☉江蘇省南京市建鄴區(qū)南師附中新城初中 程銀生

2012年10月，筆者受學(xué)校委托，命制一份階段性測(cè)試卷.測(cè)試范圍為蘇科版八年級(jí)上冊(cè)第一章《軸對(duì)稱圖形》和第二章《勾股定理與平方根》.在進(jìn)行壓軸題命制時(shí)，筆者嘗試從教材上一道復(fù)習(xí)題出發(fā)，對(duì)題目進(jìn)行拓展改編.雖然這道復(fù)習(xí)題已經(jīng)講解過(guò)，但測(cè)試結(jié)果出乎意料.

復(fù)習(xí)題（蘇科版八年級(jí)上冊(cè)第一章復(fù)習(xí)題第16題）

（1）如圖1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D在BC上，且BA=BD，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，且CA=CE.求∠DAE的度數(shù).

圖1

（2）如果把（1）中“AB=AC”的條件舍去，其余條件不變，那么∠DAE的度數(shù)會(huì)改變嗎？

（3）如果把（1）中“∠BAC=90°”的條件改為“∠BAC>90°”，其余條件不變，那么∠DAE與∠BAC有怎樣的大小關(guān)系？

原題分析：這道復(fù)習(xí)題分三個(gè)層次，從特殊的等腰直角三角形出發(fā)，接著將一般三角形化為直角三角形，再將一般三角形化為等腰三角形.題目層次明顯，對(duì)學(xué)生的能力要求逐步提升，能進(jìn)行方法遷移，能進(jìn)行一般化研究.如果我們進(jìn)一步研究，還可以將一般三角形化為任意三角形，不妨定為第（4）問(wèn)：

（4）如果把（1）中“∠BAC=90°，AB=AC”的條件舍去，其余條件不變，那么∠DAE與∠BAC有怎樣的大小關(guān)系？

如果學(xué)生能對(duì)前面第（2）、（3）問(wèn)的方法進(jìn)行遷移，解決第（4）問(wèn)也并不困難.

復(fù)習(xí)題改編：

對(duì)原題進(jìn)一步分析，可以發(fā)現(xiàn)：點(diǎn)D、E在直線AB所確定的直線上，且點(diǎn)D在點(diǎn)B的右側(cè)；同時(shí)點(diǎn)E在點(diǎn)C的右側(cè).筆者對(duì)點(diǎn)的位置進(jìn)行了適當(dāng)改變，從而得到了階段性測(cè)試的壓軸題.具體如下：

△ABC的邊BC在直線l上，點(diǎn)D、E是直線l上兩點(diǎn)，且BA=BD，CA=CE.

（1）如圖2，若AB=AC，∠BAC=90°，求∠DAE的度數(shù)；

（2）如圖3，若∠BAC=90°，求∠DAE的度數(shù)；

（3）如圖4，設(shè)∠BAC=α，∠DAE=β，請(qǐng)直接寫出α與β的關(guān)系______________.

圖2

圖3

圖4

命題說(shuō)明：第（1）問(wèn)是一道基礎(chǔ)測(cè)試題，給定了等腰直角三角形，與原題的第（1）問(wèn)基本保持一致，但改變了點(diǎn)D的位置后，有利于考查學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能的掌握情況.第（2）問(wèn)給定了直角三角形，與原題的第（2）問(wèn)完全一致，兩點(diǎn)D、E均在點(diǎn)A、B的右則；第（3）問(wèn)給出的一般三角形，是對(duì)題目的一般性作推廣，又改變了點(diǎn)E的位置，題目的難度陡然增加，雖分值不大，但要想得到這兩分需要學(xué)生有很好的知識(shí)遷移能力.

本題整體設(shè)計(jì)思路：在三角形由特殊到一般的過(guò)程中，點(diǎn)的位置進(jìn)行了三種情況的分類.題目綜合性較強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的能力要求較高.

