☉浙江省湖州市褚水林名師工作室

浙江省湖州市雙林第二中學(xué) 姜曉翔

一、緣起

《中學(xué)數(shù)學(xué)》（初中版）2013年第二期刊登了肖世兵老師的《試題命制改編方法之否定屬性策略》（下用文獻1表示），文獻1主要介紹了美國學(xué)者Brown和Walter提出的問題的否定屬性策略，并通過一個典型中考題具體說明了否定屬性策略在試題改編中的應(yīng)用.文獻1給筆者很大的啟發(fā)：從一個給定的數(shù)學(xué)問題出發(fā)，利用否定屬性策略，以一生十，可以提出更多精彩的問題.如果我們在課堂上講評例題、習題時，能利用否定屬性策略進行諸多的問題變式甚至是變式串，那就可以有效地讓學(xué)生達到“做一題，觸一類，通一片”的效果.本文筆者也談一下自己嘗試對一個典型幾何題利用否定屬性策略進行了一系列的問題變式過程，與同仁共勉.

二、例題呈現(xiàn)與屬性列析

例題 如圖1，四邊形ABCD是正方形，點M是AB延長線上一點.直角三角尺的一條直角邊經(jīng)過點D，且直角頂點E是AB邊的中點，另一條直角邊與∠CBM的平分線BF相交于點F.猜想DE與EF滿足的數(shù)量關(guān)系并加以證明.

圖1

圖2

簡析：該題是一道比較典型的幾何探究型習題，可以找到AD的中點N，連接NE，如圖2，再利用△DNE≌△EBF，得出DE=EF.

進一步思考該題，列出問題中的各個屬性.

屬性1：四邊形ABCD是正方形；

屬性2：點M是AB延長線上一點；

屬性3：直角三角尺的一條直角邊經(jīng)過點D；

屬性4：直角頂點E是AB邊的中點；

屬性5：另一條直角邊與∠CBM的平分線BF相交于點F；

屬性6：直角.

列出以上屬性之后開始進行問題變式.

三、不改變“正方形”與“直角”屬性的“問題變式串”

首先，我們否定屬性4，利用屬性4的新屬性：直角頂點E是AB邊上的任意一點，我們可以得到以下變式：

變式1 如圖3，四邊形ABCD是正方形，點M是AB延長線上一點.直角三角尺的一條直角邊經(jīng)過點D，且直角頂點E是AB邊上的任意一點，另一條直角邊與∠CBM的平分線BF相交于點F.猜想DE與EF滿足的數(shù)量關(guān)系并加以證明.

簡析：該變式可以類似原題在AD上找到一點N，使得AN=AE，連接NE，再利用△DNE≌△EBF，得出DE=EF.

繼續(xù)否定屬性4，利用屬性4的新屬性：直角頂點E是AB延長線上的任意一點，我們可以得到以下變式：

圖3

圖4

變式2 如圖4，四邊形ABCD是正方形，點M是AB延長線上一點.直角三角尺的一條直角邊經(jīng)過點D，且直角頂點E是AB延長線上的任意一點，另一條直角邊與∠CBM的平分線BF相交于點F.猜想DE與EF滿足的數(shù)量關(guān)系并加以證明.

簡析：類似原題與變式1的思路，在AD延長線上找一點N，使得AN=AE，連接NE，如圖5，再利用△DNE≌△EBF，得出DE=EF.

圖5

圖6

圖7

否定屬性4和屬性5，利用屬性4的新屬性：直角頂點E是AB反向延長線上的任意一點，屬性5的新屬性：另一條直角邊與∠CBM的平分線的反向延長線相交于點F，我們可以得到以下變式：

簡析：雖然題目在不斷地進行變式，但思路還是保持“多變歸一”，可以在AD反向延長線上找一點N，使得AN=AE，連接NE，如圖7，再利用△DNE≌△EBF，得出DE=EF.

四、改變成“正三角形”與“60°角”屬性的“問題變式串”

之前的這一組“問題變式串”是在不改變屬性1和屬性6，也就是在不改變“正方形”和“直角”這兩大背景條件下進行的，我們可以嘗試著進一步利用否定屬性策略對問題變式進行探究，把“正方形”和“直角”兩大屬性改變成：“正三角形”和“60°角”，于是就得到了下一組“問題變式串”.

否定屬性1和屬性6，利用屬性1的新屬性：△ABD是正三角形，以及屬性6的新屬性：60°角，我們可以得到以下變式：

變式4 如圖8，△ABD是正三角形，點M是AB延長線上一點.直角三角尺的60°角一條邊經(jīng)過點D，且60°角頂點E是AB邊的中點，另一條邊與∠DBM的平分線BF相交于點F.猜想DE與EF滿足的數(shù)量關(guān)系并加以證明.

圖8

圖9

簡析：該變式與原題相比，正方形變正三角形，直角變60°，但我們的解題思路還是“多變歸一”，即：在AD邊上找一點N，使得AN=AE，連接NE，如圖9，此時可證得△AEN是等邊三角形，進而得出DN=EB，∠DNE=∠EBF=120°，再利用外角性質(zhì)得出∠1=∠2，于是就有△DNE≌△EBF，得出DE=EF.

