☉江蘇省連云港市新壩中學(xué) 趙文龍

☉江蘇省連云港市新壩中學(xué) 周 楊

2012年12月上旬，筆者參加了連云港市初中數(shù)學(xué)教師優(yōu)質(zhì)課比賽區(qū)級預(yù)賽.課題為蘇科版數(shù)學(xué)八年級上冊《一次函數(shù)的圖像》第2課時.

一、難點分析

本節(jié)課是學(xué)生在了解一次函數(shù)的圖像是一條直線，并且能夠用兩點法畫一次函數(shù)的圖像后的繼續(xù)研究.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生將掌握一次函數(shù)y=kx+b的圖像的性質(zhì)，以及圖像的性質(zhì)與關(guān)系式中k與b的對應(yīng)關(guān)系.

1.對本節(jié)課的難點的認(rèn)識

對一次函數(shù)圖像的性質(zhì)的認(rèn)識與理解是本節(jié)課的學(xué)習(xí)重點.相對而言，一次函數(shù)關(guān)系式中k與b所決定的圖像的性質(zhì)的直觀表現(xiàn)，學(xué)生通過畫圖不難觀察發(fā)現(xiàn).比如，大多數(shù)學(xué)生通過自己動手畫圖能作出這樣的猜想：當(dāng)k＞0時，一次函數(shù)的圖像形如“／”；當(dāng)k＜0時，一次函數(shù)的圖像形如“”.這個合情推理經(jīng)過驗證之后，基本上能夠被學(xué)生很好地接受.但是，學(xué)生能通過畫圖歸納得到的往往是k、b與圖像直觀上的對應(yīng).學(xué)生對“y隨著x的增大而增大”“y隨著x的增大而減小”這兩個抽象語句的理解卻普遍存在困難.也就是說，學(xué)生對k所決定的“形”與“數(shù)”兩方面特征的對應(yīng)關(guān)系缺乏本質(zhì)認(rèn)識.這是本節(jié)內(nèi)容在以往的教學(xué)中給筆者留下的最深的印象.基于這樣的認(rèn)識，筆者認(rèn)為本節(jié)課的學(xué)習(xí)重點是讓學(xué)生通過畫圖歸納得到圖像的性質(zhì)，教學(xué)的難點則在于幫助學(xué)生從“形”與“數(shù)”兩個方面認(rèn)識一次函數(shù)的性質(zhì).

2.尋求突破難點的有效方法

為什么學(xué)生在本節(jié)課的學(xué)習(xí)中會存在上述難點？筆者認(rèn)為，函數(shù)的圖像對于學(xué)生來說本身就具有較強的抽象性，在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究抽象的兩個變量的對應(yīng)變化關(guān)系，對于學(xué)生來說，難度就更大了.

學(xué)生在本節(jié)課之前除了學(xué)習(xí)過一次函數(shù)的定義之外，還學(xué)習(xí)了“函數(shù)”“函數(shù)的圖像”.筆者發(fā)現(xiàn)，雖然學(xué)生對函數(shù)與函數(shù)的圖像這兩個概念都只是初步認(rèn)識，但是，學(xué)生對于一些氣溫與時間對應(yīng)關(guān)系之類的統(tǒng)計圖往往都能夠解讀到位.為了證實這一點，筆者在自己所在學(xué)校的八年級學(xué)生中作了調(diào)研，給學(xué)生如下圖形（如圖1）.基本上所有的學(xué)生都能找出每一時刻對應(yīng)的氣溫值，并且能說出“3時至15時氣溫逐漸升高，15時以后氣溫逐漸降低”.然而，到了一次函數(shù)的圖像中，學(xué)生就很難理解“y隨x的增大而增大”“y隨x的增大而減少”這樣的性質(zhì)，這是為什么呢？筆者認(rèn)為，上述氣溫與時間的關(guān)系圖像，雖然其實質(zhì)結(jié)構(gòu)與一次函數(shù)的圖像是一致的，但是學(xué)生從小學(xué)開始就在“統(tǒng)計”內(nèi)容中開始接觸它，相對來說較為熟悉.另外，圖中的兩個維度的變量都限于非負(fù)實數(shù)范圍內(nèi)，并且具有明確的現(xiàn)實意義，抽象度較低，學(xué)生容易通過聯(lián)系現(xiàn)實生活來理解它.相反，本節(jié)課在整個實數(shù)范圍內(nèi)研究的一次函數(shù)中的兩個變量，完全以抽象形式存在，缺乏具體的現(xiàn)實意義，理解起來就很困難了.

