☉重慶市梁平實(shí)驗(yàn)中學(xué) 蔣明建

用基本不等式求函數(shù)的最值以及證明不等式是高中數(shù)學(xué)非常重要的內(nèi)容，也是高考熱點(diǎn)，在歷年各地的高考試題中頻頻出現(xiàn)直接或中間過程運(yùn)用基本不等式求解的題目，可謂?？疾凰ァ⒊？汲Ｐ?玄機(jī)何在？我們知道，應(yīng)用基本不等式必須同時(shí)具備“一正（各項(xiàng)值為正）、二定（各項(xiàng)的和或積為定值）、三相等（取“等號(hào)”的條件）”這三個(gè)條件，缺一不可.在具體的題目中“正數(shù)”條件往往容易從題設(shè)中獲得，“相等”條件也容易驗(yàn)證確定，而“定值”條件涉及各種數(shù)學(xué)式子的“和”、“積”，既是式子的表現(xiàn)形式又是運(yùn)算形式，可靜可動(dòng)靈活多變，不拘一格，因此，“定值”條件往往以某種形式隱蔽在所給數(shù)學(xué)式子中（通常是命題者設(shè)計(jì)的一個(gè)難點(diǎn)），要獲得此條件需要對(duì)所給的解析式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，具有很?qiáng)的靈活性和技巧性.可見，有效實(shí)現(xiàn)基本不等式“和定”“積定”條件，就找到了“活用”、“巧用”基本不等式解題的源頭.怎樣才能有效獲得“和定”“積定”這一重要條件呢？通常統(tǒng)稱為“配湊”、“構(gòu)造”，筆者在此通過對(duì)一些典型題目的解析，將本人在教學(xué)中應(yīng)用基本不等式解題時(shí)獲取“定值”的一些常用、細(xì)化方法作一個(gè)歸納、梳理，望能對(duì)讀者有一定借鑒作用.

一、加項(xiàng)、減項(xiàng)變形

二、乘、除變形

（1）求C的方程；

（2）點(diǎn)P為C上的動(dòng)點(diǎn)，l為C在點(diǎn)P處的切線，求O點(diǎn)到l的距離.

評(píng)注：這兩個(gè)問題都比較簡單，卻是很具有代表性的常見問題，屬于一次比二次或二次比一次的分式函數(shù)求最值問題，通常都可以采用乘除變形，使題目隱藏的“定值”條件顯現(xiàn)出來，從而在分母或分子中能夠用均值不等式，使問題變得易于求解.

三、平方、開方變形

四、代換變形

1.常值代換

例5 （2010年湖北武漢調(diào)研）過定點(diǎn)P（2，1）的直線l交x軸正半軸于點(diǎn)A，交y軸正半軸于點(diǎn)B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB周長的最小值為（ ）.

A.8 B.10

圖1

評(píng)注：這是一道難題，想到用分母之和“t+（1-t）=1”進(jìn)行常值“1”代換，構(gòu)成“積定”條件，從而用基本不等式求解，好比用“四兩砣撥動(dòng)了千斤鼎”，化難為易，化繁為簡，大大簡化了解題過程.“1”代換解決有些數(shù)學(xué)問題很巧妙，望注意適時(shí)應(yīng)用，能用時(shí)切不可棄之不用.

2.變量代換

3.整體代換

例 7 已知x、y、z均為正數(shù)，xyz（x+y+z）=1，求（x+y）（y+z）的最小值.

評(píng)注：能觀察出用這種整體代換變形，實(shí)現(xiàn)均值不等式的“積定”條件，十分巧妙.代換法是數(shù)學(xué)中應(yīng)用最廣泛的一種方法，在解題中若能熟練靈活地應(yīng)用，將大大簡化解題過程，收到事半功倍的效果.

五、代入（消元）變形

六、分解與組合變形

評(píng)注：這類題考查了較強(qiáng)變形式子的能力，打破了題目中式子原有結(jié)構(gòu)，或分解或重新優(yōu)化組合，構(gòu)成基本不等式“和定”、“積定”特征形式，然后利用基本不等式，體現(xiàn)了“不破不立”的思想，在高考題中頻頻出現(xiàn)，如2010年重慶高考題（理 7）“已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，則x+2y的最小值”便屬于這一類題，值得重視.

“分久必合，合久必分”，分解與組合是相對(duì)的，它們相互聯(lián)系又互相轉(zhuǎn)化，這是客觀事物發(fā)展中的必然規(guī)律，把這一規(guī)律運(yùn)用到數(shù)學(xué)解題中就是分解與組合的思想，望認(rèn)真體會(huì)切實(shí)掌握.

七、重復(fù)使用基本不等式

評(píng)注：求解最值問題時(shí)，有時(shí)需要同時(shí)或者連續(xù)多次使用基本不等式，這時(shí)一定要注意使用條件必須一致，即每次取得“=”的條件要一致，否則求出的結(jié)果是錯(cuò)誤的.重復(fù)使用基本不等式求解的高考題出現(xiàn)的頻率相當(dāng)高（見 2011 年湖南，2009、2007、2005 年重慶，2008 年江蘇等地的高考題），望能足夠重視.

八、待定系數(shù)法變形

評(píng)注：分析題目結(jié)構(gòu)，根據(jù)題目中的數(shù)“21”與“28”的關(guān)系，將問題合理轉(zhuǎn)化是解決本問題的切入點(diǎn)，運(yùn)用待定系數(shù)法確定需要“配湊”的系數(shù)是解決本問題的一把利器.

以上各題目從所給出的式子形式來看，都不能直接應(yīng)用基本不等式求解（有的可以用其他方法求解），其原因在于不完全具備基本不等式的“正”、“定”、“等”三個(gè)條件，特別是“和定”、“積定”的條件不明顯，只有通過相應(yīng)的變形轉(zhuǎn)化后才可實(shí)現(xiàn).由此可見，“定值”條件決定著基本不等式應(yīng)用的可行性，是解題成功的關(guān)鍵（在取得最值時(shí)，還必須要各項(xiàng)相等，這是檢驗(yàn)“定值”轉(zhuǎn)換是否正確的一種方法）.本文中共舉例介紹了常用的八種構(gòu)造“定值”的變形方法，值得注意的是，在具體的解題過程中，每一個(gè)題并不是只用其中的一種方法，往往是幾種方法的綜合運(yùn)用.也正因?yàn)椤岸ㄖ怠睏l件得以實(shí)現(xiàn)的變形方法如此靈活多樣、豐富多彩，才使得基本不等式如此地充滿了生機(jī)與活力，讓人感受到數(shù)學(xué)的無窮奧妙和神奇；也正因?yàn)榛静坏仁降摹盎钣谩?、“巧用”能給我們的思維提供廣闊的發(fā)展空間，才會(huì)讓人們學(xué)習(xí)起來充滿了樂趣和美的享受，才會(huì)使運(yùn)用基本不等式求解的高考考題層出不窮、?？疾凰ァ⒊？汲Ｐ?“問渠哪得清如許，為有源頭活水來”，“活用”、“巧用”基本不等式解題的源頭正在于此.

1.史美初.應(yīng)用平均值不等式，在“活”與“巧”上下功夫［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬），2005（1-2）.

2.安振平.妙用二元均值不等式證明不等式［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬），2008（9）.

3.蔣明建.善用“1”巧解數(shù)學(xué)題［J］.高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2010（4）.