苑建廣
本文出示了一個問題的解決方法及解決問題后的延伸思考,給大家提供了一個學習數(shù)學的有效方法。
問題:請你把任意一個凸四邊形剪成四塊。使這四塊能拼接成一個矩形。
方法:如圖1所示,ABCD是一個凸四邊形。分別取四條邊AB、BC、CD、DA的中點M、Q、N、P,連結MN;再分別過點P、Q作PH1⊥MN,QH2⊥MN,垂足分別為H1、H2。此時,四邊形ABCD被分割成四塊。把四邊形AMH1P繞點P逆時針旋轉180°,把四邊形CNH2Q繞點N順時針旋轉180°,再把四邊形BQH2M沿射線BD的方向平移線段BD的長度,即可拼接成如圖2所示的矩形。
你知道如此剪拼能成功的道理嗎?(可連結線段PM、PN、QM、QN得“中點∪PMQN”,證得MH1=NH2,MH2=NH1,進而分析可得)事實上,在圖1中,當H1為MN上任意一點時,連結PH1,再過點Q作QH2//PH1,交MN于點H2(如圖3)。在拼法不變的情況下,可得到平行四邊形(如圖4)。
繼續(xù)思考,你能用其他方法將任意一個凸四邊形剪成四塊。使這四塊能拼接成平行四邊形嗎?
如圖5所示,分別取四條邊AB、BC、CD、DA的中點M、O、N、P,連結MN、PQ交于點H。此時,四邊形ABCD被分割成四塊。把四邊形AMHP繞點P逆時針旋轉180°,把四邊形CNHQ繞點N順時針旋轉180°,再把四邊形BQHM沿射線BD的方向平移線段BD的長度,即可拼接成如圖6所示的平行四邊形。
如圖7所示,分別取四條邊AB、BC、CD、DA的中點M、O、N、P,連結PN,MQ,過點B作BH//AD,交QM于點H。此時,四邊形ABCD被分割成四塊。把△PND繞點N逆時針旋轉180°把△BQH繞點O順時針旋轉180°,再把△BMH繞點M逆時針旋轉180°,即可拼接成如圖8所示的平行四邊形。
再繼續(xù)思考,能否將任意一個凸四邊形剪成五塊,使這五塊能拼接成矩形?這里出示一種方法:
如圖9所示,分別取四條邊AB、BC,CD、DA的中點M、Q、N、P,連結PN、QM;再分別過點D、B作DE⊥PN,BF⊥QM,垂足分別為E、F。此時,四邊形ABCD被分割成五塊。把△DNE繞點N逆時針旋轉180°,把△DEP繞點P順時針旋轉180°,把△BQF繞點QN順時針旋轉180°,把△BFM繞點M逆時針旋轉180°,即可拼接成如圖10所示的矩形。
事實上,在圖9中,當E為PN上任意一點時,連結DE,再過點B作BF∥DE,交MO于點F(如圖11)。在拼法不變的情況下,可得到平行四邊形(如圖12)。
再繼續(xù)思考,還有其他方法能將任意一個凸四邊形剪成五塊,使這五塊能拼接成平行四邊形嗎?
如圖13所示,分別取四條邊AB、BC、CD、DA的中點M、O、N、P,連結PM、PN、QN、QM。此時,四邊形ABCD被分割成五塊。把△AMP繞點P逆時針旋轉180°,把△CNQ繞點N順時針旋轉180°,再把△BQM沿射線BD的方向平移線段BD的長度,即可拼接成如圖14所示的平行四邊形。
簡評:剪拼圖形是一類有趣的數(shù)學問題,在思考過程中存在著極強的目的性,對提高思維品質有很大好處。
隨著被剪圖形形狀的變化,拼接后的圖形形狀也會作相應的變化。如,當圖5中凸四邊形對角線互相垂直時,圖6將變?yōu)榱庑?;當圖13中凸四邊形對角線互相垂直時,圖14將變?yōu)榫匦危欢攬D13中凸四邊形對角線相等時,圖14中的平行四邊形鄰邊之比為1:2。