☉江蘇省淮北中學(xué) 高 波

一道高質(zhì)量的中考試題，反映了命題者對(duì)課程精神的深度領(lǐng)悟、對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的準(zhǔn)確把握和對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的高度期待.為了配合新課標(biāo)的學(xué)習(xí)活動(dòng)，我們九年級(jí)數(shù)學(xué)備課組舉行了一次《從考題覓理念》活動(dòng)，通過(guò)對(duì)中考試題的分析，加深對(duì)課標(biāo)精神的理解，指導(dǎo)我們的教學(xué)實(shí)踐，提升我們的教學(xué)理念.下面從三個(gè)方面談?wù)剬?duì)一道中考題的價(jià)值追尋的過(guò)程.

一、試題呈現(xiàn)

題目 （2012年北京）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于任意兩點(diǎn)P1（x1，y1）與P2（x2，y2）的“非常距離”，給出如下定義：

①若點(diǎn)A與點(diǎn)B的“非常距離”為2，寫(xiě)出一個(gè)滿(mǎn)足條件的點(diǎn)B的坐標(biāo)；

②直接寫(xiě)出點(diǎn)A與點(diǎn)B的“非常距離”的最小值.

圖1

圖2

圖3

①如圖2，點(diǎn)D的坐標(biāo)是（0，1），求點(diǎn)C與點(diǎn)D的“非常距離”的最小值及相應(yīng)的點(diǎn)C的坐標(biāo)；

②如圖3，E是以原點(diǎn)O為圓心、1為半徑的圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)C與點(diǎn)E的“非常距離”的最小值及相應(yīng)的點(diǎn)E和點(diǎn)C的坐標(biāo).

二、閱讀理解

試題首先通過(guò)對(duì)平面直角坐標(biāo)系中的任意兩點(diǎn)的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)差的絕對(duì)值的大小比較，并從“大于或等于”和“小于”這兩個(gè)關(guān)系定義了點(diǎn)與點(diǎn)的“非常距離”.按照這兩類(lèi)不等關(guān)系劃分的定義所得到的是“非常距離”與點(diǎn)的坐標(biāo)差的絕對(duì)值對(duì)應(yīng)是一個(gè)確定的單值對(duì)應(yīng)，即對(duì)任意給定的兩點(diǎn)總能確定出一個(gè)且唯一的一個(gè)“非常距離”.

試題給出“非常距離”的定義后，對(duì)抽象的符號(hào)通過(guò)數(shù)、形兩個(gè)方面進(jìn)行了具體的解讀，即利用已知坐標(biāo)的點(diǎn)，不僅從數(shù)的角度，還結(jié)合平面坐標(biāo)系中對(duì)應(yīng)線段的長(zhǎng)度大小比較的結(jié)果對(duì)“非常距離”進(jìn)行解讀.目的在暗示研究本題的策略：用數(shù)形結(jié)合的思想，借助直觀圖形分析問(wèn)題.

試題的四個(gè)設(shè)問(wèn)中，有三個(gè)設(shè)問(wèn)都是確定點(diǎn)與點(diǎn)的“非常距離”的最小值，而且這三個(gè)設(shè)問(wèn)的要求是層層遞進(jìn)的.

問(wèn)題（1）的第①問(wèn)是為了讓學(xué)生通過(guò)一個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題來(lái)熟悉“非常距離”，對(duì)題干中給出的“非常距離”正向感受，問(wèn)題（1）的第①問(wèn)是逆向運(yùn)用，這樣通過(guò)正反感受，可以加深對(duì)概念的理解，從而更好地應(yīng)用.同時(shí)，讓學(xué)生能夠在點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)中去發(fā)現(xiàn)同一個(gè)“非常距離”的值所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)不唯一，暗示學(xué)生用運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)去看待本題，獲得思路.

