☉江蘇省金湖縣實驗中學(xué) 高 峰

中考是教學(xué)的指揮棒，中考的命題原則和命題方式對教學(xué)的引領(lǐng)與指揮作用是毋庸置疑的，優(yōu)秀的中考試題能折射出時代對數(shù)學(xué)教學(xué)的期望.正如課標(biāo)中指出的：數(shù)學(xué)是“活動”、“過程”、“思想和方法”……可見，數(shù)學(xué)已經(jīng)成為一種具有多維結(jié)構(gòu)的人類活動.努力讓數(shù)學(xué)展現(xiàn)出應(yīng)有的面目，中考走在了前列！

三角形的相關(guān)知識占初中幾何的半壁江山，內(nèi)涵豐富，是發(fā)展學(xué)生的空間觀念、圖形直觀和數(shù)學(xué)思維能力的重要載體，是研究四邊形、圓等其他幾何圖形的知識與方法的基礎(chǔ)，挖掘三角形問題的教育教學(xué)的意義，對提高學(xué)生素質(zhì)有著重要的作用.有關(guān)三角形的探究性問題，更是中考的熱點.通過對這些試題的分析、研究，將能有效地指導(dǎo)我們的課堂教學(xué).

一、拓展問題空間，提升類比轉(zhuǎn)化能力

“類比推理”和“歸納推理”是合情推理的兩種常見的形式，既是思考方法，又是研究、概括、拓展知識的重要策略和途徑.類比中有聯(lián)想，類比中有遷移，類比中有變化，類比中有發(fā)展.其中，聯(lián)想和遷移是“類比”實現(xiàn)“從某一事物想到或運(yùn)用到與之有一定聯(lián)系的另一事物”的動力，縱橫聯(lián)想，善于遷移，能讓學(xué)生自覺處理眾多信息，開闊學(xué)生解題的思路；而類比的另一個重要的特征是在遷移中的“變化、調(diào)整與發(fā)展”，能鍛煉學(xué)生思維的適應(yīng)性和應(yīng)變性.

例1（2012年河南）類比、轉(zhuǎn)化、從特殊到一般等思想方法，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中經(jīng)常用到，如下是一個案例，請補(bǔ)充完整.

（1）嘗試探究：

（2）類比延伸：

（3）拓展遷移：

圖1

圖2

圖3

評注：學(xué)生解決本題時，首先要明白“嘗試探究”中的前兩個問題的用意，實質(zhì)是引導(dǎo)學(xué)生積極對自己的解題思路進(jìn)行自主反思，抓住問題的關(guān)鍵，即利用作平行線，構(gòu)造相似三角形，通過對應(yīng)邊成比例，獲得關(guān)鍵線段之間的數(shù)量關(guān)系.“類比延伸”只是將“比值是數(shù)字”改為“比值是字母”，目的是使結(jié)果由“特殊”過渡到“一般”，圖形結(jié)構(gòu)與條件變化不大，目的是使學(xué)生體會借助于字母，可以使結(jié)論更具有一般性.“拓展遷移”的圖形結(jié)構(gòu)與條件發(fā)生了很大的變化，但并不是沒有關(guān)系，這就需要學(xué)生能自主通過類比，抓住題目內(nèi)部結(jié)構(gòu)上“類似”、“相關(guān)”、“因果”、“相近”等因素，運(yùn)用前面的思路來解決問題，獲得豐富的構(gòu)造和利用相似三角形的知識解決問題的經(jīng)驗.

要讓學(xué)生獲得運(yùn)用某種方法解決問題的經(jīng)驗，可依據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，從簡單的、特殊的問題入手，將問題向一般進(jìn)行拓展、變式，引導(dǎo)學(xué)生先對簡單的、特殊的問題進(jìn)行分析獲得靈感，然后應(yīng)用解決一般的、變化的、拓展的問題.在這個過程中，學(xué)生充分體驗“借助特殊解決一般”的思想，掌握運(yùn)用“特殊與一般”關(guān)系的思維策略，其中還涉及，如何把一般與特殊進(jìn)行類比，如何將一般向特殊轉(zhuǎn)化，讓學(xué)生充分感受類比、轉(zhuǎn)化、從特殊到一般等思想方法的應(yīng)用，獲得豐富的運(yùn)用某種方法解決問題的經(jīng)驗，形成對知識的概括、運(yùn)用和遷移.

