方向相反的分量。只有在PCA配準(zhǔn)產(chǎn)生反向時(shí)（如圖1b），兩矢量在a軸上的分量會(huì)近似地大小相等、方向相反，在b軸上的分量也一樣。因此，可以通過對(duì)比兩點(diǎn)集形心與質(zhì)心的位置關(guān)系，判斷出是否有反向情況發(fā)生，方法為首先計(jì)算由點(diǎn)集形心和質(zhì)心構(gòu)成的兩個(gè)矢量GMP和GMQ′，將它們分別投影在三個(gè)主方向a，b，c上，然后判斷兩矢量在三個(gè)方向上的分量，有如下三種情況：

（1）若兩矢量在其中一個(gè)主方向上的兩個(gè)投影分量同向，在另兩個(gè)主方向上的分量分別反向，則判定模型發(fā)生了反向，且同向的投影分量所在主方向?yàn)樾D(zhuǎn)軸線。

（2）若兩矢量在兩個(gè)主方向上的投影分量同向，在另一個(gè)主方向上的兩投影分量反向，則判定配準(zhǔn)模型不存在反向問題。

（3）若兩矢量在三個(gè)主方向上的投影分量分別同向，則判定配準(zhǔn)模型不存在反向問題。

2．2 修正反向的點(diǎn)集

因?yàn)镻CA配準(zhǔn)反向相當(dāng)于點(diǎn)集Q′繞一個(gè)主方向（用c表示）旋轉(zhuǎn)了180°，找出該主方向并逆向旋轉(zhuǎn)180°即可完成修正。如圖2所示，在由點(diǎn)集形心和質(zhì)心構(gòu)成的兩矢量GMP和GMQ′確定的平面內(nèi)，這兩個(gè)矢量關(guān)于c對(duì)稱，因此可將兩者在平面內(nèi)的對(duì)稱軸s作為逆向旋轉(zhuǎn)的軸。

將Q′繞s軸旋轉(zhuǎn)180°，即可完成對(duì)反向點(diǎn)集的修正。

2．3 算法步驟

假設(shè)已由PCA的前述步驟得到Q′及兩點(diǎn)集質(zhì)心。

步驟1 計(jì)算P和Q′的形心MP和MQ′。

步驟2 計(jì)算P的形心與質(zhì)心的距離，若小于一定閾值，則認(rèn)為兩點(diǎn)重合，無法完成后續(xù)配準(zhǔn)運(yùn)算，退出；否則，繼續(xù)步驟3。

步驟3 計(jì)算兩點(diǎn)集質(zhì)心與形心的位置關(guān)系，用向量表示為u＝GMP，v＝GMQ′。

步驟4 求得兩向量在三個(gè)主方向上的分量，ua，ub，uc，va，vb，vc，分別判斷ua與va、ub與vb、uc與vc的方向，若有兩個(gè)主方向上的分量同向，則認(rèn)為不存在反向情況，結(jié)束；若有一個(gè)主方向上分量同向，另兩方向上分量反向，則認(rèn)為存在反向，轉(zhuǎn)步驟5。

步驟5 計(jì)算u和v之間的對(duì)稱軸矢量s，將Q′繞s旋轉(zhuǎn)180°，轉(zhuǎn)步驟3。

由此得到的模型點(diǎn)集Q′即為修正后的配準(zhǔn)結(jié)果。

2．4 方法適用范圍

本文通過計(jì)算點(diǎn)云模型的形心與質(zhì)心位置關(guān)系來判斷是否有反向發(fā)生，該方法能夠正確配準(zhǔn)的前提為點(diǎn)云模型的形心與質(zhì)心不重合。由于工業(yè)CT自身的貫穿性特點(diǎn)，其掃描的產(chǎn)品大多包含內(nèi)腔，且不規(guī)則，質(zhì)量在空間上分布不均勻，重建出的點(diǎn)云模型形心與質(zhì)心一般不重合，適合采用本文方法。形心與質(zhì)心重合的產(chǎn)品使用本方法計(jì)算時(shí)有可能產(chǎn)生錯(cuò)誤，不屬于本文方法適用的范圍。

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

在Windows XP系統(tǒng)中使用VC＋＋6．0開發(fā)了實(shí)驗(yàn)軟件，計(jì)算機(jī)為主頻2．0GHz CPU，1 000 MB內(nèi)存，圖形開發(fā)包使用Open Inventor，版本為SIM公司的Coin3D。以下配準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)均在該實(shí)驗(yàn)軟件下完成。

