☉江蘇省連云港市教育科學研究所 孫朝仁（特級教師）

☉江蘇省連云港市幸福路中學 朱桂鳳

源于此，筆者試圖借助數學實驗的手段，秉承理解教材、理解教法、理解學生的教學指向和后現代教學觀，讓原本難上近于擱淺的內容回歸教學常態(tài)，給疏于思考或為設計課堂發(fā)愁的教師提供一個可操作的實驗范式.

本文提供的設計是筆者在踐行課堂基礎上的一次再設計，并由此引發(fā)思考.

一、數學實驗課的設計示例

實驗目的：

（1）通過動手操作，探索二次函數的圖像與一元二次方程近似根的關系；

（2）借助畫圖、列表、計算、分析數據等操作過程，感受無限逼近的數學思想和方法.

實驗準備：

幾何畫板5.0，計算器.

實驗步驟：

活動一：借助函數y=2x2-1的圖像（隱去坐標軸上的坐標），試寫出方程2x2-1=0的近似根（精確到0.1），并說明理由.

完成表1：

表1

由表1可知方程的一個近似根x的大致范圍是：_______.

完成表2：

表2

由表2可知方程這個近似根x的精確范圍是：_______；近似根是：_______.寫出方程的另一個近似根：_______，理由是：_______.

設計意圖：由幾何畫板展示函數圖像能節(jié)約時間，也能直觀感受圖像的生成過程，因此沒讓學生親自動手畫圖.活動的前半段，通過對第1個表格的操作和數據分析，能讓學生找到近似根的粗略范圍（0.7＜x＜0.8）；通過第2個表格的細化運作，能讓學生獲得近似根的精確范圍（0.70＜x＜0.71），進而獲取實驗結果（x≈0.7）.活動的后半段，讓學生在范例的基礎上，借助累積的實驗經驗，能讓操作的無序性漸次走向有序，切實體驗“縮小范圍，逐次逼近”的思想方法，達成領悟“逼近”思想的實驗初衷.

活動二：根據函數y=x2+2x-5的圖像（隱去坐標軸上的坐標），求出方程x2+2x-5=0的一個近似根（精確到0.1）.

（1）觀察圖像并借助計算器，完成表3：

表3

（2）你認為自變量的端點值是怎么來的？結論：_______.

設計意圖：借助幾何畫板畫出函數圖像，讓學生切身感受圖像上函數值為0的點的位置特征以及附近的點的函數值的特征，為近似根的生長提供一種直觀的幫助；借助計算器完成表格、分析數據以及將函數值與0作比較，讓學生在觀察和運算中感受“逼近”思想，體驗利用逐次取中點的方法縮小探索范圍（即二分法），逐漸逼近使函數值為0的自變量x的值，讓原本抽象的逼近思想和方法具體化、可視化；結論的歸結是將感性知識及時上升到理性層面的有效策略，為后續(xù)學力的發(fā)展提供思維鋪墊，能讓新知與思想方法共生共長.

活動三：你能用同樣方法確定方程x2+2x-5=0的另一個根嗎？

（1）完成表4：

表4

（2）實驗結論及分析：________________________

設計意圖：這個活動設置的目的是讓學生體驗另一種常見的逼近方法（從一個方向逐漸逼近函數值為0的方法），那就是當函數值發(fā)生變化時，即可得到使函數值為0的自變量x的近似值；表格的創(chuàng)設具有開放性的特征，拓展了學生思考的長度、寬度以及厚度，能讓操作指向在鋪陳經驗的幫助下漸次清晰透明，讓原本來去無蹤的無限逼近和區(qū)間套的數學思想和方法可摸可感、生動、形象、具體；實驗結論的分析與提煉能讓新知生成擲地有聲，充滿地氣，能提高新舊知識契合的效度.

活動四：寫出一個兩根均為無理數的一元二次方程，借助函數圖像探索該方程的近似解.完成表5：

表5

設計意圖：這個活動設計的目的是讓學生在開放的環(huán)境下考量自己的綜合應答能力.兩根均為無理數的方程的確定需要根的判別式知識以及解方程的逆向思維能力；對應函數解析式的確認需要轉化能力的參與；自變量與函數值的確定需要實驗經驗的奠基以及運算的幫助；實驗結論的歸納（一例一悟式），借助估算的幫助，能讓新知敞亮通透，屏蔽雜蕪.同時活動的開放度較高，能讓學生在自己理解的知識層面內選擇自己喜歡的操作載體，既吻合個體興趣指向，又體現了“不同的人在數學上能獲得不同的發(fā)展”的課標理念.

