☉四川省南充高級中學(xué) 易志偉

☉四川省南充市嘉陵教研室 蒲大勇 張 明

2012年四川省南充市中考數(shù)學(xué)試卷共計22個小題，滿分100分，考試時間為90分鐘.其中，單項選擇題10個，填空題4個，解答題8個.6月14日至17日，筆者有幸參加了2012年中考數(shù)學(xué)閱卷工作，負(fù)責(zé)閱卷質(zhì)量檢查.利用這個機會，筆者對考生在解答題上的典型答題失誤進行了收集、摘錄、歸類分析，現(xiàn)整理出來并提出教學(xué)建議，供同行們參考.

一、問題解決不全面

問題解決不全面是指學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題時，不能全面地挖掘題中的信息，對主要條件或關(guān)鍵信息缺乏深入的理解，沒有發(fā)現(xiàn)或挖掘出題中所隱含的條件，導(dǎo)致出現(xiàn)解答不嚴(yán)密或不能做到底.主要表現(xiàn)在以下兩個方面.

1.以偏賅全

解題過程思維不嚴(yán)密，對數(shù)學(xué)問題思考不全面，遺漏特殊情況，致使解答不完整.

例1（第18題）關(guān)于x的一元二次方程x2+3x+m-1=0的兩個實數(shù)根分別為x1、x2.

（1）求m的取值范圍；

（2）若2（x1+x2）+x1x2+10=0，求m的值.

錯因分析：以偏賅全，沒有全面把握一元二次方程有“兩個實數(shù)根”的含義，只考慮到了“兩個根不相等，即△＞0”，忽略了“兩個根相等，即△=0”的情形，導(dǎo)致解答結(jié)果不全面.

2.忽視隱含條件

解題時只注意“明擺著”的條件，而忽略“隱含著”的條件，或只注重單個條件，而忽視了各個條件的相互關(guān)系，導(dǎo)致解題失誤或不能解出題目.

例2（第20題）學(xué)校6名教師和234名學(xué)生集體外出活動，準(zhǔn)備租用45座大車或30座小車.已知租用1輛大車和2輛小車共需租車費1000元，租用2輛大車和1輛小車共需租車費1100元.

（1）求大、小車每輛的租車費各是多少元.

（2）若每輛車上至少要有一名教師，且總租車費用不超過2300元，求最省錢的租車方案.

錯解：（2）設(shè)大車租a輛，小車租b輛，依題意可得：

錯因分析：忽視隱含條件，沒能從“240名師生都有座位”和“每輛車上至少要有一名教師”兩個條件的相互關(guān)系中挖掘出租車總數(shù)為6輛，而只依據(jù)“明擺著”的條件列出了一個“二元一次不等式組”，超出了解題能力范圍.

對策建議：問題解決不全面，大多是由于學(xué)生審題馬虎和忽視隱含條件造成的.學(xué)生審題馬虎既有審題習(xí)慣的原因，也有心理方面的原因.防止這類失誤的對策是：首先，要培養(yǎng)學(xué)生良好的審題習(xí)慣，如解題前做到“一題讀三遍”，第一遍看條件與問題，第二遍分析條件與問題的關(guān)系，第三遍理清各種量的意義和關(guān)系；其次，要消除緊張的心理，平時要求學(xué)生養(yǎng)成沉著、冷靜、耐心的讀題習(xí)慣，時常提醒自己：別緊張，要看準(zhǔn)題，不失誤.忽視隱含條件多是因為思考不深入、經(jīng)驗不足、思維定勢的負(fù)面效應(yīng)或?qū)Ω拍?、定理、公式、法則理解不透徹造成的.防止發(fā)生這種失誤的對策是：加強對概念、定理、公式和法則的深入理解，注意關(guān)鍵詞語的深層含義，關(guān)注數(shù)量關(guān)系、數(shù)學(xué)式子的結(jié)構(gòu)特征、圖形的位置特征、實際問題的意義所隱含的條件，積極培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性和嚴(yán)謹(jǐn)性，加強解題后的反思，積累相關(guān)經(jīng)驗等.

二、數(shù)學(xué)知識應(yīng)用失誤

數(shù)學(xué)知識應(yīng)用失誤是指學(xué)生對概念的本質(zhì)屬性理解不透徹，公式、法則記憶模糊，對定理、性質(zhì)的理解似是而非，解題時錯誤地將概念、公式、法則、定理、性質(zhì)等進行應(yīng)用，導(dǎo)致出現(xiàn)解題結(jié)果錯誤.具體表現(xiàn)在以下三個方面.