問(wèn)題（1）的第②問(wèn)通過(guò)一個(gè)特例來(lái)求“非常距離”的最小值，目的是讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)當(dāng)OA=OB時(shí)，“非常距離”最小.問(wèn)題（1）的第②問(wèn)是探究之旅的開(kāi)端，這個(gè)開(kāi)端意境深遠(yuǎn)，這是一個(gè)特殊的情形，也是學(xué)生發(fā)現(xiàn)結(jié)論與方法的源泉.

在解決問(wèn)題（2）的第①問(wèn)時(shí)，是否能自然去聯(lián)想問(wèn)題（1）的第②問(wèn)，去探索反映“非常距離”的一些特征是一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn).解決某個(gè)問(wèn)題有困難時(shí)，我們可以先考慮問(wèn)題的特殊情形，然后利用問(wèn)題的特殊情形所獲得的結(jié)論或解決方法來(lái)探索問(wèn)題的一般情形，最終使問(wèn)題得到解決，這種思想稱(chēng)為特殊化.命題者的目的是考查學(xué)生是否具有自覺(jué)運(yùn)用特殊化思想的意識(shí)；其二，能否利用數(shù)形結(jié)合思想，通過(guò)圖形直觀來(lái)驗(yàn)證猜想的正確性.

問(wèn)題（2）的第②問(wèn)，從點(diǎn)D是坐標(biāo)軸上的定點(diǎn)，變?yōu)辄c(diǎn)E是⊙O上的動(dòng)點(diǎn)，每一個(gè)點(diǎn)E都對(duì)應(yīng)一個(gè)“非常距離”的最小值，要求求出這些最小值中的最小值.最小值得是變化的.

整個(gè)過(guò)程需要自覺(jué)地進(jìn)行操作、觀察、猜想、驗(yàn)證，自覺(jué)地運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)以及數(shù)形結(jié)合、幾何直觀、特殊化、類(lèi)比、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，要解決這個(gè)問(wèn)題需要一定的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

本題綜合考查學(xué)生對(duì)“數(shù)學(xué)整體認(rèn)識(shí)及研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法”和“形成解決問(wèn)題的一些基本策略”的能力，試題滲透數(shù)形結(jié)合、特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，檢測(cè)學(xué)生簡(jiǎn)單歸納和抽象概括能力，由于特殊到一般的思想方法是檢驗(yàn)學(xué)生能否在具體問(wèn)題中善于發(fā)現(xiàn)規(guī)律的有效手段.歸納推理和類(lèi)比推理是合情推理的兩種常見(jiàn)的形式，既是思考方法，又是研究、概括、拓展知識(shí)的重要策略和途徑，因此，從中也能感知學(xué)生今后繼續(xù)學(xué)習(xí)的潛能.

三、教學(xué)嘗試

1．整體感知題意，梳理問(wèn)題結(jié)構(gòu)

首先要求學(xué)生仔細(xì)閱讀題目，在圖形上標(biāo)出條件，并標(biāo)出簡(jiǎn)單的結(jié)論.第一步，弄清楚什么是“非常距離”，并知道如何應(yīng)用定義.定義可以“雙向使用”，即可以根據(jù)“非常距離”求坐標(biāo)，也可根據(jù)坐標(biāo)求“非常距離”.第二步，認(rèn)真完成問(wèn)題（1）的第①問(wèn)，體會(huì)數(shù)形結(jié)合與圖形直觀對(duì)解決問(wèn)題的意義.第三步，認(rèn)真閱讀后面三問(wèn)，探尋它們之間的關(guān)系.

后面三問(wèn)涉及的都是“非常距離的最小值”，首先是x軸上的一個(gè)定點(diǎn)和y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，然后過(guò)渡到y(tǒng)軸上的一個(gè)定點(diǎn)和固定直線上的動(dòng)點(diǎn)，最后為兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且“非常距離的最小值”是固定的，而到“非常距離的最小值”是變化的，整體上顯示從特殊到一般、從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的演變過(guò)程.

