☉江蘇省丹陽(yáng)市第三中學(xué) 張麗麗

近期閱讀《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬刊）》2010年12期刊登的《名題研究隨想》一文，對(duì)文中談及到的《中小學(xué)數(shù)學(xué)》2006年第8期刊發(fā)的一個(gè)閱卷老師提供的一道中考題很感興趣，經(jīng)過(guò)研究，形成此文.不妥之處，懇請(qǐng)同仁斧正.

試 題 ： 如 圖 1，E、F是?ABCD的對(duì)角線BD上的兩點(diǎn)，請(qǐng)你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件使四邊形AECF是平行四邊形.

圖1

這位閱卷老師批露，絕大部分學(xué)生填了BE=DF、∠BAE=∠DCF等常規(guī)答案.然而有少數(shù)學(xué)生，填寫(xiě)∠EAF=∠ECF等非常規(guī)答案.對(duì)這種始料不及的答案，閱卷老師竟然不知它是對(duì)是錯(cuò).說(shuō)正確，可又無(wú)法給出證明；說(shuō)它錯(cuò)誤，又無(wú)法舉出反例.當(dāng)然這位老師事后經(jīng)過(guò)研究，發(fā)現(xiàn)∠EAF=∠ECF這個(gè)答案是正確的，并給出了這道題的間接證明.

筆者被這位老師“從不放棄任何一個(gè)問(wèn)題”的鉆研精神所感動(dòng)，經(jīng)過(guò)對(duì)本題的研究，發(fā)現(xiàn)這個(gè)非常規(guī)答案不僅可以用直接方法給予證明，而且還將有關(guān)條件進(jìn)行變換，得到兩個(gè)變題.

一、對(duì)上述非常規(guī)答案的直接證明

證法一：如圖2所示，作△BCD關(guān)于直線BD的軸對(duì)稱圖形△BGD，連接GF，EG，AG.過(guò)A、E、F點(diǎn)作⊙O1，過(guò)A、B、D點(diǎn)作⊙O2.

由軸對(duì)稱可知：∠ECF=∠EGF，∠GBD=∠CBD，∠BCD=∠BGD，∠GEF=∠CEF，GF=CF.

因?yàn)椤螮AF=∠ECF，所以∠EGF=∠EAF，所以A、E、F、G四點(diǎn)都在⊙O1上.

圖2

因?yàn)?ABCD，所以∠BAD=∠BCD，所以∠BAD=∠BGD，所以點(diǎn)A、B、D、G都在⊙O2上，所以∠AGB=∠ADB.又因?yàn)樵?ABCD中，AD∥BC，所以∠DBC=∠ADB，所以∠AGB=∠GBD，所以AG∥BD.因?yàn)锳、E、F、G四點(diǎn)都在⊙O1上，所以AE=GF=CF.

因?yàn)锳G∥BD，所以∠AGE=∠GEF.又因?yàn)锳、E、F、G四點(diǎn)都在⊙O1上，所以∠AGE=∠AFE，所以∠GEF=∠AFE，所以∠CEF=∠AFE.

在△AEF與△CFE中，∠EAF=∠ECF，∠AFE=∠CEF，EF=FE，則△AEF≌△CFE.

所以EC=FA.根據(jù)EC=FA，AE=CF得出四邊形AECF為平行四邊形.

圖3

證法二：如圖3所示，作△BCD關(guān)于直線BD的軸對(duì)稱圖形△BGD，連接GF，EG，AG.過(guò)點(diǎn)A、E、F作⊙O1，作AH⊥BD于H，連接CG交BD于K.

因?yàn)镃、G關(guān)于BD軸對(duì)稱，所以CG⊥BD，且CK=GK.由?ABCD可知，△ABD≌△CDB，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高線相等得AH=CK，故AH=GK，進(jìn)而得到AG∥BD.

因?yàn)椤螮AF=∠ECF，所以∠EGF=∠EAF，所以A、E、F、G四點(diǎn)都在⊙O1上，所以∠AEF=∠GFE=∠EFC，所以AE∥FC.

在△AEF與△CFE中，∠EAF=∠ECF，∠AEF=∠CFE，EF=FE，則△AEF≌△CFE.

所以EA=FC.根據(jù)EA=FC，AE∥FC，得出四邊形AECF為平行四邊形.

證法三：如圖4所示，延長(zhǎng)EA、FC分別至M、N點(diǎn)，使得AM=AF，CN=EC，分別點(diǎn)過(guò)A、C、E、F作AH⊥BD，CK⊥BD，EG⊥MF，F(xiàn)P⊥EM，垂足分別為H、K、G、P.

圖4

由AE2+AF2-2AE×AF×sin∠EAF=EF2，CE2+CF2-2CE×CF×sin∠ECF=EF2,可得CE2+CF2=EA2+AF2. ②

綜合①②兩式可得CE+CF=EA+AF.故EM=FN.

因?yàn)锳M=AF，CN=EC，∠EAF=∠ECF，則∠M=∠N，從而順次可證△EMG≌△FNP，△EGF≌△FPE，得到MG=NP，GF=EP，MF=EN.

在四邊形EMFN中，EM=FN，MF=EN，則四邊形EMFN為平行四邊形，∠AEF=∠CFE.在△AEF與△CFE中，∠EAF=∠ECF，∠AEF=∠CFE，EF=FE，則△AEF≌△CFE.故有EA=FC，AF=CE，由此可得四邊形AECF為平行四邊形.

二、變式拓展

變 式 一 ： 如 圖5，E、F是?ABCD的對(duì)角線BD上的兩點(diǎn)，請(qǐng)你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件使四邊形AECF是矩形.

圖5

解析：通過(guò)對(duì)上述命題的證明發(fā)現(xiàn)當(dāng)∠EAF=∠ECF時(shí)，四邊形AECF是平行四邊形，要使四邊形AECF是矩形，則必須∠EAF=∠ECF=90°.（或AC、EF互相平分且相等）

變式二：如圖6，E、F是菱形ABCD的對(duì)角線BD上的兩點(diǎn)，請(qǐng)你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件使四邊形AECF是正方形.

解析：由于菱形具有軸對(duì)稱性，因此AE=EC，故當(dāng)∠EAF=∠ECF時(shí)，四邊形AECF是平行四邊形，進(jìn)而是菱形.要使四邊形AECF是正方形，則必須∠EAF=∠ECF=90°.（或EF、AC互相垂直平分且相等）

圖6