☉河南省許昌市普通教育教學(xué)研究室 張 蘊(yùn)

著名數(shù)學(xué)家波利亞說(shuō)過(guò)：當(dāng)你找到第一個(gè)蘑菇或做出第一個(gè)發(fā)現(xiàn)后，再四處看看，它們總是成群生長(zhǎng)的.通過(guò)探究得到了上述不等式的第二個(gè)證明：

所以f（x）在0＜x＜1上是凹函數(shù).

于是，由凹函數(shù)的性質(zhì)知，

評(píng)注：上面利用高等的方法“輕而易舉”地證明了所要證的不等式，所謂的初等方法和高等方法都是相對(duì)的，簡(jiǎn)單的、可操性比較強(qiáng)的方法才是本質(zhì)的，利用上述方法可以很容易證明［2］中王老師提出的推廣.

在證明推廣的結(jié)論之前，筆者先指出文［2］中一處證明的錯(cuò)誤：

最后，作者得到上述推廣不等式的證明.

下面給出正確的證明過(guò)程：

顯然最后一個(gè)不等式成立，故猜想成立.也就是說(shuō)，從筆者得到的結(jié)論可以得到王老師的結(jié)論，而且從上面證明猜想的過(guò)程可以看出：只有當(dāng)n=3時(shí)，王老師的結(jié)論才可以取到等號(hào).

評(píng)注：文［1］、［2］的初等方法不能對(duì)推廣的結(jié)論加以證明，而利用“以直代曲”的思想方法和凹函數(shù)的性質(zhì)可以將上述推廣的結(jié)論“輕而易舉”地“拿下”，可見其“威力”所在.所以，“合適的才是最好的”，沒有最好的方法只有更好的方法.對(duì)上面修正的不等式也可以通過(guò)“以直代曲”的思想方法加以證明，參考上面的證法1，筆者在此不再敘述，留給有興趣的讀者探究.

故x+y+z≥1；

反之，當(dāng)x，y，z∈R+，且x+y+z=1，

通過(guò)上面的探究可以得到如下對(duì)偶命題：

（1）若x，y，z均為小于1的正數(shù)，則

（2）若x，y，z∈R+，且x+y+z=1，則

評(píng)注：上面通過(guò)凹函數(shù)的性質(zhì)（當(dāng)然也可以利用“以直代曲”的思想方法加以解決），輕而易舉地證明了對(duì)偶命題，可見利用“先進(jìn)”的方法可以更加清楚地看出問(wèn)題的本質(zhì)，也可以說(shuō)上面筆者所使用的方法是證明此類不等式的一種通法.

結(jié)束語(yǔ)：

解決有關(guān)不等式問(wèn)題往往比較困難，困難的原因是不等式的證明方法靈活多變，沒有固定的套路.這正是不等式問(wèn)題的“迷人和美妙”所在，使研究不等式問(wèn)題的人樂(lè)此不疲.

上面筆者利用“以直代曲”的思想方法和凹函數(shù)的性質(zhì)對(duì)相關(guān)的不等式做了證明，取得了很好的證明效果，使得問(wèn)題的本質(zhì)更加“看得”清楚，也算是用高等的方法指導(dǎo)初等數(shù)學(xué)的一種嘗試.這種探究正印證了著名數(shù)學(xué)家波利亞的一句話：沒有任何一個(gè)題目是徹底完成了的，總還會(huì)有些事情可以做；在經(jīng)過(guò)充分的研究和觀察以后，我們可以將任何解題方法加以改進(jìn)；而且無(wú)論如何，我們總可以深化我們對(duì)答案的理解.

1.李歆.也談一個(gè)不等式的簡(jiǎn)單初等證明［J］.數(shù)學(xué)通訊（下半月），2010（9）.

2.王淼生.“簡(jiǎn)潔”“自然”來(lái)探究三人同行求解惑——對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題2090的膚淺探究［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2013（5）.