☉江蘇省南通市平潮高級中學(xué)初中部叢遠(yuǎn)林

解題后怎樣反思

☉江蘇省南通市平潮高級中學(xué)初中部叢遠(yuǎn)林

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在課程總目標(biāo)中指出：“學(xué)生能‘初步形成評價(jià)與反思的意識，養(yǎng)成認(rèn)真勤奮、獨(dú)立思考、合作交流、反思質(zhì)疑等學(xué)習(xí)習(xí)慣’．”弗賴登塔爾指出：“反思是數(shù)學(xué)思維活動的核心和動力．在數(shù)學(xué)活動中引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)、多角度地反思，能促使他們從新的角度，多層次、多側(cè)面地對問題進(jìn)行全面考察、分析與思考……對思維能力的提高大有裨益．”解題后的反思不僅僅是對解題過程一般性的回顧，而是深究解題活動中所涉及的知識、方法、思路、策略等，是對解題活動的總結(jié)、提煉、再探索、再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造．解題后怎樣反思呢？

一、思維受阻時(shí)是怎樣調(diào)節(jié)使思維暢通的

案例1：（2012年山東東營卷改編）（1）如圖1，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，G在AD上，且∠GCE＝45°，則GE＝BE＋GD成立嗎？為什么？

圖1

（2）如圖2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC＝12，E是AB上一點(diǎn)，且∠DCE＝45°，BE＝4，求DE的長．

圖2

對于問題（1），將△EBC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，由三角形全等可證得成立．對于問題（2），不知怎么辦．用問題間聯(lián)想法調(diào)節(jié)思維．問題（1）、（2）之間有什么聯(lián)系呢？觀察圖1、圖2發(fā)現(xiàn)，圖1截去△GCD得到圖2．將圖2補(bǔ)成圖1（如圖3）．由（1）中的結(jié)論，在圖3中，知DE=BE+DG，設(shè)DE=x，則DG=x-4，AD=16-x，AE=8，在Rt△ADE中，由DE2=AD2+AE2建方程就可求出DE的長．將問題（2）轉(zhuǎn)化為問題（1）的情形，用問題（1）的結(jié)論解決問題（2）．

思維受阻時(shí)用問題間聯(lián)想法調(diào)節(jié)思維，將要解決的問題轉(zhuǎn)化為已解決的問題，使思維暢通．

二、思維復(fù)雜時(shí)是怎樣調(diào)節(jié)使思維優(yōu)化的

案例2：如圖4，在△CDE中，∠ECD=45°，CF⊥ED于F，EF=2，F(xiàn)D=3．求CF的長．

圖3

圖4

一同學(xué)這樣思考：如圖5，作EH⊥CD于H，設(shè)CF=x．DE2= DH2+EH2，EH=ECsin 45°，DH=CD-CH，CH=ECcos 45°．所以DE2=（CD-ECcos 45°）2+（ECsin 45°）2，所以DE2=CD2+ CE2-2CD·CEcos45°，即解出x即可．

圖5

圖6

關(guān)系式復(fù)雜，方程極不易解．需要優(yōu)化．

受案例1的啟發(fā)，∠DCE=45°，構(gòu)造正方形．如圖6，作△ECF關(guān)于CE的軸對稱圖形△ECB，作△DCF關(guān)于CD的軸對稱圖形△DCG，延長BE、GD交于點(diǎn)A，則四邊形ABCG為正方形，邊長等于CF．設(shè)CF=x，在直角三角形ADE中，由勾股定理建方程（x-2）2+（x-3）2=25，求出CF的長．解法巧妙，運(yùn)算也簡單．

受已解問題的啟發(fā)，構(gòu)建已解問題模型，優(yōu)化思維．

三、同化

將新知納入到學(xué)生已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去，使已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)不斷豐富．如案例1中的（2）、案例2都是求線段的長，最終都是利用勾股定理建方程求出．對于求線段的長，學(xué)生已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)，如通過三角形全等求解等，現(xiàn)在將利用勾股定理建方程求線段的長同化到已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去，使學(xué)生求線段的長的方法不斷豐富．

四、比較

異中比同．解決問題后，將自己曾經(jīng)解決過的和此問題解法基本相同的一些問題找出來，比較在不同情境下解法的共性．案例1、案例2看上去差別非常大，但解法有許多相同處．案例1的（1）是它們的共性基礎(chǔ)，都是通過構(gòu)造正方形，最后在直角三角形ADE中利用勾股定理建方程求出解．

同中比異．將自己曾經(jīng)解決過的和此問題情境基本相同或解法基本相同的問題找出來，比較不同的地方．案例1的（2）、案例2都構(gòu)造正方形，但它們構(gòu)造正方形的方法又不同．案例1的（2）是將直角梯形補(bǔ)成正方形，因此圖3中DE=BE+DG是要證明的，而案例2是通過作三角形的軸對稱圖形構(gòu)造的，圖6中DE=BE+DG是自然成立的，不用證明．

