☉浙江省嵊州市教研室 蔡建鋒

嵊州市從2012年開始進行了32學(xué)時教師專業(yè)發(fā)展培訓(xùn)，其中舉辦了兩期的初中數(shù)學(xué)解題與析題的培訓(xùn)班，通過培訓(xùn)提升本市初中數(shù)學(xué)教師的解題基本功與析題的教學(xué)能力.以下是以《巧添輔助線，化難為簡易》為主題的專題講座內(nèi)容，供同行共同研討.

數(shù)學(xué)教師離不開解題與析題，析題比解題更為重要.在課堂教學(xué)中，教師要講好例題，首先教師自己要在課前做好題，只有在自己親身做題后才會感悟出解題的思路、方法和注意的問題，因此說，解題是析題的基礎(chǔ).解題與析題既有聯(lián)系也有區(qū)別.解題是以教師為主體的個人行為，一般由教師自己獨立完成，而析題的主體是學(xué)生，教師的析題除了考慮題目本身，還要根據(jù)學(xué)生的現(xiàn)有認(rèn)知程度、年齡特點來析題.析題的重點要放在揭示解題中的分析過程和暴露教師自己在解題中所遇到的困惑，反思題目內(nèi)在的本質(zhì)特點、所涉及的知識點和解題的規(guī)律、數(shù)學(xué)思想方法.

一般地講，除了簡單的幾何題求解或證明，大都必須添加不同的輔助線.而添加輔助線的方法千變?nèi)f化，故它成為平面幾何中解題、證題的關(guān)鍵和難點.添加輔助線的主要目的在于溝通已知和結(jié)論之間的邏輯通路.對題設(shè)條件所給定的圖形進行分析，在溝通條件與結(jié)論間的邏輯通路上架起一座思維的橋梁，從而實現(xiàn)由已知條件向所求結(jié)論的過渡，達到解題的目的.解題如過江，沒有橋或沒有船便難以通過，添加輔助線，猶如提供了一座橋或一條船.輔助線一般都用虛線表示.添加輔助線要注意以下幾個原則.

一、揭示隱含條件的原則

對一類條件與結(jié)論間邏輯關(guān)系不明朗的命題，通過添加輔助線，將條件中所隱含的有關(guān)圖形的性質(zhì)充分顯示出來，從而擴大已知條件，以便取得有關(guān)過渡性的推論，從而達到推導(dǎo)出結(jié)論的目的.

案例1：如圖1，在△ABC中，AC＞AB，在AC上取一點D，使CD=AB，E為AD的中點，F(xiàn)為BC的中點.連接FE交BA的延長線于G.求證AE=AG.

圖1

圖2

分析：從已知條件看，已知相等線段CD=AB，與求證線段AE=AG，沒有直接關(guān)聯(lián).由于AB、CD位置分散不易直接觀察到，添加輔助線使分散狀態(tài)相對集中，它們之間的聯(lián)系由隱蔽變?yōu)槊黠@.已知中給出了兩條線段的中點，但這兩個點是錯位中點，連接起來不是某個三角形中的中位線，因此要想辦法充分發(fā)揮中點的作用.通過添加三角形的中位線，從CD=AB的條件推出等腰△OEF，過渡到等腰△AEG，從而證明AE=AG.

由CD=AB，得OE=OF，則∠3=∠4.

又∠1=∠3，∠4=∠2，故∠1=∠2，

故AE=AG.

圖3

圖4

二、聚攏集中原則

對一類題設(shè)條件所給圖形的有關(guān)元素間的位置比較分散，不能直接由已知條件推出結(jié)論的題，要通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線，將圖形中分散的元素，通過變換和轉(zhuǎn)化，使它們集中到有關(guān)圖形上來，使題設(shè)條件與結(jié)論建立邏輯聯(lián)系，從而導(dǎo)出要求的結(jié)論.

案例3：（2012年北京市昌平區(qū)初三期末試題）如圖5，已知點P是正三角形ABC內(nèi)一點，PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB的度數(shù).