二、倡導(dǎo)合作交流，提升數(shù)學(xué)交流能力

數(shù)學(xué)交流是學(xué)生有效進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種手段，在交流的過程中學(xué)生可以互相啟迪，讓思維進(jìn)行碰撞.通過交流，學(xué)生可以產(chǎn)生彼此的信任，有利于良好學(xué)習(xí)氛圍的形成.在這個過程中能增強(qiáng)學(xué)生的體驗，展開方法、策略的探討，生成豐富且生動的學(xué)習(xí)資源，在自主探索、合作交流中，學(xué)生的情感、態(tài)度、價值觀的取向得到真實的釋放.

例2（2012年山西）問題情境：將一副直角三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）按圖4所示的方式擺放，其中∠ACB=90°，CA=CB，∠FDE=90°，O是AB的中點，點D與點O重合，DF⊥AC于點M，DE⊥BC于點N，試判斷線段OM與ON的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

探究展示：小宇同學(xué)展示出如下正確的解法：

解：OM=ON，證明如下.

連接CO，則CO是AB邊上中線.

因為CA=CB，所以CO是∠ACB的角平分線.（依據(jù)1）

因為OM⊥AC，ON⊥BC，所以O(shè)M=ON．（依據(jù)2）

反思交流：

（1）上述證明過程中的“依據(jù)1”和“依據(jù)2”分別是指：

依據(jù)1：_____________________.

依據(jù)2：_____________________.

（2）你有與小宇不同的思考方法嗎？請寫出你的證明過程．

拓展延伸：

（3）將圖4中的Rt△DEF沿著射線BA的方向平移至如圖5所示的位置，使點D落在BA的延長線上，F(xiàn)D的延長線與CA的延長線垂直相交于點M，BC的延長線與DE垂直相交于點N，連接OM、ON，試判斷線段OM、ON的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并寫出證明過程．

圖4

圖5

解：（1）等腰三角形三線合一（或等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合）；角平分線上的點到角的兩邊距離相等．

（2）方法不唯一，可通過尋找三角形全等來解決.因為CA=CB，所以∠A=∠B.因為O是AB的中點，所以O(shè)A=OB．因為DF⊥AC，DE⊥BC，所以∠AMO=∠BNO=90°，所以△OMA≌△ONB（AAS），所以O(shè)M=ON．

評注：本題中，由于特殊情形下解決問題的方法很多，但是不是所有方法都適合解決拓展延伸，能否找到適合的方法是解決拓展延伸的關(guān)鍵.在后面的問題解決中，既要類比借鑒，又要打破思維定勢，既要思維聚斂，也要不斷地發(fā)散，有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性和靈活性，而這一切都可在互相交流中予以獲得.

讓學(xué)生盡情地展示自己的觀點，學(xué)會分析、評價、理解、接受別人的觀點，并對其進(jìn)行反思，獲得新的認(rèn)識，最終形成具有自身特色的活動經(jīng)驗，并自覺運(yùn)用來解決新的問題.在這個過程中，有自主的思考，有情感的交流；學(xué)會接受別人的意見，使獲取知識的途徑更為廣泛，在借鑒別人經(jīng)驗的同時獲得自身思維的發(fā)展和素質(zhì)的提高.