1.概念理解不透徹

對概念理解片面、不全面，只能單向理解，不熟悉對其逆向理解和變式理解.

例3 （第16題）在一個口袋中有4個完全相同的小球，把它們分別標(biāo)號為1、2、3、4，隨機地摸取一個小球然后放回，再隨機地摸出一個小球.求下列事件的概率：

（1）兩次取的小球的標(biāo)號相同；

（2）兩次取的小球的標(biāo)號的和等于4.

錯解：畫出樹形圖：

由圖可知共有20種等可能結(jié)果，其中兩次取的小球的標(biāo)號相同有4種（記為A），標(biāo)號的和等于4的有3種（記為B）.

錯因分析：對概念理解不透徹，把求等可能性事件概率公式中分?jǐn)?shù)的分母理解成了“兩次摸球的結(jié)果總數(shù)之和”.

2.公式、法則記憶模糊

不注意公式、法則成立的條件是否具備，直接應(yīng)用公式、法則解題，或?qū)?、法則記憶錯誤、不全面，漏掉其中一部分，或不同公式之間相互混淆，張冠李戴.

例4（第18題）同例1.

錯因分析：公式記憶模糊，把一元二次方程中根與系數(shù)的關(guān)系弄錯.

3.對定理、性質(zhì)的理解似是而非

不能全面把握定理、性質(zhì)成立的條件，導(dǎo)致定理、性質(zhì)的條件不充分卻得到定理、性質(zhì)中的結(jié)論，或不理解定理、性質(zhì)的本質(zhì)，錯誤應(yīng)用定理、性質(zhì).

例5 （第17題）如圖1，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，點E是AD的

延長線上一點，且CE=CD.求證：∠B=∠E.

錯證：由AD∥BC，得AE∥BC，則四邊形ABCE是平行四邊形，故∠E=∠B.

圖1

錯因分析：定理應(yīng)用錯誤，已知一組對邊平行，并不能判定該四邊形是平行四邊形，條件不充分.

例6 （第19題）如圖2，矩形ABCD中，AB=2AD，E為AD的中點，EF⊥EC交AB于點F，連接FC.

圖2

（1）求證：△AEF∽△DCE；

（2）求tan∠ECF的值.

錯解：（2）設(shè)DE=a，則DC=4a.

錯因分析：性質(zhì)應(yīng)用錯誤，在利用相似三角形的性質(zhì)列比例式時沒有把對應(yīng)邊寫在對應(yīng)位置上，從而導(dǎo)致式子錯誤.

對策建議：對數(shù)學(xué)知識應(yīng)用失誤的原因大都是學(xué)生對概念、公式、法則、定理、性質(zhì)的理解片面，“知其然，不知其所以然”，沒有掌握概念的本質(zhì)屬性，缺乏對公式、法則、定理、性質(zhì)的深入理解.防止這類失誤的對策是：首先，要重視數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，教師要關(guān)注概念的實際背景與形成過程，讓學(xué)生在主動探究、“做數(shù)學(xué)”等數(shù)學(xué)活動中理解、掌握概念的本質(zhì)屬性，注重在新的情境中運用變式，加深學(xué)生對概念的理解；其次，要重視對定理、法則、性質(zhì)等的理解，教學(xué)中讓學(xué)生弄清定理、性質(zhì)中的關(guān)鍵詞，理解定理、性質(zhì)的本質(zhì)，從正反兩個方面對定理、性質(zhì)進行理解并且加以應(yīng)用，用多種語言（文字、符號、圖形語言）表述定理；第三，要注重建構(gòu)數(shù)學(xué)知識框架圖，教會學(xué)生建立“數(shù)學(xué)知識樹”，明晰知識脈絡(luò)，區(qū)分不同概念、定理、性質(zhì)、法則、公式的異同點，使學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)知識的意義，克服機械記憶的學(xué)習(xí)方式.

三、運算能力差

運算能力差主要是指學(xué)生的運算基本技能不過關(guān)，存在運算速度慢、準(zhǔn)確性差等問題，計算時經(jīng)常把數(shù)字、運算符號、性質(zhì)符號抄錯或遺漏，運算過程缺乏條理性、合理性、靈活性.具體表現(xiàn)在以下三個方面.

1.盲目計算

不重視運算技巧，不能根據(jù)式子的特點靈活選擇計算方法，或錯誤地使用運算法則和運算定律，或在進行化簡和運算過程中沒有進行等價變形.

錯因分析：盲目計算，錯解1、2、3中盲目通分，同時錯解1混淆平方差與完全平方公式，錯解2中確定的公分母太復(fù)雜；錯解4中分母分解因式出錯.