完成實驗評價表（表6）：

表6

設計意圖：實驗評價表的填寫，一方面可以有效盤點新知，另一方面可以延伸思考，讓新知由感性思維層面上升到理性高度，鏈接思考可深化到知性思維境界，從而讓知識無縫地納入到已有的知識體系，實現知識生成的正態(tài)分布.在踐行課標評價（目標多元化）理念的同時，也能讓疏于思考的學生自然而然養(yǎng)成思考的習慣，洗練數學人原本應有的個性理解思維.

二、數學實驗課的理性思考

1.理解教材：數學實驗的出發(fā)點

眾所周知，“用教材教”和“教教材”是教育教學境界的一個分水嶺.前者是在教材的指向下延展思考時空，給學生無限發(fā)展的契機；后者則是照單全收，甚至壓縮學力空間，綁架了學生的思維張力，限制了學生的原生態(tài)發(fā)展.因此，理解教材的指向顯得位高權重.

在借助“二次函數的圖像探究一元二次方程近似根”的實驗時，淺層理解教材的指向就是能求出一元二次方程的近似根即可，因而出現了見“數”不見“形”，顯“果”不顯“因”的教學現象，學生在此理解指向下沒有得到原本應有的發(fā)展，依然在知識能力的起點徘徊；深層理解教材的指向是讓學生在數形結合思想的統領下，在估算能力的參與下，在“縮小范圍，逐次逼近”方法的幫助下，借助數學實驗的手段，讓學生的思維隨著活動內容的梯度上升呈螺旋狀著陸（借助函數圖像和計算器探索方程2x2-1=0、x2+2x-5=0、自己寫出的兩根均為無理數的方程的近似根），親歷一元二次方程近似根的發(fā)生、發(fā)展和生長的緩慢過程，借助觀察圖像上函數值為0的點的位置特征（恰在x軸上）和觀照函數值y=0時附近的點的函數值的特征（一側函數值大于0，另一側的函數值小于0），感受、體驗內隱的“逼近”思想，獲取問題解決的思想方法，獲得生長內力的抽象的“道”，這才是設置本節(jié)實驗內容的真正指向.否則，我們完全可以借助計算器直接寫出一元二次方程的近似根，顯得簡單、明了和直白，哪用如此周折？因此，“教教材”往往是對教材指向的一種誤解或理解指向上產生了偏差；而“用教材教”是對教材指向的本質理解，理解了編者的設計意圖，理解了知識承載的數學思想方法，理解了知識方法傳承的匹配手段（數學實驗），理解了內容承擔的教育功能（無限逼近的數學思想和方法）.因此，理解教材指向是數學實驗的出發(fā)點.

2.理解教法：數學實驗的關照點

俗話說：“教無定法，貴在得法.”無定法的前提一定是有法，當“法”演變成一種問題解決的習慣時也就自然達到“無法”的境界.同樣的一節(jié)內容，由于教育者的教學眼光和教學習慣不同，教學方法相差甚遠也在情理之中，盡管每個教師都在努力的朝向教學目標，竭力靠近教法指向，盡力展示自己的個性化教學風格，強力“推銷”自己的個性理解指向，結果還是不盡如人意.執(zhí)教者的人文背景不同，對教法指向的理解是大相徑庭的，教學的實際效果往往是層次不一的，甚至是千差萬別的.因此，正確理解教法的指向顯得尤為必要和重要.