2．根據(jù)問(wèn)題結(jié)構(gòu)，制定解題策略

先根據(jù)定義研究問(wèn)題（1）的第②問(wèn)這種特殊情形，總結(jié)結(jié)論（什么時(shí)候“非常距離最小”）和用什么方法（畫(huà)圖、觀察、類(lèi)比、猜想、驗(yàn)證），運(yùn)用獲得的結(jié)論與方法探究下面問(wèn)題.解決后面的問(wèn)題時(shí)要自覺(jué)與前面的特殊情形進(jìn)行類(lèi)比.

3．逐步分解目標(biāo)，有向多元表征

問(wèn)題（1）的第①問(wèn)，先要求畫(huà)出圖形，確定“非常距離”的位置（注意位置不唯一），根據(jù)定義結(jié)合圖形列出方程.

問(wèn)題（1）的第②問(wèn)，取不同位置的B點(diǎn)，觀察“非常距離”的變化情形，去發(fā)現(xiàn)“非常距離”最小時(shí)的位置和相關(guān)圖形的特征（OA=OB），根據(jù)圖形特征列方程進(jìn)行求解.

問(wèn)題（2）的第①問(wèn)，借鑒上面的方法，取不同位置的C點(diǎn)，進(jìn)一步通過(guò)觀察，驗(yàn)證上面的結(jié)論是否還正確.可先作圖，過(guò)C點(diǎn)向x、y軸作垂線，如果向下或向上（如圖4）移動(dòng)C點(diǎn)到達(dá)C1、C2點(diǎn)，其與點(diǎn)D的“非常距離”都會(huì)增大，故當(dāng)C、D為正方形（也可看Rt△CPD或Rt△CQD）相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)時(shí)有最小的非常距離，即進(jìn)一步驗(yàn)證當(dāng)CP和CQ長(zhǎng)度相等的時(shí)候“非常距離”最短.最后根據(jù)結(jié)論列出方程進(jìn)行求解.

圖4

圖5

問(wèn)題（2）的第②問(wèn)，因?yàn)辄c(diǎn)E運(yùn)動(dòng)，如圖5，首先畫(huà)出與點(diǎn)E在以原點(diǎn)O為圓心的圓上運(yùn)動(dòng)中相應(yīng)的“最短非常距離”有關(guān)的圖形（等腰直角三角形或正方形），探尋它們的變化情況.觀察圖形易得到隨著點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)，“最短非常距離”也是變化的.

第二步，探尋點(diǎn)E在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中不變的元素（角、線與線之間的關(guān)系等）有哪些？由問(wèn)題（2）的第①問(wèn)獲得的結(jié)論，可知“非常距離”最小時(shí)，EQ與x軸平行，△EQC是等腰直角三角形，其中CE為斜邊，∠CEQ=45°.

第三步，由于“最短非常距離”是變化的，一種方法是探尋運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的特殊位置獲得猜想；另一方法是將變化的元素進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即尋找與某些確定的元素之間的關(guān)系.

4.總結(jié)探究經(jīng)驗(yàn)，使思維得到升華

（1）總結(jié)用“從特殊到一般”的方法來(lái)解決問(wèn)題的“基本套路”.

本題似乎離不開(kāi)“猜”字，從特殊情形猜想結(jié)論，通過(guò)對(duì)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，各種情形中的圖形進(jìn)行觀察、對(duì)比、分析后進(jìn)行猜想等，靠“猜”來(lái)打開(kāi)思路.

①尋找特殊情形，盡量多地考慮符合條件的各種情形，本題的后面兩問(wèn)都是通過(guò)觀察運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過(guò)程，去尋找確定特殊情形.

②研究特殊情形，對(duì)特殊情形進(jìn)行深入研究，從中發(fā)現(xiàn)結(jié)論獲得猜想，同時(shí)獲得解決問(wèn)題的思路，如本題的思路就是結(jié)合圖形，充分觀察“非常距離”對(duì)應(yīng)的相關(guān)圖形，對(duì)它們的性質(zhì)進(jìn)行研究.