2.機械套用

用某種固定的解題思維模式多次解決同類問題而形成思維定勢后，當(dāng)遇到類似的新問題時（一般條件發(fā)生了變化），機械套用以前的解題思維模式，導(dǎo)致解題失誤.

例8 （第20題）同例2.

錯解：（2）設(shè)大車租a輛，小車租（6-a）輛，總費用為w元.

則w=400a+（6-a）×300=100a+1800.

根據(jù)題意，100a+1800≤2300，則a≤5.

k=100＞0，w隨a的增大而增大.

則a取1時，w最少.故租大車1輛，小車5輛，費用最少，最少為1900元.

錯因分析：機械套用，受思維定勢的影響，學(xué)生用“車輛數(shù)和總費用”兩個變量列出一次函數(shù)，應(yīng)用一次函數(shù)的增減性進行解答，忽略了“車輛數(shù)與人數(shù)”的關(guān)系，致使解答的結(jié)果錯誤.

3.計算技能缺失

計算過程中不能靈活地選擇公式及數(shù)學(xué)方法，或不能做到多種算法綜合運用，或輔助計算的參數(shù)使用不合理等.

例9 （第19題）同例6.

設(shè)AE為2x，則ED=2x，DC=8x.

由（1）得△AEF∽△DCE.

錯因分析：計算技能缺失，輔助計算的參數(shù)“AE為2x”偏大，增大了計算難度.

對策建議：運算能力差的原因，從知識層面上來說，與對法則、運算律、算理等基礎(chǔ)知識的理解、掌握和運用有關(guān)；從技能層面上來說，與對運算技巧的掌握和熟練程度有關(guān)；從邏輯思維層面上來說，與學(xué)生的邏輯推理能力有關(guān).提高學(xué)生運算能力的對策是：要過好“三關(guān)”.第一，算理關(guān).要加強數(shù)學(xué)法則、運算律、算理等基礎(chǔ)知識的教學(xué)，讓學(xué)生正確理解法則，熟記某些重要運算律、算理；要對數(shù)學(xué)法則、運算律和算理等加強綜合練習(xí).第二，算法關(guān).要求學(xué)生認(rèn)真審題，細(xì)心求解，看清題目中的每一個數(shù)據(jù)和運算符號，確定運算順序，選擇合理的運算方法；根據(jù)式子的特征優(yōu)化運算過程和運算方法，提高運算的合理性.第三，邏輯關(guān).加強運算的邏輯推理訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生靈活運用條件，提高運算的簡捷性，如靈活運用概念、公式，靈活選擇運算途徑等；平時練習(xí)時要做到步步有根據(jù)、有充足的理由，注意運算的順序性.

四、邏輯推理不嚴(yán)密

邏輯推理不嚴(yán)密是指學(xué)生不能合乎邏輯地進行分析、綜合、抽象、概括和推理論證，致使答題的過程思路不清晰、因果不分明、推理不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?具體表現(xiàn)在以下三個方面.

1.違反邏輯規(guī)律

在解題過程中違反邏輯思維規(guī)律，常表現(xiàn)為偷換概念、偷換論題、自相矛盾、分類不當(dāng)?shù)?

例10 （第17題）同例5.

錯證：由四邊形ABCD是等腰梯形，得AB=CD，AD∥BC.

又CE=CD，則AB=CE.則四邊形ABCE是平行四邊形.故∠B=∠E.

錯因分析：違反邏輯規(guī)律，推理中“偷換論題”，用到了“一組對邊平行，一組對邊相等的四邊形是平行四邊形”這個假命題.

2.推理不嚴(yán)謹(jǐn)

憑借已有的經(jīng)驗和直覺，“想當(dāng)然”地推斷某些結(jié)果，缺乏應(yīng)用已有的事實（包括定義、公理、定理等）和確定的規(guī)則，按照邏輯推理的法則進行證明或計算的過程.

例11 （第21題）如圖3，在Rt△POQ中，OP=OQ=4，M是PQ的中點，把一三角尺的直角頂點放在點M處，以M為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)三角尺，三角尺的兩直角邊與△POQ的兩直角邊分別交于點A、B.

（1）求證：MA=MB.

（2）連接AB，探究：在旋轉(zhuǎn)三角尺的過程中，△AOB的周長是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由.

圖3

圖4

錯解：（2）如圖4，連接MO，過M作MC⊥PO，MD⊥QO，垂足分別為C、D.易證△MOA≌△MQB，則AO=BQ.AO+BO=OB+BQ=OQ=4.

