☉安徽省廬江第五中學(xué) 許和平

圓心角90°的扇形的特征由它的圖形構(gòu)成所決定，一是有四分之一的圓弧，具有圓中的有關(guān)基本性質(zhì)；二是有一個90°的圓心角，具有直角三角形、矩形等圖形的幾何性質(zhì)，再通過圓弧上的動點設(shè)計，結(jié)合未知數(shù)，滲透數(shù)形結(jié)合思想，可命制一些具有特色的新型綜合性試題.下面以中考壓軸題和競賽題為例加以分析研究.

例1（2000年上海市中考試題）如圖1，在半徑為6、圓心角為90°的扇形OAB的弧AB上有一個動 點P，PH⊥OA， 垂 足 為H，△OPH的重心為G.

圖1

（1）當(dāng)點P在弧AB上運(yùn)動時，在線段GO、GP、GH中，有無長度保持不變的線段？如果有，請指出這樣的線段，并求出相應(yīng)的長度；

（2）設(shè)PH=x，GP=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；

（3）如果△PGH是等腰三角形，試求出線段PH的長.

解：（1）在線段G0、GP、GH中，有長度保持不變的線段，這條線段是GH.延長HG交OP于點E，延長PG交OH于點D.

（2）在Rt△OPH中，

（3）△PGH是等腰三角形有三種可能情況：

③PH=GH，即x=2.

綜上所述，如果△PGH是等腰三角形，那么線段PH的長等于或2.

評析：第（1）小題中主要抓住了同圓的半徑相等的性質(zhì)，雖然點P在弧AB上運(yùn)動，但OP是⊙O的半徑始終保持不變，即OP=6.再結(jié)合直角三角形和三角形重心的性質(zhì)，使所求線段GH與已知半徑OP聯(lián)系起來，從而使問題解決.在第（3）小題中，已知△PGH是等腰三角形，但題中沒有指明哪兩邊是腰，因此解題中必須對三角形的三邊進(jìn)行分類討論解決，滲透了數(shù)學(xué)中的分類思想.

例2（2008年廣州市中考試題）如圖2，扇形OAB的半徑OA=3，圓心角∠AOB=90°，點C是弧AB上異于A、B的動點，過點C作CD⊥OA于點D，作CE⊥OB于點E，連接DE，點G、H在線段DE上，且DG=GH=HE.

（1）求證四邊形OGCH是平行四邊形.

（2）當(dāng)點C在弧AB上運(yùn)動時，在CD、CG、DG中，是否存在長度不變的線段？若存在，請求出該線段的長度.

（3）求證CD2+3CH2是定值.

圖2

圖3

解：（1）如圖3，連接OC交DE于M，由矩形得OM=CG，EM=DM.

因為DG=HE，所以EM－EH=DM－DG，得HM=DG.

所以四邊形OGCH是平行四邊形.

（2）DG不變，在矩形ODCE中，DE=OC=OA=3，

（3）方法一：利用三角形的中位線與勾股定理.

評析：本解法充分利用了題中的三等分點、平行四邊形和三角形中位線的性質(zhì)，較好地實現(xiàn)了把線段ON轉(zhuǎn)化為線段CH的倍分關(guān)系，再以Rt△OND為基礎(chǔ)，通過勾股定理，使問題得以解決.

方法二：利用相似三角形與勾股定理.

圖4

因為CE=，所以EM=

在Rt△CMH中，因為CH2=CM2+MH2，

評析：本解法充分利用了題中的三等分點、相似三角形的性質(zhì)，得出相關(guān)線段關(guān)于x的代數(shù)式，再以Rt△CMH為基礎(chǔ)，通過勾股定理，使問題得以解決.

方法三：利用三角形面積與勾股定理.

圖5

評析：本解法充分利用了幾何中的面積法，得出斜邊上的高CK和HK關(guān)于x的表達(dá)式，再以Rt△CKH為基礎(chǔ)，通過勾股定理，使問題得以解決.

方法四：三角函數(shù)與勾股定理.

如圖5，過點C作CK⊥ED于K，在Rt△CEK和Rt△CHK中，由勾股定理得：

CE2－EK2=CH2－HK2，

故CH2=EC2+（HK2－EK2）=EC2+（HK+EK）（HK－EK）=EC2+EH（HK+EK）=EC2－EH（2EK－EH）=EC2+EH2－2EH×EK.

