王 琦 饒碧波 王源博 李 應

南昌航空大學，南昌，330063

0 引言

桁架（多桿）結構被廣泛用于飛機、汽車等結構設計中。特別是在飛機結構設計中，除滿足強度、剛度和可靠性要求外，還力求結構質(zhì)量最?。?］。拓撲優(yōu)化是結構設計的一種常用方法。對于1975年美國密西根大學Holland教授提出的遺傳算法（genetic algorithm，GA）［2］，多數(shù)研究者將工作重點置于改進簡單遺傳算法或?qū)⑵渑c其他算法混合后運用到實際工程優(yōu)化問題中去。如，浙江工業(yè)大學的范佳靜等［3］將改進遺傳算法用于制造單元模型的優(yōu)化求解；合肥工業(yè)大學的許聞清等［4］運用改進的遺傳模擬退火算法求解動力總成懸置系統(tǒng)的優(yōu)化設計；許素強等［5］在國內(nèi)首次運用遺傳算法解決桁架結構的拓撲優(yōu)化；唐文艷等［6］和黃冀卓等［7］分別在ε－松弛技術和結構有限元分析的基礎上，引入新型拓撲變量，改造拓撲模型，運用改進遺傳算法進行桁架拓撲優(yōu)化，大大提高了優(yōu)化精度。張喜清等［8］采用有限元分析方法對變速箱箱體減重問題進行了拓撲優(yōu)化；趙龍彪等［9］將基于比例微分控制思想的優(yōu)化準則運用到拓撲優(yōu)化中，取得了良好的效果。簡單遺傳算法的工程應用目前存在的問題是：早熟或難以收斂，難以求解復雜的約束優(yōu)化問題［2，10－11］等。具體到結構優(yōu)化方面，還存在以下問題：當處理約束問題時，優(yōu)化效果常受制于優(yōu)化模型及罰函數(shù)參數(shù)（罰參數(shù)）的設計［5，7，10－11］；另外，設計變量和結構分析次數(shù)增多，將降低遺傳算法的收斂速度，且其時間復雜度也是一個有待解決的問題。為提高遺傳算法的應用效率，本文將簡單遺傳算法加以若干改進，提出分段遺傳算法，并通過桁架結構拓撲優(yōu)化的算例，驗證了改進算法的可行性和有效性。

1 分段遺傳算法步驟與簡析

1.1 分段遺傳算法步驟

分段遺傳算法將遺傳算法的運行過程分為“粗搜”和“精搜”兩個階段，其程序流程如圖1所示。

圖1中，把初始種群中適應度最高的一個個體作為最優(yōu)個體進行保留，對剩余的2K個個體進行遺傳操作［2］，產(chǎn)生新一代種群。

1.1.1 個體適應度最佳保留原則

圖1 分段遺傳算法程序流程

（1）若新一代種群中的最優(yōu)個體優(yōu)于上一代種群中的最優(yōu)個體，但上一代種群中的最優(yōu)個體又優(yōu)于新種群中適應度最差的個體，則保留新一代種群中的最優(yōu)個體，并用上一代種群中的最優(yōu)個體替換新種群中適應度最差的個體，連同其他新個體參與下一輪遺傳操作。反之，若上一代種群的最優(yōu)個體不優(yōu)于新種群中適應度最差的個體，則不作替換，保留新一代最優(yōu)個體，剩余新個體參與下一輪遺傳操作。

（2）若新一代種群中的最優(yōu)個體不優(yōu)于上一代種群中的最優(yōu)個體，則上一代種群中的最優(yōu)個體仍然保留，全部新個體參與下一輪遺傳操作。

1.1.2 “粗搜”階段

（1）均勻交叉：兩個配對個體每個基因座上的基因都以相同的交叉概率進行交換。

（2）均勻變異：以某一較小變異概率改變個體每個基因座上的原有基因值。上述Pc和Pm的取值與個體適應度的關系分別如圖2和圖3所示。

圖2 自適應交叉概率

在圖2和圖3中，fmin為某一代種群中個體的最小適應度值；favg為某一代種群的平均適應度值；f為某一代種群中某個個體的適應度值；fmax為某一代種群中個體的最大適應度值。

計算交叉概率Pc及變異概率Pm的表達式為

圖3 自適應變異概率

其中，P0、P2、P′0、P′2之取值，視適應度函數(shù)及其尺度變換的具體情況而定，但在多數(shù)情況下，它們的經(jīng)驗參考值分別是：P0＝0.9，P2＝0.6，P′0＝0.1，P′2＝0.001［8］。