若使△AOB的周長最小，則使A點在C點處，B點在D點處.

錯因分析：推理不嚴(yán)謹(jǐn)，在說明△AOB的周長最小這個關(guān)鍵點時用合情推理代替了邏輯推理，沒有推理過程，結(jié)論缺乏根據(jù)，沒有說服力，失去了得分點.

3.過程紊亂

解題的書寫過程紊亂，缺乏嚴(yán)密的邏輯關(guān)系和條理性.

例12（第17題）同例5.

錯解：如圖5，過點A作AF∥DC交BC于F.

由四邊形ABCD是等腰梯形，得AB=DC.

圖5

又AF=DC，則AB=AF.

由AD∥BC，AF∥DC，得∠BFA=∠FCD=∠CDE=∠B.

由CE=CD，得∠CDE=∠E.則∠B=∠E.

錯因分析：過程紊亂，整個過程條理性不強，雜亂.

對策建議：邏輯推理不嚴(yán)密說到底就是學(xué)生邏輯思維能力差，產(chǎn)生這種現(xiàn)象的原因與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、個體素質(zhì)、思維能力都有關(guān)系.邏輯思維能力差的學(xué)生可以通過學(xué)習(xí)和訓(xùn)練，逐步提高.培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力要堅持由短到長，由簡單到復(fù)雜，由易到難.如開始先學(xué)會寫一個邏輯段“因為……，所以……”，然后再學(xué)習(xí)寫兩個邏輯段“因為……，所以……，所以……”，逐步增加邏輯段的長度和難度.波利亞說過：“沒有任何一道數(shù)學(xué)題是可以解決得十全十美的，總剩下些工作要做，經(jīng)過充分的探討與鉆研，我們能夠改進這個解答.”因此在表達邏輯推理過程時，要堅持“沒有最好，只有更好”，不斷地反思、推敲、修改已給出的解法過程，從而優(yōu)化解題的邏輯過程，只要堅持做下去，必定能使思維得到錘煉，數(shù)學(xué)邏輯推理能力得到提高.

五、數(shù)學(xué)思想方法薄弱

數(shù)學(xué)思想方法薄弱是指學(xué)生綜合運用數(shù)學(xué)抽象的思想、數(shù)學(xué)推理的思想、數(shù)學(xué)模型的思想、數(shù)學(xué)審美的思想的能力較弱，具體到數(shù)學(xué)方法就是不能綜合運用比較法、分析法、綜合法、數(shù)學(xué)歸納法等方法，辨明數(shù)學(xué)關(guān)系，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，找到解題策略.

（1）求拋物線的函數(shù)解析式.

（2）直線m與⊙C相切于點A，交y軸于點D.動點P在線段OB上，從點O出發(fā)向點B運動；同時動點Q在線段DA上，從點D出發(fā)向點A運動；點P的速度為每秒1個單位長，點Q的速度為每秒2個單位長，當(dāng)PQ⊥AD時，求運動時間t的值.

（3）點R在拋物線位于x軸下方部分的圖像上，當(dāng)△ROB的面積最大時，求點R的坐標(biāo).

圖6

圖7

錯解1：（2）如圖7，連接AC交OB于E，則AC⊥OB，AC⊥AD.

t秒時，OP=t，DQ=2t.若PQ⊥AD，則四邊形PQAE是矩形.

則PE=QA.OE-t=AD-2t.

由于無法找到OE與AD的等量關(guān)系，解題終止.

（3）如圖8，作BM⊥x軸于M，BR與x軸交于K.

試圖通過求得點K的坐標(biāo)表達式，將△ROB分成△ROK與△BOK兩部分，由于沒有找到等量關(guān)系求出點B的坐標(biāo)，即求出n的值，從而使解題終止.

錯解2：（3）如圖9，當(dāng)R是拋物線的頂點時，△ROB的面積最大.

試圖通過O、R、B、K的坐標(biāo)解決問題，并簡單認(rèn)為頂點處取最大值.加上沒辦法找到n的值，從而使解題終止.

圖8

圖9

錯因分析：數(shù)學(xué)思想方法薄弱，不能針對已知條件和需要求的問題，通過猜想、推理、論證等探究過程，綜合運用類比與歸納、分析與綜合等數(shù)學(xué)思想方法找到不同量之間的內(nèi)在聯(lián)系，尋求數(shù)量之間的制約關(guān)系，建立等量關(guān)系，導(dǎo)致無法解出題目.