③類(lèi)比轉(zhuǎn)化，將一般情形與特殊情形進(jìn)行類(lèi)比，思考將一般情形轉(zhuǎn)化為特殊情形進(jìn)行求解.本題的最后一問(wèn)就是思考將點(diǎn)E固定后利用前面的結(jié)論進(jìn)行求解.

這是應(yīng)用“從特殊到一般”的“基本套路”，在本題中，既有整體上運(yùn)用，即幾個(gè)問(wèn)題之間的關(guān)系，也有在局部的運(yùn)用，即在解決最后一問(wèn)的過(guò)程中.

（2）總結(jié)一些常見(jiàn)解題策略.

①幾何直觀，對(duì)于運(yùn)動(dòng)型問(wèn)題或元素不確定型問(wèn)題，要想到通過(guò)動(dòng)手作圖，通過(guò)圖形進(jìn)行直觀感知.如本題中，是通過(guò)探究與非常距離有關(guān)的直角三角形或矩形的演變過(guò)程來(lái)獲得思路.

②類(lèi)比轉(zhuǎn)化，如本題中的后面的問(wèn)題向前面的問(wèn)題轉(zhuǎn)化，又如本題最后一問(wèn)，直接求“非常距離”有困難，就考慮與有關(guān)的線段的聯(lián)系，將其進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

四、教學(xué)啟示

命題者通過(guò)本題向我們提供了一種問(wèn)題情景的設(shè)計(jì)模式：依據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，從簡(jiǎn)單的、特殊的問(wèn)題入手，將問(wèn)題向一般進(jìn)行拓展、變式，引導(dǎo)學(xué)生先對(duì)簡(jiǎn)單的、特殊的問(wèn)題進(jìn)行分析獲得靈感來(lái)解決一般的、變化的、拓展的問(wèn)題.在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生充分體驗(yàn)“借助特殊解決一般”的思想，掌握運(yùn)用“特殊與一般”關(guān)系的思維策略，其中還涉及，如何把一般與特殊進(jìn)行類(lèi)比，如何將一般向特殊轉(zhuǎn)化，讓學(xué)生充分感受類(lèi)比、轉(zhuǎn)化、從特殊到一般等思想方法的應(yīng)用，獲得豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

本題不僅關(guān)注學(xué)習(xí)的結(jié)果，更關(guān)注學(xué)習(xí)的過(guò)程，讓學(xué)生處于熟悉而陌生的情景中，不能依靠簡(jiǎn)單的知識(shí)重現(xiàn)和現(xiàn)成的模式來(lái)解決問(wèn)題，需要從已知信息出發(fā)，把知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)、方法、思想結(jié)合起來(lái)分析探索，方能揭示隱含信息，從而找到解題思路.本題對(duì)教學(xué)起到了良好的導(dǎo)向作用，即數(shù)學(xué)教學(xué)要把知識(shí)技能、數(shù)學(xué)思考、問(wèn)題解決、情感態(tài)度四個(gè)方面有機(jī)結(jié)合，整體實(shí)現(xiàn)顯性和隱性目標(biāo).

那么考試究竟需要哪些經(jīng)驗(yàn)？回到課標(biāo)，如課標(biāo)中提到的10個(gè)核心概念，如何實(shí)施，我們基于最“上位”的“標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）”為我們的教學(xué)指明了方向，提出了中考數(shù)學(xué)試題共性的趨勢(shì)展望，所以研究“課標(biāo)”是我們獲得教學(xué)方法的“方法”.

1.章建躍.讓學(xué)生在幾何學(xué)習(xí)中學(xué)會(huì)認(rèn)識(shí)和解決問(wèn)題的方法［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬），2013（1-2）.

2.朱濤，等.一道新定義試題的解題分析［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬），2013（1-2）.