☉青海省西寧市虎臺中學(xué)柴達(dá)木路分校 盧元儒

縱觀近幾年中考數(shù)學(xué)試卷，殊不難發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)地區(qū)都在填空題的壓軸題處設(shè)置了一道難度較大的試題，有的試題甚至極難，考生怨聲載道，老師也為之汗顏，一般沒有解題過程的填空難題對教師來說，是機遇也是挑戰(zhàn)，給學(xué)生一個滿意的答案是教師義不容辭的職責(zé).近日，學(xué)生拿來一道填空題請教，就引發(fā)了筆者的一些深度思考，收獲滿滿.

圖1

（1）當(dāng)點E是AB的中點時，線段DF的長度是______；

（2）若射線EF經(jīng)過點C，則AE的長是______.

圖2

因為AB∥CD，所以∠EFD=∠BEC.

因為∠DEF=∠B=120°，所以△EDF∽△BCE，

解法2：如圖3，作CG⊥DE交DE的延長線于點G，則∠GEC=60°.

圖3

解法3：如圖4，設(shè)EB=x，則AE=6-x，易知△EDC∽△BCE.

圖4

解得x=4或x=1（x=7舍去），于是AE=2或5.

評注：上述三種解法都想到借助相似三角形求解，但涉及的方程較為復(fù)雜（超出課標(biāo)范圍），學(xué)生難以解出，最終無果．筆者感覺美中不足，有沒有其他解法能避開煩瑣的方程呢？筆者另辟途徑，又得到另外幾種解法，愿與大家分享．

解法4：如圖5，在梯形ABCD外作∠CDO=∠DCO=30°，則∠DOC=120°.

以O(shè)為圓心，OC為半徑作⊙O交AB于點E、N，則∠DEC=∠DNC=120°，符合題意.

圖5

評注：此解法巧妙地利用輔助圓直接確定了點E的位置，無需建立方程，僅通過勾股定理就簡潔地求出了結(jié)果．

圖6

因為∠ABC=120°，AB∥CD，所以∠MBC=60°，

設(shè)AE=x，則BE=6-x.在Rt△CEM中，

CE2=CM2+EM2=3+（7-x）2.

因為AB∥AD，所以∠BEC=∠ECD.

因為∠DEF=∠B=120°，所以△EDF∽△BCE.

解得x=2或5，即AE=2或5.

評注：解法5是解法1的改進(jìn)，同樣的相似三角形選擇了與原解法不同的對應(yīng)邊 （關(guān)鍵是公共邊CE用了兩次）列出比例式，得到的是一個一元二次方程，求解簡易.

解法6：如圖7，作EM⊥CB交CB的延長線于點M.

圖7

因為∠EBC=120°，所以∠BEC+∠BCE=120°.

因為∠DEC=120°，所以∠AED+∠BEC=120°，

所以∠BCE=∠AED.又∠EAD=∠CME=90°，

解法7：如圖8，作等腰梯形EBCG，EG交DC于點G，則∠EGC=∠BCD=60°，所以∠EGD=120°=∠DEC.

圖8

設(shè)AE=x，則BE=6-x，GC=8-x，DG=DC-GC=x-1.

在Rt△AED中，DE2=AD2+AE2=3+x2.

因為∠EDG=∠CDE，所以△EDG∽△CDE.

所以3+x2=7（x-1），解得x=2或5，即AE=2或5.

圖9

即x2-7x+10=0，解得x=2或5.

即AE=2或5.

評注：解法6、7、8巧妙地利用基本圖形重新構(gòu)造出一對相似三角形，建立的方程非常簡潔，結(jié)果也就自然順利地解出．

拓展：（3）設(shè)AE=t，射線EF與線段BC有交點時，t的范圍是________.

一些填空題雖小，但思維含量不低，只要做有心人，“小”題也“大”有文章可做，關(guān)注這些小題，激發(fā)學(xué)生思維，數(shù)學(xué)教師任重道遠(yuǎn).