對策建議：“數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂和精髓，是數(shù)學(xué)方法論，是聯(lián)系各種數(shù)學(xué)知識的紐帶，它在數(shù)學(xué)中占有非常重要的地位，不同的數(shù)學(xué)思想方法又有不同的作用.”強化數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)是提高學(xué)生學(xué)習(xí)潛能的有效途徑.首先，教師應(yīng)以一定的數(shù)學(xué)知識為載體，有意識地梳理和歸納數(shù)學(xué)問題中的思想和規(guī)律，滲透和揭示其中的數(shù)學(xué)思想方法，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，主動引導(dǎo)學(xué)生感悟、理解、掌握數(shù)學(xué)思想方法；其次，要抓住數(shù)學(xué)的“靈魂”，發(fā)揮“數(shù)學(xué)方法論”的導(dǎo)向作用，通過對典型例題的分析，教會學(xué)生如何思考，使學(xué)生經(jīng)歷觀察、實踐、猜想、推理、論證的探究過程，體會數(shù)學(xué)思想方法在解決數(shù)學(xué)問題中的重要作用.讓學(xué)生學(xué)會在數(shù)學(xué)思想方法的指導(dǎo)下去探索數(shù)學(xué)題的解法，使數(shù)學(xué)思想方法成為學(xué)生解題道路上的指明燈，能經(jīng)常指導(dǎo)學(xué)生解題，使解題學(xué)習(xí)有事半功倍之功效.

六、解題策略不當(dāng)

解題策略不當(dāng)是指一種策略給解題產(chǎn)生錯誤導(dǎo)向，使問題得不到解決，或增加了解題過程的難度和復(fù)雜性.具體表現(xiàn)在以下兩個方面.

1.解題思維僵化

不能根據(jù)數(shù)學(xué)式子的結(jié)構(gòu)特征，多角度思考解題思路，靈活選擇解題方法，而是只習(xí)慣于一種解法，從而人為增加了解題難度.

例14（第15題）同例7.

錯因分析：解題思維僵化，采取“分解分母——通分”的解題策略，增大了計算難度，導(dǎo)致結(jié)果錯誤.

2.解題方式復(fù)雜

計算過程中該用公式的不用，或該應(yīng)用運算定律、法則時沒有用，或該用簡便運算的沒有用，導(dǎo)致解題過程復(fù)雜，結(jié)果出錯.

例15 （第18題）同例1.

又2（x1+x2）+x1x2+10=0，則m=3.

錯因分析：解題方式復(fù)雜，沒有直接用“一元二次方程中根與系數(shù)的關(guān)系”進行計算，而是先用求根公式算出每個根（每個根又是無理式），再計算.

對策建議：解題策略不當(dāng)與學(xué)生的解題技巧掌握多寡有關(guān)，與學(xué)生解題思維的敏捷性、靈活性有關(guān).防止這類失誤的對策是：首先，加強解題技能的培養(yǎng)，教師要通過教材中的例題、練習(xí)題和習(xí)題等讓學(xué)生“一題多解”、“一題多證”，不斷優(yōu)化解題策略，培養(yǎng)學(xué)生嫻熟的解題技能；其次，要加強解題思維培養(yǎng)，解題教學(xué)過程中教師要善于啟導(dǎo)，啟發(fā)學(xué)生在思維過程中自己體驗，讓學(xué)生動腦、動手、動口，訓(xùn)練學(xué)生會思考，讓學(xué)生親自領(lǐng)略數(shù)學(xué)思想方法的功能作用，并在思維訓(xùn)練過程中不斷加以總結(jié)、提高、完善、充實；第三，幫助學(xué)生建立解題“方法庫”，如每次解題后，要求學(xué)生歸納所用知識、重要知識的用法、解類似題的方法和技巧，并查錯補遺，尋求最佳方案等，通過過程挖掘，提煉解題指導(dǎo)思想，歸納總結(jié)解題方法，上升到思想方法的高度，抓住實質(zhì)，揭示規(guī)律，在學(xué)生的頭腦中逐步建立起解題策略“方法庫”.

總之，欲提高學(xué)生中考數(shù)學(xué)解答題的解答能力，不僅要關(guān)注學(xué)生對基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想和基本活動經(jīng)驗的掌握，還要培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力，在這個過程中培養(yǎng)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)、做數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的意識.同時需要教師有“鉆研數(shù)學(xué)”的意識，善于把學(xué)生的“錯題資源”變?yōu)橛行У摹敖虒W(xué)資源”，讓學(xué)生在不斷的識錯、改錯中提升數(shù)學(xué)思維品質(zhì).