在解決問題的過程中，有些學(xué)生嘗到了甜頭，其思維得到老師的認(rèn)可、同學(xué)的尊重，因而將積極的情意附加在這個問題上，使得今后在相似、相關(guān)的學(xué)習(xí)情景中，會首先想起今天的問題、今天的成功.這也正是奠定學(xué)生的終生發(fā)展的一個重要方面，學(xué)生離開學(xué)校后，在學(xué)校里所學(xué)的課本知識，會漸漸遺忘，但是這些積聚在學(xué)習(xí)過程中的學(xué)習(xí)自信、成功的感悟以及由此生成的良好的個性品質(zhì)，必將伴隨學(xué)生的一生.

教學(xué)中，要注意設(shè)計不同性質(zhì)的探究活動，讓學(xué)生親身經(jīng)歷、動手操作，樂在其中，既有獨立的觀察、實驗、推理，也有和諧的交流合作，使思維和身心得到和諧的發(fā)展，能力得到全面的提升.

三、依據(jù)操作實驗，提升動手操作能力

動手操作活動是指根據(jù)教師創(chuàng)設(shè)的問題情境與教師提供的定向指導(dǎo)，通過動手操作學(xué)具探究數(shù)學(xué)問題，獲得數(shù)學(xué)結(jié)論，理解數(shù)學(xué)知識的一種活動.動手操作也是一種能力.動手操作能力是人類改造自然，變革社會的一種重要因素.借助合適的素材，讓學(xué)生在操作的過程中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題，是培養(yǎng)創(chuàng)新意識、提升學(xué)生創(chuàng)新能力的一個重要途徑．

例3 （2012年浙江義烏）在銳角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，將△ABC繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到△A1BC1．

（1）如圖6，當(dāng)點C1在線段CA的延長線上時，求∠CC1A1的度數(shù)；

（2）如圖7，連接AA1、CC1，若△ABA1的面積為4，求△CBC1的面積；

（3）如圖8，點E為線段AB中點，點P是線段AC上的動點，在△ABC繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)過程中，點P的對應(yīng)點是點P1，求線段EP1長度的最大值與最小值.

圖6

圖7

圖8

圖9

解：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠A1C1B=∠ACB=45°，BC=BC1，所以∠CC1B=∠C1CB=45°，所以∠CC1A1=∠CC1B+∠A1C1B=45°＋45°=90°.

②如圖11，當(dāng)P在AC上運(yùn)動至點C，△ABC繞點B旋轉(zhuǎn)，使點P的對應(yīng)點P1在線段AB的延長線上時，EP1最大，最大值為2+5=7.

圖10

圖11

評注：第（3）問的解決有兩種途徑：一是演繹推理.直接面對EP1長度有困難，可以借助其他線段，本題中，BP1、BE、EP1有聯(lián)系，當(dāng)BP1、BE、EP1在一條直線上，有BP1-BE=EP1或BP1+BE=EP1，當(dāng)BP1、BE、EP1不在一條直線上，有BP1-BE＜EP1＜BP1+BE.其中BE的長度一定，只需確定BP1何時最大或最小即可.如果沒有經(jīng)過一定數(shù)量的類似題型的訓(xùn)練，積累一定的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，是無法想到這種方法的.顯然這種方法在平時的學(xué)習(xí)和練習(xí)中不是常見的.二是動手操作，直觀猜想.做一個三角形進(jìn)行直觀操作，或利用圓規(guī)作一些情形，然后觀察P1的位置，去發(fā)現(xiàn)規(guī)律，這種猜想包含直覺思維的成分.

動手操作可以說是幾何學(xué)習(xí)中常用的方法.我們的教學(xué)中要充分關(guān)注學(xué)生的操作活動，并引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會對操作的過程和結(jié)果進(jìn)行分析，獲取問題解決的方法和數(shù)學(xué)結(jié)論，特別是對操作過程的關(guān)注，如操作的合理性、操作的意義等，才能積累豐富的動手操作活動經(jīng)驗，培養(yǎng)學(xué)生的動手操作能力和直覺思維能力，最終提升學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力.