在理解“二次函數的圖像與一元二次方程的近似根”的教法指向時，經驗型教師往往因為其中考觸及度不高，干脆放手，把寶貴的時間用在刀刃上（盤點中考熱點），追求“取現”的價值.至于學力的長遠發(fā)展是眼前看不到、求不得的虛空，抓住中考成績才是實實在在的現實目標.因為，中考的好成績、高分數是學生生命燦爛的命脈、家長的顏面、學校的榮譽、教師的成就！年輕教師因閱歷膚淺，不能深諳考試導向，只好眉毛胡子一把抓.礙于內容晦澀、怪異十足，不好講，只好走走過場，沿襲傳統課堂的說教（讀讀文本、算算數據、“派送”理由），導致知識的生成呈“夾生”狀態(tài)，盡管無實質性的課堂生成，至少圖個心安理得（上過了、講過了、學過了）.站在課改波峰浪尖上的智慧型教師，卻能從看似“千人一面”的指向中讀出自己的理解.研習課標的導向、編者的意圖、學法的個性、知識生長的天然屬性等教育教學元素，關注和關照教法的融合度和適切度，借助數學實驗聚焦所有的教學元素，放在課標的操作平臺上打磨教法支架，分析整合知識生成的通道，優(yōu)化建構知識生長的方略，積極回應教法的呼喚：教材呈現這部分內容的目的是什么？采用怎樣的教學手段才會讓學生學得更好？學習這樣的內容學生需要提供什么樣的幫助？如何設計才能讓學生獲得發(fā)展的原動力？怎樣才能提升學生參與的指數？怎樣才能讓學生的學力伴知識齊飛？……基于學法，筆者從特殊到一般、從封閉到開放、從簡單到復雜的線路圖設計這節(jié)數學實驗，讓學生的認知能力拾級而上，在過程體驗中理解逼近思想和方法.因此，理解教法是數學實驗的關照點.

3.理解學生：數學實驗的落腳點

每個學生的知識背景相差甚遠，思維習慣和數學現實存在差異，因此，數學實驗的落腳點應該是理解學生、了解學情.因“學情”設計、因“學生”施教是尊重學生、尊重知識的正向教學觀，脫離學生、偏離“主體”、見“題”不見“人”的追風實驗是盲目求高的表現，是不可原諒的.數學實驗的目標不可以整齊劃一、一刀裁剪，否則會造成學有余力的學生“吃不飽”，學有所缺的學生“吃不了”.必須依據“學情現實”梯度設置活動內容，讓每個學生在原有的基礎上都能得到最大限度的成長和發(fā)展，讓所有的孩子都能在實驗的過程中“吃飽喝足”.因此，數學實驗的落腳點首先是指向理解學生的層面.

在設計“探索二次函數圖像與一元二次方程的近似根”前，筆者依據平時的教學實情將學生分成四個層次．根據學生的認知規(guī)律和年齡特點，設置各個層次的學生都有學力夠得著的問題，都能有事可做、有話可說、有理可講、有題可思；均能在一定層面上獲得一種成就感，既提高了參與的指數，又激發(fā)了實驗的熱情；讓每個學生都感覺到“我能行”、“我也能學會”，為課堂的實效生成提供不可或缺的精神幫助，為知識能力的正態(tài)發(fā)展提供一種積極的思想鋪墊．活動一的前半段就是為學困生們設計的，讓他們也能嘗到成功的快樂；活動一的后半段是為中等成績的學生準備的，讓他們在范例的引領下和計算器的幫助下，獲得傳統課堂無法理解的“逼迫法”；活動二和活動三是面向班級大部分學生設計的，依據他們的思維水準和判斷能力，能夠借助范例指向完成實驗的目標及結論的歸結；活動四是供學有余力的學生延展思考時空、衍生學力的載體，能讓他們在實驗的過程中不自覺的拉長知識鏈，拓寬思想方法鏈，進而形成終身發(fā)展的內力．因此，理解學生是數學實驗的落腳點和歸宿．

數學實驗課是傳統課堂的一種補位．能讓難以理解的知識漸次生長，讓內隱的思想方法逐步顯化，讓抽象的知識具體化、可視化，能展平折疊的思維（“夾生”知識的堆積），能實現知識能力的正向發(fā)展．值得注意的是，數學實驗也要適度選擇，科學設計，這里的設計必須以理解教材、理解教法、理解學生為指向，借此釋放數學實驗教學的正能量.

1.中華人民共和國教育部制定．義務教育數學課程標準（2011年版）［M］．北京：北京師范大學出版社，2012.

2.朱桂鳳．“一語天然萬古新，豪華落盡見真淳”的教學境界［J］．中學數學教學參考（中旬），2013（1-2）.

3.孫朝仁．動手“做”數學是積累基本活動經驗的有效方式［J］．中學數學教學參考（中旬），2013（1-2）.

4.朱桂鳳．數學實驗課教學中的“慢”“重”“輕”［J］．中學數學教學參考（中旬），2012（1-2）.