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        淺談基本不等式的應用

        2013-07-29 02:27:22陳明發(fā)
        新課程學習·中 2013年5期
        關鍵詞:基本不等式不等式中學數(shù)學

        陳明發(fā)

        摘 要:基本不等式是中學數(shù)學中非常重要的不等式,在解題中應用十分廣泛.靈活應用基本不等式解題是高考命題的熱點,是教與學的重點及難點.通過舉例來探討基本不等式在解題中的一些應用及注意事項,讓學生在學習中充分經(jīng)歷知識的形成過程,從而形成自己對基本不等式的突破策略,培養(yǎng)學生的歸納、總結能力.

        關鍵詞:不等式;中學數(shù)學;基本不等式;函數(shù)最值

        一、用于求最值

        運用基本不等式是求最值的一種常用方法,必須滿足“一正、二定、三相等”這三個條件.但往往不能直接套用,通常要經(jīng)過恰當?shù)刈冃尾拍苓\用.

        已知x>0,y>0,則

        (1)積定,和最小.

        如果積xy是定值P,那么當且僅當x=y時,x+y有最小值是

        2 .

        (2)和定,積最大.

        如果和x+y是定值S,那么當且僅當x=y時,xy有最大值是 .

        例1.求函數(shù)y=x+ (x<0)的最大值.

        分析:因為x<0,所以先要“調(diào)整”符號,后再對x進行變形.

        解:∵x<0,

        ∴y=x+ =-(-x)+ ≤-2 =- .

        當且僅當x=- 時,等號成立,故ymax=- .

        評注:此題的關鍵就是對數(shù)的符號的調(diào)整,滿足是在正數(shù)的條件下運用基本不等式.

        二、用于證明不等式

        利用基本不等式證明不等式,應先觀察題目的條件是否滿足基本不等式的使用條件,若不滿足,則應通過添項、拆項、配系數(shù)、“1”的代換等方法,使其滿足,再結合不等式的基本性質(zhì),達到證明的目的.

        例2.已知a>0,b>0,c>0,d>0,求證: + ≥4

        證明: + = + + + =( + )+( + )≥2+2=4.

        當且僅當a=b且c=d,等號成立.

        故 + ≥4.

        評注:此題考查了常見結論“ + ≥2(a、b同號)”的應用.其常用的結論還有 ≤ ≤ ≤ (a、b∈R+).

        三、用于大小的比較

        例3.已知實數(shù)a,b,c滿足a+b+c=1,試比較a2+b2+c2,ab+bc+ac, 的大小.

        解:∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≤a2+b2+c2+(a2+b2)+(b2+c2)+(a2+c2)=3(a2+b2+c2).

        ∴a2+b2+c2≥ .

        ∵a2+b2≥2ab,當且僅當a=b時,等號成立.

        b2+c2≥2bc,當且僅當b=c時,等號成立.

        a2+c2≥2ac,當且僅當a=c時,等號成立.

        三個不等式相加得:a2+b2+c2≥ab+bc+ac,

        (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≥3(ab+bc+ac),

        ∴ab+bc+ac≤ ,當且僅當a=b=c時,等號成立.

        ∴ab+bc+ac≤ ≤a2+b2+c2.

        評注:當多次使用基本不等式時,一定要注意每次是否能保證等號成立,并且要注意取等號的條件的一致性,否則就會出錯,因此,在利用基本不等式處理問題時,列出等號成立的條件不僅是解題的必要步驟,而且也是檢驗轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法.

        四、用于求取值范圍

        例4.若a<0,0

        分析:a>1,0

        解:∵logab+logba=-(-logba)+(- )

        又(-logab)+(- )≥2 ∴l(xiāng)ogab+logba≤-2

        當且僅當logab=logba,即當b= 時,等號成立.

        因此,所求的取值范圍為(-∞,-2].

        五、用于解實際生活中的問題

        例5.某廠花費50萬元買回一臺機器,這臺機器投入生產(chǎn)后每天要付維修費,已知第x天應付的維修費為 (x-1)+500元.機器從投產(chǎn)到報廢共付的維修費與購買機器費用的和均攤到每一天,叫做每天的平均損耗,當平均損耗達到最小值時,機器應當報廢.

        (1)將每天的平均損耗y(元)表示為投產(chǎn)天數(shù)x的函數(shù);

        (2)求機器使用多少天應當報廢?

        解:(1)機器投產(chǎn)x天,每天的平均損耗是

        y=

        = 500000+500x+ x(x-1)= + +499

        (2)y= + +499 ≥2 +499

        =200+499 =999 .

        當且僅當 = ,即當x=2000時,等號成立.

        所以,這臺機器使用2000天應當報廢.

        評注:利用基本不等式解決實際問題時,首先要認真審題,分析題意,建立合理的不等式模型,最后通過基本不等式解題.注意最常用的兩種題型:積一定,和最?。缓鸵欢?,積最大.

        基本不等式是高中數(shù)學的重要內(nèi)容,在歷年高考試題中有廣泛的應用.數(shù)學教師在教學中要讓學生理解并掌握以上幾種常見的類型,使學生在解決此類問題時思路清晰,從而加快解題的速度和提高解題的正確率;并且要對知識進行歸納總結,注意突出重難點,使學生在理解的基礎上更加容易記憶,能夠牢固掌握知識.

        參考文獻:

        [1]肖剛.淺議均值不等式.高中數(shù)學教與學,2010(10).

        [2]趙建勛.淺談均值不等式的應用.高中數(shù)學教與學,2011(5).

        [3]姜建平.例談基本不等式的運用.數(shù)理化解題研究:高中版,2012(12).

        (作者單位 福建省仙游縣華僑中學)

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