☉江蘇省西亭高級中學(xué) 陸王華

2013年高考江西卷第20題為解析幾何題，它是一道考查了橢圓的方程、直線與橢圓的位置關(guān)系、直線的斜率等知識的綜合試題，看似常規(guī)，卻彰顯對常規(guī)數(shù)學(xué)思想方法以及通性通法的運(yùn)用，突出“淡化層次內(nèi)的區(qū)分，強(qiáng)化層次間的區(qū)分”的評價(jià)理念，考查了學(xué)生綜合應(yīng)用知識及探究問題的能力，值得繼續(xù)學(xué)習(xí)與研究.

一、試題呈現(xiàn)

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

圖1

（Ⅱ）AB是經(jīng)過右焦點(diǎn)F的任一弦（不經(jīng)過點(diǎn)P），設(shè)直線AB與直線l相交于點(diǎn)M，記PA，PB，PM的斜率分別為k1，k2，k3.問：是否存在常數(shù)λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求λ的值；若不存在，說明理由.

二、試題探究

1.縱向探究

又因?yàn)閥1x2+y2x1=2kx1x2-kc（x1+x2），y1+y2=k（x1+x2）-2kc，所以

上面的結(jié)論中，點(diǎn)F在x軸上，很自然聯(lián)想到，若將點(diǎn)F改在y軸上，情況如何？

筆者通過探究得到如下結(jié)論：

圖2

證明：由結(jié)論1的證明得

2.橫向探究

對于雙曲線和拋物線也有類似結(jié)論：

據(jù)圓錐曲線的對稱性，改變焦點(diǎn)F及相應(yīng)準(zhǔn)線的位置，上述結(jié)論也同樣成立.

于是得到圓錐曲線的一個(gè)統(tǒng)一定理：

定理：點(diǎn)P是圓錐曲線E上一點(diǎn)，準(zhǔn)線為l，對應(yīng)的焦點(diǎn)為F，PF⊥x軸，AB是經(jīng)過焦點(diǎn)F的任一弦（不過P點(diǎn)），設(shè)直線AB與準(zhǔn)線l相交于點(diǎn)M，記PA，PB，PM的斜率分別為kPA，kPB，kPM，則kPA+kPB=2kPM.

3.拓展探究

類比可得，雙曲線和拋物線也有下面結(jié)論：

在平時(shí)課堂教學(xué)中，我們不僅要得到問題的答案，更要讓學(xué)生知道問題的一般規(guī)律即數(shù)學(xué)本質(zhì).正確認(rèn)識必然性與偶然性的辯證關(guān)系對于學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)有重要的指導(dǎo)意義.在新課改理念指引下，就是要培養(yǎng)學(xué)生透過大量的偶然性的表面現(xiàn)象去揭示其中蘊(yùn)涵的一般規(guī)律，由現(xiàn)象認(rèn)識本質(zhì)，由個(gè)別到一般，由經(jīng)驗(yàn)上升為理論，這一點(diǎn)在新課改中顯得尤為重要.