☉江蘇省揚(yáng)州教育學(xué)院附屬中學(xué) 余 雷

起因：在一次數(shù)學(xué)測驗(yàn)中，試卷中出現(xiàn)下面這道題（2006年陜西中考試題），學(xué)生對此解答思路不清，多數(shù)都是憑感覺而答，錯誤率很高.

圖1

題目：（2006年陜西）如圖1，矩形ABCG（AB＜BC）與矩形CDEF全等，點(diǎn)B、C、D在同一條直線上，∠APE的頂點(diǎn)P在線段BD上移動，使∠APE為直角的點(diǎn)P的個數(shù)是（ ）.

A.0 B.1 C.2 D.3

筆者就此作思考，給出了以下四種方法解答.

解法1：由于點(diǎn)P為動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在BC之間使得BP=CD時，此時有∠APE=180°-（45°+45°）=90°；當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動至C點(diǎn)時（即P與C重合），顯然∠APE=90°.故選C.

解法2：利用“直徑所對的圓周角是直角”這一性質(zhì)來解答；即以AE為直徑畫圓，觀察可知此圓與BD有2個交點(diǎn)（如圖2）.

圖2

圖3

解法3：如圖3，可設(shè)AB=a，BC=b，BP=x，則PD=a+bx.要使∠APE=90°，則有△ABP∽△PDE，所以AB∶BP=PD∶DE，即a∶x=（a+b-x）∶b，整理得x2-（a+b）x+ab=0，由此得Δ=［-（a+b）］2-4ab=（a-b）2.

因?yàn)閍≠b，所以Δ＞0，故此方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，所以滿足條件的點(diǎn)P有2個.

在這四種解法中，解法1采用了特殊法觀察，解法2采用了動手操作，解法3采用了方程的思想，較前兩種方法復(fù)雜一些，而解法4是考慮到用“直線與圓的位置關(guān)系”來判斷，雖然這個解法更復(fù)雜一些，但它更具有思考性，于是筆者對此做了進(jìn)一步的探究.

探其究竟：上述解法4實(shí)際是直角梯形（即梯形ABDE，AB∥DE，∠B=90°），判斷以它的非直角腰AE為直徑的圓與直角腰BD的位置關(guān)系，于是我們可以命制下面的這道題：

試題1：如圖4，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=a，CD=b（a＜b），BC=c，點(diǎn)P為腰BC上一個動點(diǎn).問：當(dāng)a、b、c有怎樣的關(guān)系時，有∠APD=90°？并說明這樣的點(diǎn)P有幾個.

圖4

當(dāng)把試題1中的附加條件a＜b替換為a=b，其他條件不變，我們不難發(fā)現(xiàn)它是一個的矩形（如圖4），也就是試題1的特殊情形（此題也是我們較為常見的題目）：

試題2：如圖5，矩形ABCD，要在AB上找一點(diǎn)P，使點(diǎn)P與A、D的連線將此矩形分成的三個三角形兩兩相似，問：這樣的點(diǎn)P是否存在？若存在，這樣點(diǎn)P有幾個，并說明你的理由.

圖5

在試題2的情形下，再思考：如果此時的AD與BC既不平行，也不相等，顯然得到一個梯形，那么考慮以上底為直徑的圓與下底所在直線的位置關(guān)系，于是得：

試題3：如圖6，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=a，CD=b，BC=m，AD=n，點(diǎn)P為直線BC上一個動點(diǎn)，當(dāng)a、b、m、n之間滿足怎樣的關(guān)系時，才有∠APD=90°？并說明使∠APD=90°的點(diǎn)P的個數(shù)情況？

解析：作DE⊥BC于E，過D作DF∥AB交BC于點(diǎn)F，仍考慮以AD為直徑的圓與直線BC位置關(guān)系；圓的半徑已經(jīng)知道，只要求出圓心到直線BC距離，由AD∥BC知，要求這條垂線段長，只要求DE的長，由海倫公式可求出DE的長，然后再與此圓的半徑比較即可.

圖6

至此，對這道中考題的探究暫告一段落，通過這樣的探究往往會有意想不到的收獲，如試題3，可以說這道題的形成是對這道中考題一步步探究而“發(fā)掘”出來的一道新題，新題的形成，自然樂在其中，故整理成文，與讀者共享.