評析：本試題較好地發(fā)揮了圓心角為90°的扇形的圖形特征，所涉及的知識點有：同圓的半徑相等，矩形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定，勾股定理，相似三角形或三角函數(shù)等.第（1）小題比較基礎(chǔ)，學(xué)生容易解決，第（2）小題只利用矩形的性質(zhì)求解，涉及到課標(biāo)不要求的三角形重心的性質(zhì)求解，三個小題有一定的梯度，層次分明，特別是第（3）小題有一定的難度，但解題入口較寬，可以從不同的角度進(jìn)行分析，得出不同的解題思路，注重考查學(xué)生運(yùn)用已學(xué)知識分析問題和解決問題的能力.

例3（2012年上海市中考試題）如圖6，在半徑為2的扇形AOB中，∠AOB=90°，點C是弧AB上的一個動點（不與A、B重合），OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分別為D、E.

（1）當(dāng)BC=1時，求線段OD的長.

圖6

（2）在△DOE中是否存在長度保持不變的邊？如果存在，請指出并求其長度；如果不存在，請說明理由.

（3）設(shè)BD=x，△DOE的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的定義域.

（2）存在，DE是不變的，如圖7，連接AB且AB=2

圖7

圖8

（3）如圖8，將x移到要求的三角形中去，所以

由于∠1=∠2，∠3=∠4，所以∠2+∠3=45°.

評析：本題起點低，第（1）小題先把運(yùn)動中的點C固定，BC是一個定值，BC是圓弧中的弦，利用垂徑定理和勾股定理易得OD的長度，同時也為第（2）、（3）小題的解決起到引領(lǐng)作用.第（2）小題隨著點C在弧上運(yùn)動，但利用垂徑定理在運(yùn)動的過程中，弦BC、AC的長度在發(fā)生變化，但D、E是弦BC、AC的中點的位置始終保持不變，所以DE線段是兩中點的連線，容易想到三角形的中位線.第（3）小題較好地利用了90°角的作用，通過垂徑定理和等腰三角形三線合一的性質(zhì)，得出了一個特殊角45°，構(gòu)造出一個等腰直角三角形，使變量x、y通過三角形的面積建立了關(guān)系.本題是一道幾何、代數(shù)的綜合題，命題者較好地發(fā)揮了90°角扇形圖形中蘊(yùn)含的幾何性質(zhì)，通過設(shè)置動點和未知數(shù)使問題更具有探索性和綜合性，更有利于考查學(xué)生的思維過程和分析能力.

例4（2012年全國初中數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽）如圖9，扇形OMN的半徑為1，圓心角是90°.點B是弧MN上一動點，BA⊥OM于點A，BC⊥ON于點C，點D、E、F、G分別是線段OA、AB、BC、CO的中點，GF與CE相交于點P，DE與AG相交于點Q.

圖9

（1）求證：四邊形EPGQ是平行四邊形；

（2）探索當(dāng)OA的長為何值時，四邊形EPGQ是矩形；

（3）連接PQ，求3PQ2+OA2的值.

解：（1）如圖10，因為∠AOC=90°，BA⊥OM，BC⊥ON，所以四邊形OABC是矩形.

所以AB∥OC，AB=OC.

圖10

又E、G分別是AB、CO的中點，所以AE∥GC，AE=GC.所以四邊形AECG為平行四邊形.所以CE∥AG.

連接OB，因為點D、E、F、G分別是線段OA、AB、BC、CO的中點，所以GF∥OB，DE∥OB，所以PG∥EQ，所以四邊形EPGQ是平行四邊形.

（2）如圖11，當(dāng)∠CED=90°時，四邊形EPGQ是矩形，此時∠AED+∠CEB=90°.

又∠DAE=∠EBC=90°，

所以∠AED=∠BCE.

所以△AED∽△BCE.

圖11

（3）如圖12，連接GE交PQ于O′，則O′P=O′Q，O′G=O′E.過點P作OC的平行線分別交BC、GE于點B′、A′.

圖12

在Rt△PA′O′中，PO′2=PA′2+A′O′2，

以上四例都是從圓心角90°的扇形的圖形特征入手，巧妙地運(yùn)用多種方法解決不同的問題，希望通過上述解題分析，能使學(xué)生對這類題型的解答有更深刻的領(lǐng)悟和理解.