圖1

圖2

圖3

蘇科版教材中采用了如圖2所示的現(xiàn)實情境來幫助學(xué)生理解這一點.這個情境以一個山峰的兩側(cè)來幫助學(xué)生理解“從左向右，越來越高”“從左向右，越來越低”.筆者認(rèn)為，這個情境向?qū)W生呈現(xiàn)的其實仍然只是直觀與形式上的特點，對于數(shù)與形對應(yīng)關(guān)系的理解沒有起到很好的鋪墊作用.相反，如果用上述氣溫與時間變化關(guān)系的圖像則更容易被學(xué)生理解和接受，從它發(fā)展到“y隨x的增大而增大”或“y隨x的增大而減小”，跨度明顯縮小.但是，筆者隨后發(fā)現(xiàn)，上述溫度與時間的關(guān)系圖像中橫坐標(biāo)從左向右如果理解為“時間的增大”顯得有些牽強.于是，這里需要一個更為合適的導(dǎo)例.這時，筆者突然想到了之前在網(wǎng)上曾經(jīng)看過人的液態(tài)智力與年齡的關(guān)系圖像（如圖3）.筆者發(fā)現(xiàn)，如果用這個圖像作為本節(jié)課的導(dǎo)例，可以成為一個很好的“生長點”，通過對它進(jìn)一步抽象來幫助學(xué)生理解一次函數(shù)的圖像的性質(zhì).

到此，筆者對于本課的難點突破有了清晰的思路：先利用學(xué)生對統(tǒng)計圖的認(rèn)識經(jīng)驗來理解具有明確現(xiàn)實意義的函數(shù)圖像的性質(zhì)，在此基礎(chǔ)上擺脫現(xiàn)實意義，提高抽象度，將這種認(rèn)識自然過渡到一次函數(shù)的圖像上來.有了這樣的思路之后，備課就很快完成了.

二、課堂片斷回放

片斷1

教師：同學(xué)們，老師昨天在網(wǎng)上看到了一篇文章之后，得出這樣的一個結(jié)論：同學(xué)們是越來越聰明了，而老師則是越來越笨了！

（學(xué)生們聽了這番話之后很詫異）

（這時，利用PPT向?qū)W生呈現(xiàn)圖3，配有這樣一段文字：科學(xué)研究發(fā)展，人的智力（液態(tài)智力，主要包括運算力、記憶力、思維的敏捷性等）與人的年齡存在如圖3所示的關(guān)系）

教師：請同學(xué)們就這個圖相互交流一下，說說你從這個圖中獲得了哪些信息，你覺得老師剛才的“感慨”是否有道理呢？

（學(xué)生的好奇心被激發(fā)起來）

學(xué)生1：從圖中可以看出，人的智力水平在20歲之前隨著年齡的增長而上升，20歲到30歲之間變化不明顯，而到30歲以后，智力則隨著年齡的增長而下降.

學(xué)生2：老師，您剛才說的話是有道理的，因為我們年齡處于智力上升的那一段，而您則處于智力下降的那一段.

（其他學(xué)生紛紛點頭贊同學(xué)生2的說法）

教師：這句話說得好，“隨著年齡的增長而上升”，在這個圖中，如果我們分別用x來表示年齡，用y來表示智力水平，那么這句話是否可以換一種說法？

（PPT中隱去了“智力”與“年齡”，分別替換為y和x）

學(xué)生3：那么20歲之前與30歲之后這兩段分別可以說成是y隨著x的增大而增大，y隨著x的增大而減小.

教師：我們已經(jīng)知道一次函數(shù)的圖像是一條直線，那么它是否也存在類似的特點呢？這樣的特點與函數(shù)的關(guān)系式是否存在著什么聯(lián)系呢？大家動手畫兩個一次函數(shù)的圖像，對比它們的函數(shù)關(guān)系式與圖像，說說你的發(fā)現(xiàn).

（學(xué)生動手畫圖，教師也在黑板上畫圖，幾分鐘后，學(xué)生們開始在小組內(nèi)交換各自的發(fā)現(xiàn)）

學(xué)生4：老師，我發(fā)現(xiàn)當(dāng)k＞0時直線是向上的，當(dāng)k＜0時直線是向下的.

教師：“向上”？“向下”？（指著黑板上的兩條直線）這兩根線都有向上??！

學(xué)生4：我指的是k＞0時，圖像從左向右看是向上的，k＜0時，從左向右看是向下的.

教師：這個表達(dá)不錯！“從左向右看，是向上的”.其他同學(xué)是否有不同的看法，或者有不同于他的表達(dá)？

學(xué)生5：老師，我覺得應(yīng)當(dāng)說k＞0時y隨著x的增大而增大；k＜0時y隨著x的增大而減小.