分析：由于已知條件所給的三條線段分散在圖形中各處，不易利用，所以直接計算∠APB的度數(shù)比較困難，因此應(yīng)該設(shè)法將這三個條件相對集中.

圖5

圖6

解析：如圖6，將△ABP以A為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)60°，為△ACE.

由∠EAP=60°，AP=AE，得△APE是等邊三角形.

則PE=AP=3，∠AEP=60°.

由CE=BP=4，PC=5，得PC2=CE2+PE2，則△PEC是直角三角形，∠PEC=90°.∠AEC=∠AEP+∠PEC=60°+90°=150°.

∠APB=∠AEC=150°.

案例4：（2011年湖北黃岡市中考試題）如圖7，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，D是AC邊的中點，過D作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F.若AE=4，F(xiàn)C=3，求EF的長.

分析：從圖中看到，已知線段AE、CF與所求線段EF分散在三個三角形中，沒有直接關(guān)聯(lián)，因此想辦法通過添加輔助線，將圖形中分散的已知和所求，通過變換和轉(zhuǎn)化，使它們相對集中到同一個三角形中.

圖7

圖8

解析：如圖8，連接BD.

等腰直角三角形ABC中，D為AC邊的中點，

則BD⊥AC，BD=CD=AD，∠ABD=45°.

由∠C=45°，得∠ABD=∠C.

由DE⊥DF，得∠EDF=90°，即∠EDB+∠BDF=90°.又∠CDF+∠BDF=90°，則∠FDC=∠EDB.

則△EDB≌△FDC，所以BE=FC=3.

AB=7，則BC=7，BF=4.

在直角三角形EBF中，EF2=BE2+BF2=32+42=25，則EF=5．答：EF的長為5．

三、化繁為簡的原則

對一類幾何試題，其題設(shè)條件與結(jié)論在已知條件所給的圖形中邏輯關(guān)系不明朗，通過添加輔助線，把復(fù)雜圖形分解成幾個基本圖形，從而達到化繁為簡，化難為易的目的.利用割補法解題，不僅可以達到化不規(guī)則為規(guī)則、化繁為簡的目的，使問題的解法簡單流暢、別具一格，而且還可以開拓學(xué)生的思路，提高解題能力，對學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的培養(yǎng)也大有裨益.

案例5：如圖9，陰影部分是由4段以正方形邊長的一半為半徑的圓弧圍成的圖形，這個圖形被稱為斯坦因豪斯圖形.若圖中正方形的邊長為a，則陰影部分的面積為________.

圖9

分析：陰影部分是不規(guī)則的圖形，無法用已學(xué)的圖形的面積公式直接解決，需要添加輔助線，把不規(guī)則圖形進行分割轉(zhuǎn)化，用間接求解的方法加以解決.

圖10

圖11

分析：分別過點A、D作直線BC的垂線，垂足為M、N，過點A作AE⊥DN，通過添加輔助線，把不規(guī)則的圖形轉(zhuǎn)化成幾個特殊的基本圖形，從而通過特殊圖形的性質(zhì)來求解問題.

圖12

圖13

四、發(fā)揮特殊點、線的作用的原則

在題設(shè)條件所給的圖形中，對尚未直接顯示出來的各元素，通過添加輔助線，將那些特殊點、特殊線、特殊圖形的性質(zhì)恰當(dāng)?shù)亟沂境鰜?，并充分發(fā)揮這些特殊點、線的作用，達到化難為易，導(dǎo)出結(jié)論的目的.

案例7：（2013年嵊州市中考模擬試題）已知等腰Rt△ABC和等腰Rt△AED，∠AED=∠ACB=90°，連接BD和EC，點M、N分別為DB、EC的中點.

（1）當(dāng)點E在AB上，且點C與點D重合時，如圖14所示，MN與EC的位置關(guān)系是________；

（2）當(dāng)點E、D分別在AB、AC上，且點C與點D不重合時，如圖15所示，試說明MN⊥EC；

（3）在（2）的條件下，將Rt△AED繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，使得點D落在AB上，如圖16所示，則MN與EC的位置關(guān)系還成立嗎？請說明理由.