3．1 實(shí)驗(yàn)一

為驗(yàn)證本文方法在PCA方法反向問題上的有效性，選取GE公司公布的Engine Block模型進(jìn)行配準(zhǔn)。對(duì)Engine Block切片進(jìn)行三維重建得到點(diǎn)云模型，包括985 993個(gè)點(diǎn)，為方便觀察，導(dǎo)入軟件后對(duì)點(diǎn)云模型進(jìn)行表面著色渲染，如圖3的灰色模型所示；對(duì)模型進(jìn)行一定的空間變換后生成一新點(diǎn)云模型，如圖3的黑色模型所示。該發(fā)動(dòng)機(jī)模型為腔體類工件，外形輪廓近似長方體，但內(nèi)部結(jié)構(gòu)復(fù)雜，點(diǎn)云的空間分布也不均勻，符合本文方法的適用范圍。首先對(duì)其使用經(jīng)典的PCA方法進(jìn)行配準(zhǔn)，配準(zhǔn)結(jié)果如圖4所示，在灰色模型的上側(cè)和燃燒室部分存在明顯不匹配的情況，黑色模型由于反向問題而產(chǎn)生上下部分和前后部分的顛倒。使用本文方法配準(zhǔn)后的結(jié)果如圖5所示，圖中模型被扭轉(zhuǎn)過來，上部和燃燒室部分都已基本對(duì)齊，說明已經(jīng)不存在方向性的配準(zhǔn)錯(cuò)誤，解決了PCA方法配準(zhǔn)的反向問題。

3．2 實(shí)驗(yàn)二

為驗(yàn)證本文方法能滿足產(chǎn)品工業(yè)CT掃描重建模型與原始CAD模型粗配準(zhǔn)的要求，選取某型號(hào)化油器進(jìn)行工業(yè)CT掃描，將切片圖像進(jìn)行三維重建得到其點(diǎn)云模型，包括241 964個(gè)點(diǎn)，如圖6中的黑色模型所示；將該化油器的原始CAD模型離散化為點(diǎn)云模型，包括258 044個(gè)點(diǎn)，如圖6中的灰色模型所示?；推髂Ｐ徒Y(jié)構(gòu)復(fù)雜，油路等表面特征無規(guī)則，點(diǎn)云的空間分布不均勻，滿足本文方法適用范圍。使用經(jīng)典PCA方法配準(zhǔn)的結(jié)果如圖7所示，重建模型背面的法蘭盤被變換到了CAD模型正面的進(jìn)氣孔部位。使用本文方法配準(zhǔn)，結(jié)果如圖8所示，兩模型的進(jìn)氣孔及上部的凸緣等其他部分已基本對(duì)齊，不存在方向性的配準(zhǔn)錯(cuò)誤，從而得到了正確的粗配準(zhǔn)結(jié)果。

利用Metro［17］對(duì)兩點(diǎn)云模型進(jìn)行點(diǎn)采樣，并求出兩模型的最大誤差為9．584 792mm，平均誤差為1．982 866mm，標(biāo)準(zhǔn)誤差為2．471 730mm。實(shí)驗(yàn)表明，本文方法在完成模型方位正確配準(zhǔn)的前提下，能夠?qū)⑴錅?zhǔn)誤差保持在較小范圍，為后續(xù)精配準(zhǔn)提供了較好的初始位置。

3．3 實(shí)驗(yàn)三

為了對(duì)比本文方法與已有修正PCA反向的方法，通過在本文實(shí)驗(yàn)軟件平臺(tái)上編寫程序，實(shí)現(xiàn)了文獻(xiàn)［14］使用的修正方法，并對(duì)如圖9所示的工件進(jìn)行粗配準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)。該工件包括51 770個(gè)點(diǎn)云。文獻(xiàn)［14］通過計(jì)算兩模型包圍盒的重合比例來判斷是否反向，若反向則通過翻轉(zhuǎn)模型繼續(xù)判斷，直到該比例超過閾值k。但該方法的比例閾值k的選取直接影響了配準(zhǔn)的正確性，圖10所示為k分別取60%，80%和95%時(shí)該方法的配準(zhǔn)結(jié)果?？梢钥闯?，當(dāng)閾值k較低，而兩模型空間姿態(tài)相差較大，且兩包圍盒重合度較高時(shí)，該方法可能會(huì)產(chǎn)生誤判，沒有修正反向問題；當(dāng)閾值k較高時(shí)，又可能出現(xiàn)無法達(dá)到閾值的情況，導(dǎo)致配準(zhǔn)結(jié)果不確定。使用本文方法對(duì)兩模型進(jìn)行配準(zhǔn)，結(jié)果修正了反向問題，如圖11所示。表1所示為本文方法與文獻(xiàn)［14］方法在配準(zhǔn)耗時(shí)和方向正確性兩方面的對(duì)比，本文方法一次配準(zhǔn)0．266s得到正確結(jié)果，相對(duì)文獻(xiàn)［14］的方法有較少的耗時(shí)和較高的可靠性。

表1 本文方法與文獻(xiàn)［14］方法粗配準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)對(duì)比

4 結(jié)束語

本文根據(jù)工業(yè)CT掃描對(duì)象的特點(diǎn)，通過計(jì)算點(diǎn)云模型形心與質(zhì)心的位置關(guān)系，判斷并修正PCA方法配準(zhǔn)的反向模型。通過對(duì)照實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了本文方法能夠解決PCA方法配準(zhǔn)時(shí)的反向問題，在完成模型方位正確配準(zhǔn)的前提下，能夠?qū)⑴錅?zhǔn)誤差保持在較小范圍，為后續(xù)精配準(zhǔn)提供較好的初始位置。但本文只研究了不規(guī)則工件模型的粗配準(zhǔn)問題，規(guī)則工件模型的粗配準(zhǔn)問題還有待于進(jìn)一步研究。

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