教師：不錯，又是一種說法，有沒有不同意見？

（無人舉手）

教師：學(xué)生4和學(xué)生5分別給出兩種不同說法，究竟誰對誰錯？

（有些學(xué)生陷入沉思中，有不少學(xué)生立即反應(yīng)過來）

學(xué)生6：他們兩人其實是一樣的說法，從左向右看，其實就是x增大；上升，也就是y增大.

到此，本課的難點從一個合適的“生長點”上得到自然的突破.

片斷2

在本節(jié)課的鞏固運用環(huán)節(jié)，筆者設(shè)計如下練習(xí)題：

A.y1＞y2B.y1=y2C.y1＜y2D.無法確定

學(xué)生7：將兩個點分別代入函數(shù)關(guān)系式，求出y1與y2，就可以比較它們的大小了.

教師：不錯，其他同學(xué)有沒有不同的方法？

（大部分學(xué)生采取與學(xué)生7相同的方法，然而學(xué)生7說完之后，立即有幾個同學(xué)舉手爭搶著說自己有更簡單的方法）

學(xué)生8：不需要代入運算，因為這里的k＜0，那么這個函數(shù)中y隨著x的增大而減小.這里－4＜2，那么y1＞y2.

（很多學(xué)生恍然大悟）

教師：很好！學(xué)到的東西立即就能運用.這種方法的好處在于不需要進(jìn)行運算.如果將本題作如下更改：“已知點（－4，y1）、（2，y2）都在直線y=mx－n（m＞0）上，則y1與y2的大小關(guān)系是（ ）”，這時，學(xué)生7的方法就很難解決問題了.實際上原題中關(guān)系式中的系數(shù)有意設(shè)置了計算上的麻煩！

（學(xué)生們會意地點點頭）

三、反思與感悟

比賽結(jié)束后，筆者以所在縣區(qū)第一名的成績進(jìn)入市級復(fù)賽.評委老師在肯定筆者的教學(xué)設(shè)計的同時，也指出了本課實施過程中的一個問題，那就是學(xué)生通過對比兩個一次函數(shù)的圖像得出結(jié)論，顯得過于匆忙.實質(zhì)上，對于圖像的性質(zhì)與k、b的對應(yīng)關(guān)系，應(yīng)當(dāng)建議學(xué)生通過變換不同的取值盡可能多次進(jìn)行畫圖觀察對比，在學(xué)生得到猜想的時候，教師應(yīng)當(dāng)提醒學(xué)生對自己的猜想作出充分的驗證，讓學(xué)生感受到“觀察、猜想、驗證”這樣一個數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的完整過程.這樣的過程呈現(xiàn)，不僅有助于學(xué)生形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)態(tài)度，更有利于獲得更為深刻的認(rèn)識.比如，學(xué)生通過不同k的取值驗證，不僅能驗證圖像的性質(zhì)與k的對應(yīng)關(guān)系，還有可能發(fā)現(xiàn)k的絕對值的大小與圖像的特點的對應(yīng).這一點，筆者在課后也意識到了，反思自己的課堂，我覺得自己很多時候急于達(dá)成預(yù)設(shè)的目標(biāo)，一旦學(xué)生的回答契合預(yù)設(shè)，就立即轉(zhuǎn)入下一環(huán)節(jié).其實，很多時候恰恰是我們過于匆忙，沒能讓學(xué)生的思維更深刻些，沒給學(xué)生發(fā)現(xiàn)更多問題、提出更多問題的時間和空間.

另外，筆者在這次活動之后還對一節(jié)課的難點的突破有所感悟.我們常常將教學(xué)思維集中在新知的處理上，而忽視對學(xué)生現(xiàn)有知識經(jīng)驗的充分挖掘.在追求“跳一跳，夠得到”這個教學(xué)效果的時候，我們常常花過多的心思去“壓低枝頭的果實”，而忘了幫助學(xué)生找到一個最合適的“起跳點”！顯然，從“學(xué)會學(xué)習(xí)”和學(xué)生長遠(yuǎn)發(fā)展的角度來看，后者具有更高的現(xiàn)實意義，因為將來更多的時候，學(xué)生將獨自面對“枝頭的果實”.事實上，在學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，總是存在著一個離新知最近的點，在那個點上著力，新知的建構(gòu)會變得容易許多！教師要做的，就是善于引導(dǎo)學(xué)生利用現(xiàn)有認(rèn)知，在類比中實現(xiàn)遷移，讓新知自然生長！