圖14

圖15

圖16

分析：已知點M、N分別為DB、EC的中點，遇到中點的特殊點時，一般考慮通過找中點構(gòu)造中位線，或通過找直角頂點構(gòu)造斜邊上的中線，充分發(fā)揮特殊點的作用.

解析：（1）MN⊥EC.

（2）如圖17，連接EM、CM.由∠AED=∠ACB=90°，M是BD的中點，得EM=CM.在等腰△EMC中，N是CE的中點，則MN⊥EC.

（3）方法1：如圖18，連接DN并延長交AC于G，連BG.由∠EDA=∠DAC=45°，得DE∥AC，則∠DEN=∠GCN.又∠DNE=∠GNC，EN=CN，則△EDN≌△CGN，則DN=NG.

MN是△GDM的中位線，則MN∥BG.

由AC=BC，CG=ED=AE，∠EAC=∠GBC=90°，

得△ACE≌△CBG，則∠ECA=∠GBC，則∠GBC+∠BCE=90°，則BG⊥EC，則MN⊥EC.

圖17

圖18

圖19

則△MDE≌△MFC，則ME=MC.又N是CE的中點，則MN⊥EC.

（1）當(dāng)AB=AC時，如圖20，

①∠EBF=_______°；

②探究線段BE與FD的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

圖20

圖21

解析：（1）①由AB=AC，∠A=90°，得∠ABC=∠C=45°.

由BE⊥DE，得∠EBD=67.5°.

∠EBF=67.5°-45°=22.5°.

②如圖22，作△BDE關(guān)于DE的對稱圖形△GDE，GD交AB于H.

圖22

圖23

在△BHG和△DHF中，

∠BHG=∠DHF=90°，

∠GBH=∠HDF=22.5°，∠ABC=∠HDB=45°?BH=DH，則△BGH≌△DFH，則BG=DF.又BG=2BE，則DF=2BE.

（2）如圖23，作△BED關(guān)于DE的對稱圖形△GED，GD交AB于H.

五、構(gòu)造特殊圖形的原則

若在題設(shè)條件所給的圖形中，具有某些特殊圖的一些條件，通過添加輔助線，把它補成特殊圖形，并充分發(fā)揮這些特殊圖形所具有的特殊性質(zhì)，導(dǎo)出一些重要的結(jié)論，從而達到解決問題的目的.

案例9：（2010年紹興市中學(xué)高級教師考核試題）如圖24，在直角梯形ABCD中，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=10，點M在邊BC上，使得△ADM為正三角形.則△ABM與△DCM的面積和的值等于______.

分析：從已知直角梯形中，可知兩個直角，兩鄰邊相等，可以補充成一個正方形，利用正方形和正三角形的知識來解決問題.

圖24

圖25

解析：延長CD至E，使CE=BC，連接AE，則四邊形ABCE為正方形（如圖25）.易得△ABM≌△AED，則DE=BM.設(shè)BM=x，則DC=CM=10-x.又DM=AM，

則2（10-x）2=102+x2，化簡得x2-40x+100=0，

案例10：（2012年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題）如圖26，在四邊形ABCD中，AC、BD是對角線，△ABC是等邊三角形，∠ADC=30°，AD=3，BD=5，則CD的長為（ ）.

圖26

圖27

分析：從已知圖形上看，含有一個等邊三角形和一個30°角，通過構(gòu)造有一個公共頂點的兩個等邊三角形的基本圖形，得到兩個基本結(jié)論：①△BCD≌△ACE；②BD=AE.從而使分散的已知條件，集中到一個直角三角形中，充分發(fā)揮了特殊三角形的作用.

解析：如圖27，以CD為邊作等邊△CDE，連接AE.

由于AC=BC，CD=CE，∠BCD=∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD=∠ACE，

所以△BCD≌△ACE，則BD=AE.由∠ADC=30°，得∠ADE=90°.

所以CD=DE=4.