☉江蘇省栟茶高級(jí)中學(xué) 張 飛

錯(cuò)題集是學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中，把自己做過(guò)的作業(yè)、習(xí)題、試卷中的錯(cuò)題整理成冊(cè)，便于找出自己學(xué)習(xí)中的薄弱環(huán)節(jié)，在復(fù)習(xí)時(shí)能夠突出重點(diǎn)、更有針對(duì)性，進(jìn)而提高復(fù)習(xí)效率、提高學(xué)習(xí)成績(jī).本學(xué)期筆者嘗試指導(dǎo)學(xué)生使用錯(cuò)題集來(lái)搜集典型錯(cuò)題，通過(guò)錯(cuò)題集進(jìn)行數(shù)學(xué)反思、培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)態(tài)度和習(xí)慣，指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)歸納分析、梳理，抓住問(wèn)題的關(guān)鍵，條理化、系統(tǒng)化地解決問(wèn)題；通過(guò)錯(cuò)題集解決零散、疏漏等問(wèn)題，通過(guò)一學(xué)期的實(shí)踐，有效使用錯(cuò)題集，可以培養(yǎng)優(yōu)良數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，具體表現(xiàn)為思維的嚴(yán)密性、廣闊性、深刻性、獨(dú)創(chuàng)性及批判性等數(shù)學(xué)思維品質(zhì).

一、經(jīng)常閱讀，查漏補(bǔ)缺，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)密性

錯(cuò)題集不是簡(jiǎn)單的錯(cuò)題的集中，它需要學(xué)生經(jīng)常把其中的錯(cuò)題拿出來(lái)復(fù)習(xí)，重新再做，體會(huì)其中的方法，這樣就使每一道題都發(fā)揮出最大效果，在今后遇到同類習(xí)題時(shí)，就避免在同一個(gè)地方摔倒.這樣經(jīng)常溫故知錯(cuò)、持之以恒，學(xué)生的成績(jī)就會(huì)得到提高.

案例1 （1）△ABC中，A（0，-1），B（0，1），A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且a，c，b構(gòu)成公差大于0的等差數(shù)列，則頂點(diǎn)C的軌跡方程為______.

學(xué)生都能解出方程，但忽視了限制條件：能構(gòu)成三角形而且公差大于0.

（2）對(duì)概念學(xué)習(xí)的反思.

生1：今天學(xué)習(xí)了橢圓的定義，我用代數(shù)式表示：

E（-2，0），F(xiàn)（2，0），EF=4，令P（x，y），則

（3）對(duì)出錯(cuò)題的反思.

又1+2+22+…+210有11項(xiàng)，

讓學(xué)生整理錯(cuò)題集，一方面可以完善學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，拓寬學(xué)生的思維方式，提高解題能力，另一方面，老師通過(guò)閱讀學(xué)生的錯(cuò)題集，了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，及時(shí)調(diào)整教學(xué)計(jì)劃，同時(shí)促進(jìn)師生之間的交流.

二、相互交流，必要補(bǔ)充，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的廣闊性

由于基礎(chǔ)不同，每個(gè)學(xué)生的錯(cuò)題集各不相同.通過(guò)交流，學(xué)生之間可以相互借鑒，提醒自己不要犯同樣的錯(cuò)誤，提高做題的效率.

生3的錯(cuò)誤解法：設(shè)F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0），在△F1PF2中用余弦定理，得到：

化簡(jiǎn)得：

對(duì)①式兩邊平方，化簡(jiǎn)得c2=4或16.再由點(diǎn)在橢圓上，解出a2，b2的值.

事實(shí)上，①式隱含了條件16-2c2≥0，所以c2=16舍去.在整理錯(cuò)題時(shí)可以注明，化簡(jiǎn)的過(guò)程要等價(jià)，另外，還可以補(bǔ)充其他同學(xué)的做法.

生4：設(shè)PF1=m，PF2=n，由橢圓的定義及在△F1PF2中用余弦定理得：

由①，②可解出a2=10，b2=6.

當(dāng)然，生3的錯(cuò)誤對(duì)其他同學(xué)也是個(gè)警示，其他同學(xué)也可以把他的錯(cuò)誤標(biāo)注在自己的錯(cuò)題集上.

對(duì)于每一個(gè)錯(cuò)題，你應(yīng)該能從各個(gè)方面理解它，補(bǔ)充多種解法，否則，在下一次測(cè)試中，對(duì)于這一問(wèn)題的處理再深入一點(diǎn)，你可能還要犯同樣的錯(cuò)誤.

三、注重聯(lián)系，聯(lián)想轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的深刻性

在教學(xué)活動(dòng)中，學(xué)生對(duì)很多數(shù)學(xué)問(wèn)題無(wú)從下手.學(xué)生訂正錯(cuò)題后，此時(shí)的關(guān)鍵是教師如何讓學(xué)生的思維逐步上升到能揭示知識(shí)間內(nèi)在的本質(zhì)屬性.所以在做錯(cuò)題集的過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生善于洞察數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性及相互關(guān)系；善于消去條件與結(jié)論的本質(zhì)差異，尋找解決問(wèn)題的突破口，迅速確定解題策略并形成解題方法，即培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的深刻性.

