☉江蘇省南通市教育科學研究中心 符永平（特級教師）

☉江蘇省海安縣李堡鎮(zhèn)初級中學 劉東升

近期讀了一些中學數(shù)學教育教學期刊，發(fā)現(xiàn)命題研究始終是熱點欄目，各級教研員、一線教師無不對命題有著濃厚的興趣，在相應的數(shù)學教師交流的QQ群中，交流得最多的也是解題研究、命題研究，這種現(xiàn)象在每年中考、高考前夕更為突出．但是，不論是期刊發(fā)文研討命題，還是群里交流探討命題，大家關(guān)心的焦點總是集中在試題的難易度、新穎度、原創(chuàng)性、解法的探討等角度，技術(shù)性探討較多，但很少有對試題做出進一步的“數(shù)學”追問，即試題考查的數(shù)學知識在數(shù)學學段、學科發(fā)展中有怎樣的地位？試題對后續(xù)數(shù)學學習有何價值？試題對數(shù)學的學習與研究有沒有方法上的指導作用？試題背后是不是能融入一點數(shù)學史（文化）的背景？本文結(jié)合一些試題嘗試從上述角度做一些探討，與有命題興趣的同行研討．

一、追問試題背后的數(shù)學地位

命題時首先要追問試題背后的“數(shù)學地位”，是指命題者心中要清楚該題在測試范圍中的地位、在整個年級中的地位、在整個學段中的地位、在數(shù)學學科中的地位．現(xiàn)在結(jié)合兩道例題說明．

例1（原創(chuàng)）以下四個有理數(shù)：

請觀察并思考，數(shù)______與其他三個不同，理由是______.

命題意圖：這是我們?yōu)槟畴s志原創(chuàng)題欄目命制的有理數(shù)單元練習.答案不唯一，只要理由正確即可.本題的立意之一，作為有理數(shù)單元練習，引導學生關(guān)注有理數(shù)概念，學會區(qū)別不同的有理數(shù)，是關(guān)注數(shù)學上的核心概念.立意之二，取自史寧中教授的名著《數(shù)學思想概論》（第4輯），史教授特別重視類比，認為“對于數(shù)學的研究和教學，分類問題都是重要的.如果希望清晰地分類，除了要了解類中事物的共同特征和性質(zhì)之外，還應當進行類與類之間的比較……”［1］可見，我們讓學生比較不同的有理數(shù)形式，正是想訓練學生這種比較、區(qū)別的眼力.

例2（2011年江蘇南京卷第27題）

問題情境：

已知矩形的面積為a（a為常數(shù)，a＞0），當該矩形的長為多少時，它的周長最??？最小值是多少？

數(shù)學模型：

探索研究：

①填寫下表，畫出函數(shù)的圖像；

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②觀察圖像，寫出該函數(shù)兩條不同類型的性質(zhì)；

解決問題：

⑵用上述方法解決“問題情境”中的問題，直接寫出答案.

“故事”分享：

“故事二”：在一次中考復習課上，研究者曾選用這道題作為例題，學生小蘇、小譚利用配方法給出如下的解法：

在這種思路的引導下，他們對最后一問的配方如下：

對這道題來說，這樣的求解是可以的，他們是從分式通分的角度出發(fā)，再配方，結(jié)合分子、分母來思考，也獲得了問題的處理.

后來，把同學們圍繞這道題的解題教學案例整理在相關(guān)QQ群里與很多老師交流，大家都能接受上述不同解法，還有老師提及這道題融進了高中數(shù)學“均值不等式”的影子.

二、追問試題對后續(xù)數(shù)學學習的價值

章建躍教授在文［2］中認為真正的數(shù)學題“應該滿足一些基本條件，例如：反映數(shù)學本質(zhì)，與重要的數(shù)學概念和性質(zhì)相關(guān)，不糾纏于細枝末節(jié)，體現(xiàn)基礎(chǔ)知識的聯(lián)系性，解題方法自然、多樣，具有發(fā)展性，表述形式簡潔、流暢且好懂等.”像上面的例2就是一道具有發(fā)展性的好題，她指向高中函數(shù)、均值不等式多內(nèi)容，這里，筆者結(jié)合一次課堂生成，也改編一道試題如下：

例3（原創(chuàng)）場景再現(xiàn)：

變式拓展：

“故事”講述：

小戴同學在課后的反思文章中這樣寫道：這道題使我想起了小鷹學飛中的那句話“孩子，你向上看”.

簡評：本題的命題立意有兩點，一引導學生重視課堂聽講，這里是引導善于傾聽、理解，并深入思考問題可能演進的方向或角度，像本題這樣的追問，本質(zhì)上還指向了高中數(shù)學的參數(shù)方程．體現(xiàn)了試題較好的發(fā)展性．

三、追問試題對數(shù)學學法的指導作用

數(shù)學的學習與研究應該有一定的“基本套路”［3］，讓學生明確一些“基本套路”是有意義的.作為試題的命制，也應該追求滲透“基本套路”的命題取向.

例4 閱讀理解：

小方同學的數(shù)學寫作片斷：

聯(lián)想類比：

（1）在你的數(shù)學學習中，你能否找到類似的數(shù)學知識填一個“三級臺階”（如圖2）；

圖2

（2）你能否構(gòu)思一種形式（可以是框圖、臺階、集合圖等），將有理數(shù)進行歸類.

命題意圖：本題答案開放，只要有符合題意均可.

例5（改編自2009年江蘇卷第8題）下面是按一定規(guī)律排列且形式相似的一列數(shù)：

…

（1）試寫出第n個數(shù)的式子：____________.

（2）試猜想第2012個數(shù)、第2013個數(shù)的大小，并寫一寫你是怎么想的.