《新課標(biāo)》指出：“創(chuàng)新意識是現(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)的基本任務(wù)，應(yīng)體現(xiàn)在數(shù)學(xué)教與學(xué)的過程之中.學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)和提出問題是創(chuàng)新的基礎(chǔ)；獨立思考、學(xué)會思考是創(chuàng)新的核心；歸納概括得到猜想和規(guī)律，并加以驗證，是創(chuàng)新的重要方法.”放手操作，對操作過程進(jìn)行質(zhì)疑、分析、抽象、概括獲得猜想，是培養(yǎng)創(chuàng)新意識的重要過程.

四、注重學(xué)法指導(dǎo)，提升自主學(xué)習(xí)能力

掌握“閱讀、觀察、類比、猜想、探究、質(zhì)疑、聯(lián)想、推理與反思”等學(xué)習(xí)方法，能培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)（如思維的深刻性、概括性、應(yīng)變性等）和學(xué)習(xí)能力（如認(rèn)知能力、探究能力、遷移能力等）.

例4（2012年浙江嘉興）將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)θ度，并使各邊長變?yōu)樵瓉淼膎倍，得△AB′C′，如圖12，我們將這種變換記為［θ，n］.

（2） 如圖13，△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=90°，對△ABC作變換［θ，n］得△AB′C′，使點B、C、C′在同一直線上，且四邊形ABB′C′為矩形，求θ和n的值.

（3）如圖14，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=l，對△ABC作變換［θ，n］得△AB′C′，使點B、C、B′在同一直線上，且四邊形ABB′C′為平行四邊形，求θ和n的值.

圖12

圖13

圖14

（3）因為四邊形ABB′C′是平行四邊形，所以AC′∥BB′.又因為∠BAC=36°，所以θ=∠CAC′=∠ACB=72°.所以∠C′AB′=∠BAC=36°.而∠B=∠B，所以△ABC∽△B′BA，所以AB∶BB′=CB∶AB，所以AB2=CB·BB′=CB（BC+CB′），而CB′=AC=AB=B′C′，BC=1，所以AB2=1×（1+AB）.

評注：本題設(shè)計了一種新的變換，既具有旋轉(zhuǎn)的某些特征，也有相似的某些特征，是一種取材于初中概念命制新概念閱讀理解型問題.此題融合了相似三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)以及數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用.

本題既考查了新概念，也考查了老概念，重點關(guān)注的是學(xué)生的即時學(xué)習(xí)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)，突出對學(xué)習(xí)過程的評價.對于這個全新的概念和問題鏈，學(xué)生能否解答，完全不在平時做了多少題，常規(guī)題型會多少，關(guān)鍵在于會不會解讀概念、理解概念以及分析問題和解決問題的能力如何.

本題為命題者提供了一個信息，不要把《課標(biāo)》刪除的內(nèi)容和高中的內(nèi)容作為素材進(jìn)行命題，增加學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān).同時提醒廣大教師，教學(xué)中應(yīng)加強(qiáng)概念的教學(xué)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷概念的形成與概括的過程中理解概念的本質(zhì)，掌握學(xué)習(xí)的方法，摒棄“數(shù)學(xué)教學(xué)=解題教學(xué)=題海訓(xùn)練”等錯誤做法，為學(xué)生積累充分的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，教給學(xué)生學(xué)習(xí)的方法，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力.

五、關(guān)注學(xué)習(xí)過程，提升遷移能力

課堂教學(xué)中，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念、公式、定理、法則的提出過程，數(shù)學(xué)結(jié)論的形成過程，數(shù)學(xué)思想方法的探索及概括總結(jié)過程，以及用數(shù)學(xué)的過程，并有意引導(dǎo)學(xué)生將前面學(xué)習(xí)的過程的步驟、方法等遷移運(yùn)用到下一個內(nèi)容的學(xué)習(xí)上，達(dá)到提升學(xué)生的思考探究能力，運(yùn)用已學(xué)知識開拓新領(lǐng)域的能力，靈活遷移應(yīng)用的能力以及創(chuàng)新能力.