測(cè)試情況：

本人對(duì)所任教的兩個(gè)班共90名學(xué)生的測(cè)試情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，具體情況如下：

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試題講評(píng)：

結(jié)合同學(xué)們的解答情況，若只是對(duì)這一道題的三問(wèn)進(jìn)行講評(píng)，學(xué)生可能僅會(huì)了這一道題，而對(duì)其中三角形一般性的變化、點(diǎn)的位置變化的認(rèn)識(shí)不是很清楚.本題中△ABC有三種情況：等腰直角三角形、直角三角形、任意三角形.點(diǎn)的位置也有三種情況：左右（點(diǎn)D在點(diǎn)B的左側(cè)、點(diǎn)E在點(diǎn)C的右側(cè)）、右右（或左左）、右左.對(duì)這些情況進(jìn)行組合，可以發(fā)現(xiàn)一共有九種情況，教師不可能對(duì)九種情況進(jìn)行均衡講解.怎樣講評(píng)對(duì)學(xué)生能力的提升更有幫助，是講評(píng)前必須得認(rèn)真思考的一個(gè)問(wèn)題.

筆者覺得三角形形狀的改變并非是本題考查的重點(diǎn)，因點(diǎn)的位置的變化，而產(chǎn)生的兩角間度數(shù)關(guān)系的變化是本題考查的一個(gè)重要方面.在具體講評(píng)過(guò)程中，對(duì)分類的全面性的體會(huì)也是需要我們思考的又一重要方面.因此筆者先控制一個(gè)變量——三角形（直角三角形），再對(duì)直角三角形中的三種情況分別進(jìn)行研究.這樣的設(shè)計(jì)不失一般性，若能對(duì)其中三種方法進(jìn)行細(xì)化，學(xué)生對(duì)一般三角形的研究并不困難.具體講評(píng)時(shí)以下面三道題為主線展開.

圖5

圖6

圖7

△ABC的邊BC在直線l上，點(diǎn)D、E是直線l上兩點(diǎn)，且BA=BD，CA=CE，∠BAC=90°，請(qǐng)分別求出圖5、圖6、圖7中的∠DAE的度數(shù).

結(jié)合學(xué)生的解法，進(jìn)行適當(dāng)引導(dǎo)，在得到∠DAE的度數(shù)時(shí)，先盡量選擇未使用條件“∠BAC=90°”的解法，這樣對(duì)后面一般性的推廣有幫助.

通過(guò)上面的講解與探討，學(xué)生可以繼續(xù)研究一般三角形的三種情況，得到一般性的結(jié)論.

△ABC的邊BC在直線l上，點(diǎn)D、E是直線l上兩點(diǎn)，且BA=BD，CA=CE.設(shè)∠BAC=α，∠DAE=β.

類比研究：

當(dāng)?shù)贸鲆话阈缘慕Y(jié)論時(shí)，筆者留給學(xué)生自我思考與整理的時(shí)間約三分鐘，學(xué)生之間相互交流自己的理解角度與收獲時(shí)，有學(xué)生提出：這樣的結(jié)論我們好像在哪兒見過(guò)？有學(xué)生提出：第一個(gè)結(jié)論與“三角形兩內(nèi)角平分線的夾角等于90°加上第三個(gè)角的一半”的結(jié)論是一樣的，其他兩個(gè)結(jié)論……

學(xué)生出現(xiàn)的這些想法，是水到渠成的，同時(shí)也正是筆者的預(yù)設(shè).接著讓學(xué)生一起探索，研究這兩個(gè)“不相關(guān)”問(wèn)題間的聯(lián)系，與學(xué)生一起回憶“三角形內(nèi)角平分線的夾角”的問(wèn)題：

圖8

如果我們圖8與圖5合并到一起，可以得到圖9：

圖9

學(xué)生能模仿上面的方法，將這兩個(gè)結(jié)論與前面結(jié)論進(jìn)行融合，找到圖形間的相通點(diǎn).

通過(guò)對(duì)這道復(fù)習(xí)題的改編、測(cè)試、講評(píng)與類比，對(duì)分類討論進(jìn)行了很好的示范，學(xué)生對(duì)一般性結(jié)論的探尋之路有了自己的思考；對(duì)其中相似、相近知識(shí)之間的銜接點(diǎn)有了更清晰的認(rèn)識(shí)；更利于學(xué)生形成屬于自己的知識(shí)網(wǎng)絡(luò).當(dāng)然學(xué)生知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的正向遷移，基本思想的逐步形成是一個(gè)長(zhǎng)期過(guò)程，要在后期學(xué)習(xí)中不斷積累.在學(xué)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)、形成基本技能的同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生在“悟”中形成基本數(shù)學(xué)思想，在“做”中形成基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).