CRD法雖然已經(jīng)被廣泛地應(yīng)用于大斷面淺埋偏壓隧道的建設(shè)，但仍存在一定的技術(shù)問(wèn)題，主要包括施工指導(dǎo)問(wèn)題和防排水技術(shù)問(wèn)題，這或多或少地導(dǎo)致大斷面淺埋偏壓隧道建設(shè)存在一些問(wèn)題。

學(xué)生在訂正題后，可以引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想到，若把雙曲線改為橢圓，則以PF1為直徑的圓和哪個(gè)定圓相切？

通過(guò)引導(dǎo)，看似不同的題目，其解決的方法和思想都是一樣的，都可以用圓錐曲線的定義來(lái)解決.由此可見，學(xué)生訂正完一道題后，會(huì)經(jīng)常注意反思此題的思想方法是否可以做一般性的推廣與引申，長(zhǎng)此以往，學(xué)生可以鞏固他們的知識(shí)和發(fā)展他們的解題能力，形成數(shù)學(xué)思想，提高解題能力，同時(shí)培養(yǎng)了數(shù)學(xué)思維的深刻性.

四、錯(cuò)題改編，善于思考，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的獨(dú)創(chuàng)性

這一工作的難度較大，解題經(jīng)驗(yàn)豐富的同學(xué)可能做起來(lái)比較順利.很多同學(xué)在解了很多題目之后，對(duì)有些題型能夠準(zhǔn)確把握.初始階段，學(xué)生只需要對(duì)題目做一點(diǎn)改動(dòng).如：考慮條件與結(jié)論交換是否成立？考慮一般的情況會(huì)怎樣？

案例4 已知直線y=x-2與拋物線y2=2x相交于點(diǎn)A，B，則∠AOB=_____.

學(xué)生在訂正完后，可以引導(dǎo)學(xué)生將此題改編：

將直線一般化：

（1）直線l過(guò)（2，0），交拋物線y2=2x于A，B兩點(diǎn)，則∠AOB=______.

將條件與結(jié)論交換，證明充要性：

（2）已知直線l交y2=2x于A，B兩點(diǎn)，且OA⊥OB，證明：直線l過(guò)（2，0）.

將結(jié)論一般化：

（3）已知直線l交y2=2px（p>0）于A，B兩點(diǎn)，且OA⊥OB，證明：直線l過(guò)（2p，0）.

將點(diǎn)O位置一般化：

（4）已知直線l交y2=2px（p>0）于A，B兩點(diǎn)，M是拋物線上一點(diǎn)，且MA⊥MB，證明：直線l過(guò)定點(diǎn).

在學(xué)生做錯(cuò)題集的過(guò)程中，只要學(xué)生的思考方式方法新穎，獨(dú)特，教師應(yīng)該不吝表?yè)P(yáng)，鼓勵(lì)學(xué)生善于動(dòng)腦，培養(yǎng)學(xué)生思維的獨(dú)創(chuàng)性.

五、典型錯(cuò)誤，善于積累，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的批判性

開始錯(cuò)題集里淺顯的錯(cuò)誤會(huì)占大多數(shù)，隨著錯(cuò)題的積累，錯(cuò)題集中的錯(cuò)誤層次會(huì)越來(lái)越高.

學(xué)生通過(guò)積累典型錯(cuò)誤，發(fā)現(xiàn)在前3種解法中都無(wú)法取到等號(hào)，只有解法4的答案是正確的.從中還總結(jié)利用基本不等式求最值要注意的問(wèn)題：“一正、二定、三相等”.這樣通過(guò)錯(cuò)題集，學(xué)生自己不斷積累錯(cuò)誤，加深學(xué)生對(duì)易錯(cuò)地方的印象，避免錯(cuò)誤的再次發(fā)生.

又如，學(xué)生在求定義域，值域時(shí)總漏掉一些函數(shù)本身固有的范圍，如指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)等；在求離心率時(shí)會(huì)忘記要與橢圓或雙曲線本身的范圍取交集；當(dāng)一個(gè)集合為某一集合的子集時(shí)總是不考慮空集的情況等.這些問(wèn)題只要平時(shí)多積累，考試時(shí)就不容易犯錯(cuò).

錯(cuò)題集是提高學(xué)習(xí)效率的辦法.通過(guò)錯(cuò)題集的使用，可以提高思維質(zhì)量，可以更準(zhǔn)確地把握知識(shí)點(diǎn)及概念，可以極大地改善粗心的現(xiàn)象，可以迅速地提高學(xué)習(xí)成績(jī)，有效地進(jìn)行數(shù)學(xué)反思.

總之，重視學(xué)生錯(cuò)題集的建立是基于學(xué)生的思維實(shí)際，避免老師全盤灌輸，讓學(xué)生將自己的數(shù)學(xué)思維方式在錯(cuò)題集上顯現(xiàn)出來(lái)，讓學(xué)生自己主動(dòng)整理，糾錯(cuò)，反思，從而培養(yǎng)學(xué)生優(yōu)良的數(shù)學(xué)思維品質(zhì).