在利用新屬性1和新屬性6的基礎(chǔ)上，再否定屬性4，利用新屬性4：60°角頂點E是AB邊上的任意一點，我們可以得到以下變式：

變式5 如圖10，△ABD是正三角形，點M是AB延長線上一點.直角三角尺的60°角一條邊經(jīng)過點D，且60°角頂點E是AB邊上的任意一點，另一條邊與∠DBM的平分線BF相交于點F.猜想DE與EF滿足的數(shù)量關(guān)系并加以證明.

1.當前還沒有為班主任設(shè)定標準的定義，班主任這一名詞來源于改革開放后教育的發(fā)展。2006年《教育部關(guān)于進一步加強中小學(xué)班主任工作的意見》將其概念詮釋為：“中小學(xué)班主任是中小學(xué)教師隊伍的重要組成部分，是班級工作的組織者、班集體建設(shè)的指導(dǎo)者、中小學(xué)生健康成長的引領(lǐng)者，是中小學(xué)思想道德教育的骨干，是溝通家長和社區(qū)的橋梁，是實施素質(zhì)教育的重要力量?！卑凑赵摳拍畹慕忉專梢缘贸霭嘀魅蔚膩碓词怯蓪W(xué)校根據(jù)教學(xué)任務(wù)的安排而專門設(shè)定的，旨在促進班級的優(yōu)良環(huán)境，建立良好的學(xué)習氛圍，是將學(xué)校安排的指令向?qū)W生進行傳達的重要人物，是班級的主要指導(dǎo)人。

圖10

圖11

圖12

簡析：仍然是在AD邊上找一點N，使得AN=AE，連接NE，如圖11，方法同上.

在之前的基礎(chǔ)上繼續(xù)否定屬性4，利用新屬性4：60°角頂點E是AB延長線上的任意一點，我們可以得到以下變式：

變式6 如圖12，△ABD是正三角形，點M是AB延長線上一點.直角三角尺的60°角一條邊經(jīng)過點D，且60°角頂點E是AB延長線上的任意一點，另一條邊與∠DBM的平分線BF相交于點F.猜想DE與EF滿足的數(shù)量關(guān)系并加以證明.

簡析：方法同變式2，在AD延長線上找一點N，使得AN=AE，連接NE，如圖13，該變式的難點是證明∠NDE=∠BEF，可以先通過外角的性質(zhì)得出∠1=∠2，然后根據(jù)“等角的補角相等”得出∠NDE=∠BEF，方法和結(jié)論都同上.

圖13

圖14

圖15

否定屬性4和屬性5，利用屬性4的新屬性：60°角頂點E是AB反向延長線上的任意一點，屬性5的新屬性：另一條邊與∠DBM的平分線的反向延長線相交于點F，得到以下變式：

變式7 如圖14，△ABD是正三角形，點M是AB延長線上一點.直角三角尺的60°角一條邊經(jīng)過點D，且60°角頂點E是AB反向延長線上的任意一點，另一條邊與∠DBM的平分線的反向延長線相交于點F.猜想DE與EF滿足的數(shù)量關(guān)系并加以證明.

簡析：方法類似于變式3，如圖15，結(jié)論同上.

五、改變成“等腰直角三角形”與“45°角”屬性的“問題變式串”

繼續(xù)改變屬性1和屬性6兩大背景條件，利用否定屬性策略探究問題變式，把“正三角形”和“60°角”兩大屬性改變成：“等腰直角三角形”，和“45°角”，我們又能得到以下一組“問題變式串”.

否定屬性1和屬性6，利用屬性1的新屬性：△ABD是等腰直角三角形，以及屬性6的新屬性：45°角，我們可以得到以下變式：

圖16

變式8 如圖16，△ABD是等腰直角三角形，AD=BD，∠ADB=90°，點M是AB延長線上一點.直角三角尺的45°角一條邊經(jīng)過點D，且45°角頂點E是AB邊的中點，另一條邊與∠DBM的平分線BF相交于點F.猜想DE與EF滿足的數(shù)量關(guān)系并加以證明.

圖17

圖18

圖19

圖20

圖21

圖22

圖23

六、改變成“底角為30°的等腰三角形”與“30°角”屬性的“問題變式串”

按照以上的否定屬性策略，我們還可以類似地得到以下“問題變式串”：

變式12 如圖24，△ABD是等腰三角形，AD=BD，且∠DAB=30°，點M是AB延長線上一點.直角三角尺的30°角一條邊經(jīng)過點D，且30°角頂點E是AB邊的中點，另一條邊與∠DBM的平分線BF相交于點F.猜想DE與EF滿足的數(shù)量關(guān)系并加以證明.

圖24

圖25

圖26

圖27

七、結(jié)語

以上針對例題進行的一系列“問題變式串”，都是通過否定屬性策略來進行的.可見，只要我們教師平時能積極利用否定屬性策略來研究問題，那既能編擬出精彩的試題，也能在課堂上設(shè)計出更加精彩的問題變式或變式串.這樣不僅能提高教師自身的專業(yè)素養(yǎng)，也能提高學(xué)生提出問題和解決問題的能力，相信這一定能成為教師職業(yè)生涯一筆寶貴的“財富”.

1.肖世兵.試題命制改編方法之否定屬性策略［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下半月），2013（2）．