五、拓展

將問題情境拓展到一般情形，結(jié)論是否仍成立？或在一般情形下，結(jié)論是什么？如案例1（1），四邊形ABCD為正方形，E是AB上一點(diǎn)，G在AD上，且∠GCE＝45°，則GE＝BE＋GD成立．拓展到一般四邊形ABCD，如圖7，E是AB上一點(diǎn)，G在AD上，在什么條件下GE＝BE＋GD仍成立呢？經(jīng)探索，如將△ECB繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠BCD，使△ECB與△GCD拼成的新三角形與△GCE全等，則若GE＝BE＋GD仍成立，需滿足條件

圖7

六、類比

問題解決后，將問題情境換成其他類似情境，再探索、再發(fā)現(xiàn)，加深對解法的本質(zhì)理解．如圖8，把一個(gè)正三角形紙片（即△OAB）放在直線l1上，OA邊與直線l1重合，然后將三角形紙片繞著頂點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)120°，此時(shí)點(diǎn)O運(yùn)動到了點(diǎn)O1處，點(diǎn)B運(yùn)動到了點(diǎn)B1處；再將三角形紙片AO1B1繞B1點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)120°，點(diǎn)A運(yùn)動到了點(diǎn)A1處，點(diǎn)O1運(yùn)動到了點(diǎn)O2處（即頂點(diǎn)O經(jīng)過上述兩次旋轉(zhuǎn)到達(dá)了點(diǎn)O2處）．

圖8

發(fā)現(xiàn)：三角形紙片在上述兩次旋轉(zhuǎn)過程中，頂點(diǎn)O運(yùn)動所形成的圖形是兩段圓弧，即弧OO1和弧O1O2，頂點(diǎn)O所經(jīng)過的路程是這兩段圓弧的長度之和，并且這兩段圓弧與直線l1圍成的圖形的面積等于扇形AOO1的面積、△AO1B1的面積和扇形B1O1O2的面積之和．

圖9

進(jìn)行類比反思：如圖9，把邊長為1的正方形紙片OABC放在直線l2上，OA邊與直線l2重合，然后將正方形紙片繞著頂點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，此時(shí)點(diǎn)O運(yùn)動到了點(diǎn)O1處（即點(diǎn)B處），點(diǎn)C運(yùn)動到了點(diǎn)C1處，點(diǎn)B運(yùn)動到了點(diǎn)B1處；再將正方形紙片AO1C1B1繞點(diǎn)B1按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°……按上述方法經(jīng)過若干次旋轉(zhuǎn)后，提出如下問題：

問題①：若正方形紙片OABC按上述方法經(jīng)過3次旋轉(zhuǎn)，求頂點(diǎn)O經(jīng)過的路程，并求頂點(diǎn)O在此運(yùn)動過程中所形成的圖形與直線l2圍成的圖形的面積；若正方形OABC按上述方法經(jīng)過5次旋轉(zhuǎn)，求頂點(diǎn)O經(jīng)過的路程.

問題②：正方形紙片OABC按上述方法經(jīng)過多少次旋轉(zhuǎn)，頂點(diǎn)O經(jīng)過的路程是

通過類比反思，加深對解法的本質(zhì)理解，抓住一個(gè)點(diǎn)繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)所經(jīng)過的路程是弧，用弧長公式求弧長．幾段弧與直線圍成的圖形面積，分割為扇形與三角形的面積之和．

七、找通法

案例3：（2011年黑龍江雞西卷）在正方形ABCD的邊AB上任取一點(diǎn)E，作EF⊥AB交BD于點(diǎn)F，取FD的中點(diǎn)G，連接EG、CG，如圖10，易證EG=CG且EG⊥CG．

圖10

圖11

（1）將△BEF繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，如圖11，則線段EG和CG有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請直接寫出你的猜想．

（2）將△BEF繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，如圖12，則線段EG和CG又有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請寫出你的猜想，并加以證明．

圖12

圖13

分析：（1）如圖13，過點(diǎn)G作GH⊥EC于H，由平行線等分線段定理，知EH=HC，所以，EC，∠EGC=90°．EG=CG且EG⊥CG．

（2）EG=CG且EG⊥CG仍成立．

如圖14，延長FE交DC的延長線于M，連接MG．顯然△FMD為等腰直角三角形45°，EF=BE=CM，所以△GFE△GMC．所以EG=CG，∠FGE=∠MGC．因?yàn)镸G⊥FD，所以EG⊥CG．

圖14

圖15

反思：以上解法只是特法，能否找到通法？將△BEF繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（如圖15），結(jié)論是否仍成立？

過點(diǎn)D作DH∥EF交EG的延長線于H，連接CH、CE，過點(diǎn)E作EM∥BC．

易證四邊形EFHD為平行四邊形，EG=GH，EF平行且等于DH．由于將△BEF繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α，所以∠EBA= α，∠FEM=α，所以DH與AD的延長線的夾角為α，所以∠EBC=90°+α=∠HDC．又DC=CB，DH=EF=BE，所以△EBC△HDC，所以CE=CH，∠ECB=∠HCD，所以∠ECH=∠BCD=90°．由等腰三角形三線合一，知EG⊥CG．由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，知EG=CG．所以，能找到通法．