（2）第2012個數(shù)大.理由可以是：

簡評：這兩道題立意都是想給學生一些學法指導．例4示范了自主建構(gòu)圖式建構(gòu)概念；像例5這樣的規(guī)律性探究問題是小學、初中、高中都一以貫之重視的熱點問題，其在數(shù)學學科中的價值也很大，可以數(shù)形結(jié)合，可以發(fā)展到通式，可以訓練學生的歸納推理、發(fā)現(xiàn)發(fā)明意識，各地月考、期中、期末、中考都是必考題型，重視這類問題“從簡單出發(fā)”的求解策略有積極的意義．

四、追問試題反映的數(shù)學史（文化）意義

一段時間以來，華東師大汪曉勤教授在數(shù)學史融入中學數(shù)學教育教學的研究（即HPM）上用力較多，成果頻出，并且與一線教師合作了不少HPM的教學案例，給我們帶來有益的啟示.另一方面，各種版本的教材上也有不少數(shù)學史料上的引入、介紹、習題編制.但是，作為倍受關(guān)注的中考來說，把數(shù)學史（或數(shù)學文化）作為一種元素融入試題命制的立意卻并不多見，研究者以為，這是值得關(guān)注的一種現(xiàn)象.下面研究者給出三道原創(chuàng)題.

例6 我們很早就和數(shù)字相識……數(shù)的世界，看似簡單平常，卻又會奇妙無比.像153就是一個奇妙的數(shù)，比如153=1+2+3+…+17；153還有一個奇妙的特性：153=13+（______）3+33.

命題意圖：水仙花數(shù)153=13+53+33.考查開立方，立方根，解方程的技能.這其實是“水仙花數(shù)”或“圣經(jīng)數(shù)”等稱謂.

命題意圖：該題考查了勾股數(shù)組，關(guān)注了數(shù)形結(jié)合能力，又有數(shù)學史的有效融入.同時從多元方程自然可以引發(fā)出多條深入研究的路徑，方程次數(shù)與元數(shù)的變化導致了數(shù)學研究分支的出更，提示相關(guān)的研究方向，可以體會數(shù)學的發(fā)展動力.

例8（引自文［5］）圖形分割是令人困惑而有趣的.比如將一個正方形分割成若干個銳角三角形，要求分割的銳角三角形的個數(shù)盡可能少就是讓人感興趣的問題.圖3-圖6即是將正方形分割成11個、10個、9個、8個銳角三角形的圖形.

圖3

圖4

圖5

圖6

其中圖6將正方形分割成8個銳角三角形，不僅是一種巧妙的方法，而且圖6還是一個軸對稱圖形.請找一找圖6中全等三角形有（ ）組.

A.3 B.4 C．5 D．6

命題意圖：本題選自《數(shù)學美拾趣》（第二版）［6］“巧妙的圖形分割”下的一個案例.開發(fā)成一道選擇題的意義在于，考查學生閱讀理解能力，善于排除無關(guān)信息干擾，直抵問題的真正指向即圖6作為一個軸對稱圖形，有幾組全等三角形的發(fā)現(xiàn).這道題背后體現(xiàn)了數(shù)學文化、人文取向是有積極意義的.也許有學生對圖形分割很感興趣，他可能會繼續(xù)深入探究正方形分割問題，事實上，該題中展示的正方形分割成8個銳角三角形已是最少的一種分法.

五、寫在最后

命題與課堂教學一樣，是一門藝術(shù)，而且也是一門遺憾的藝術(shù)．作為更具厲害關(guān)系的、關(guān)注面更廣的中考命題來說，命題組使命光榮、責任重大，這需要長期的學習、積累與涵養(yǎng)．對于平時的階段測試、期中、期末測試或者是地區(qū)的學業(yè)水平測試來說，有機會命題的老師，同樣也應該珍惜機會，精心預設(shè)、苦心經(jīng)營，因為一份考卷既是考查區(qū)分、學情反饋，同時更重要的還在于發(fā)展師生、引領(lǐng)教學．研究者以為，無論從哪一個角度，命題都應該首先追問“數(shù)學”，這與章建躍教授提出數(shù)學教學的“三個理解”（即文［7］中指出的：理解數(shù)學，理解學生，理解教學）中的“理解數(shù)學”是一致的．事實上，如果嚴格比照追問“數(shù)學”的角度，當前有很多中考試題都存在著陳題簡單改編、人為堆砌、煩瑣疊加現(xiàn)象，題目的呈現(xiàn)、生成與發(fā)展不自然、不簡潔，沒有求解價值的現(xiàn)象還很普遍，并不符合“好的數(shù)學題目”的標準，限于篇幅和其他原因，本文不作列舉，與大家一起反思，也期待我們這些命題人都能為開發(fā)“好的數(shù)學題目”做出一些切實的努力．

1.史寧中．數(shù)學思想概論（第4輯）［M］．長春：東北師范大學出版社，2010．

2.章建躍．發(fā)揮數(shù)學的內(nèi)在力量，為學生謀取長期利益［J］．數(shù)學通報，2013（2）.

3.章建躍．注重“基本套路”才是好數(shù)學教學［J］．中小學數(shù)學，2012（3）.

4.崔萍．為這樣的小題“叫好”［J］．中學數(shù)學（下半月），2013（5）.

5.夏盛亮．一次縣級期末調(diào)研測試的命題與思考［J］．中學數(shù)學（下半月），2013（3）.

6.易南軒．數(shù)學美拾趣（第二版）［M］．北京：科學出版社，2004．

7.章建躍．數(shù)學概念的理解與教學［J］．中學數(shù)學教學參考（上旬），2010（11）.