例5（2012年江蘇淮安）閱讀理解：

如圖15，沿△ABC的∠BAC的平分線AB1折疊，把重疊部分剪掉，再沿△A1B1C的∠B1AC的平分線A1B2折疊，把重疊部分剪掉，…，沿△AnBnC的∠BnAnC的平分線AnBn+1折疊，點Bn能與點C重合.無論折疊多少次，只要最后一次能與點C重合，我們就稱∠BAC是△ABC的好角.

小麗展示了∠BAC是△ABC中的好角的兩種情形.情形一：如圖16（1），沿等腰三角形ABC的頂角∠BAC的平分線AB1折疊，點B與點C重合；情形二：如圖16（2），沿△ABC的∠BAC的平分線AB1折疊，剪掉重疊部分，將余下的沿∠B1A1C的平分線A1B2折疊，此時點B1與點C重合.

圖15

圖16

探究發(fā)現(xiàn)：

（1）在△ABC中，∠B=2∠C，經(jīng)過兩次折疊，∠BAC是不是△ABC的好角？______（填“是”或“不是”）.

（2）小麗經(jīng)過三次折疊發(fā)現(xiàn)了∠BAC是△ABC的好角，請?zhí)骄俊螧和∠C（不妨設(shè)∠B＞∠C）之間的數(shù)量關(guān)系.

根據(jù)以上內(nèi)容猜想：若經(jīng)過n次折疊∠BAC是△ABC的好角，則∠B和∠C（不妨設(shè)∠B＞∠C）之間的數(shù)量關(guān)系為______.

應(yīng)用提升：

小麗找到一個三角形，三個角分別為15°，60°，105°，發(fā)現(xiàn)60°和105°的兩個角都是此三角形的好角.

請你完成，如果一個三角形的最小角是4°，試求出三角形另外兩個角的度數(shù)，使該三角形的三個角均為此三角形的好角.

解：探究發(fā)現(xiàn)：（1）是.（2）∠B=3∠C.（3）∠B=n∠C.

應(yīng)用提升：

根據(jù)題意設(shè)另兩個角分別為4x度、4y度，（x、y均為正整數(shù)），則4x+4y+4=180，即x+y=44.因為4x、4y之間是整除關(guān)系，不妨設(shè)4x=4ny（n為正整數(shù)），即x=ny，所以（n+1）y=44，則可得：

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評注：本題與課堂中學(xué)習(xí)一個圖形的概念、性質(zhì)、判定及其應(yīng)用的教學(xué)過程是高度吻合的.首先提出什么是“好角”這個概念，又通過舉例幫助學(xué)生理解這個概念，接著引導(dǎo)學(xué)生從特殊情形入手，逐步探究歸納出與“好角”有關(guān)的性質(zhì)規(guī)律，最后引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用概念和性質(zhì)規(guī)律解決問題.著重考查學(xué)生歸納、概括和發(fā)現(xiàn)的能力，利用規(guī)律解決問題，即知識應(yīng)用能力，解題時對思維的深刻性、靈活性與敏捷性要求很高.

題目通過展示一個濃縮化的仿真課堂學(xué)習(xí)過程，重現(xiàn)了課堂上的學(xué)習(xí)過程、方法和情境，脫離了教師的引領(lǐng)，學(xué)生的自學(xué)能力和遷移思考能力到底如何，通過這樣的問題可以顯現(xiàn)出來.學(xué)生能否把課堂中研究問題的方式、方法、策略和能力遷移到這里，是解題的關(guān)鍵.

在平時的課堂教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生充分經(jīng)歷幾何探究的過程，掌握探究的步驟：下定義—研性質(zhì)—探判定—學(xué)應(yīng)用；學(xué)會探究的方法：觀察（看圖、測量、實驗）、歸納猜想、驗證（證明）.試題是不能覆蓋的，但是數(shù)學(xué)核心知識和思想方法以及數(shù)學(xué)認(rèn)知活動是可以覆蓋的，教師要做的是用核心知識、思想方法和認(rèn)知活動覆蓋考試，才能達(dá)到事半功倍的效果.