當新種群的平均適應度等于上一代種群的平均適應度時，則新一代種群進入“精搜”階段。

1.1.3 “精搜”階段

（1）單點交叉：交換交叉點右邊的部分基因。

（2）高斯近似變異：用正態(tài)分布的一個隨機數(shù)來替換原有的基因值。

1.2 分段遺傳算法簡析

在算法運行的前期，均勻交叉和均勻變異易于使個體位置靠前的部分基因得到調(diào)整，搜索范圍迅速擴大，故可稱為“粗搜”；在后期，單點交叉和高斯近似變異又易于保護個體位置靠前的部分基因不受破壞，使得搜索能控制在一定范圍內(nèi)，故稱為“精搜”。一般連續(xù)函數(shù)極值點附近點的函數(shù)值普遍大（?。┯诙x域內(nèi)其他點的函數(shù)值。由此可知：如果算法在“粗搜”階段找到一個平均適應度最高的種群點，則全局最優(yōu)解就應在該種群點附近或其中。本文1.1節(jié)所設計的最優(yōu)個體保留及Pc和Pm的自適應設置，不僅可使迭代中出現(xiàn)的最優(yōu)值得以保留不致丟失，而且能在加快收斂速度的前提下，基本保證平均適應度達到最大值之前，各代種群的平均適應度逐代增大，而一旦某代種群的平均適應度等于它前一代種群的平均適應度，則表明該代種群的平均適應度已經(jīng)達到最大值。以此作為“粗搜”階段結束的判定條件。這樣設立的判定條件，不僅可以避免設定閾值時的繁瑣試驗過程，而且對于不同的優(yōu)化問題具有一定的通用性。以該平均適應度達到最大值的種群點為操作對象，進入“精搜”階段，調(diào)整交叉、變異類的各種相關遺傳操作因子，轉(zhuǎn)入局部區(qū)域重點搜索，最終快速找到全局最優(yōu)解。

2 算例驗證

2.1 拓撲優(yōu)化數(shù)學模型

一般情況下，帶約束非線性規(guī)劃問題的數(shù)學模型為

其中，g（x）＝ （g1（x），g2（x），…，gm（x）），j＝1，2，…，m。對可行域S＝｛x｜gj（x）≤0｝引入外點懲罰函數(shù)：

在選區(qū)內(nèi)構造一個單調(diào)遞增且趨于無窮的罰因子列：0＜M1＜M2＜…＜Mk＜…，構成一系列無約束非線性規(guī)劃問題：

從而將原帶約束非線性規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為一系列無約束非線性規(guī)劃問題。

一般地，拓撲優(yōu)化的數(shù)學模型（TP）為［5］：

式中，Ai、ρi、Li分別為第i桿之截面積、密度和桿長，其中，Ai為截面積設計變量；n為桿件總數(shù)；m為節(jié)點總數(shù)；p為載荷總數(shù)；ND為結構維數(shù)，即2或3；σi為第i桿之許用應力值為第j節(jié)點在i方向的允許位移值。

在上述模型中，式（7）和式（8）為約束條件。對拓撲優(yōu)化而言，一般允許截面積為零，此時，相應地取消應力約束。同理，當連接某節(jié)點的各桿截面積均為零時，該節(jié)點的位移約束也應取消。

2.2 無約束化處理

力與位移約束，其分段形式為

綜上，可用外點罰函數(shù)法將原問題（TP）轉(zhuǎn)化為遺傳算法（GA）所要求的形式，即

式中，Mσ、Mu分別為應力約束罰參數(shù)和位移約束罰參數(shù)。

2.3 算例

選用3個桁架結構拓撲優(yōu)化作為算例，對上述拓撲模型，分別用簡單遺傳算法與分段遺傳算法進行求解。

2.3.1 九桿結構

九桿結構如圖4所示，有5個節(jié)點，9根桿件，同時有應力、位移兩種約束。各桿參數(shù)值為：彈性模量E＝29GPa，密度ρ＝0.83g/mm3，許用應力取值分別是：－18MPa≤≤20MPa（i＝1，2，9），－12MPa ≤≤ 20MPa（其 余），uji＝±1.5mm（i＝2，4，5；j＝1，2）。在節(jié)點4處，有一載荷Px，取值為100N，在節(jié)點2處，有一載荷Py，取值為－100N；變量鏈化關系為：A1＝A2，A3＝A4，A5＝A6，A7＝A8。

圖4 九桿結構

在應用簡單遺傳算法進行優(yōu)化時，各參數(shù)設置為：Mσ＝2000，Mu＝1，種群尺度SP＝50，Pc＝0.9，Pm＝0.005，終止代數(shù)T＝100。使用分段遺傳算法進行優(yōu)化時，除保留Mσ＝2000、Mu＝1、T＝100外，其余參數(shù)設置調(diào)整為：SP＝51，Pc及Pm按式（1）和式（2）進行自適應設置。運用2種算法對九桿結構進行優(yōu)化，優(yōu)化拓撲如圖5所示，所得數(shù)據(jù)見表1，其進化曲線如圖6所示。

圖5 九桿結構優(yōu)化拓撲

表1 九桿結構優(yōu)化數(shù)據(jù)

圖6 九桿結構進化圖

2.3.2 十桿結構

圖7所示為十桿結構，該結構有6個節(jié)點、10根桿件，即有10個獨立的設計變量。對于全部桿件有：E＝10TPa，ρ＝0.1g/mm3＝±25GPa。在節(jié)點2和節(jié)點4上各有一個向下的載荷P，取值為100N；節(jié)點1、2、3、4的ui＝±2mm（i＝1，2，3，4）。

運用簡單遺傳算法優(yōu)化時的控制參數(shù)為：Mσ＝1000，Mu＝1，SP＝50，Pc＝1.0，Pm＝0.01，T＝100。使用分段遺傳算法進行優(yōu)化時，除保留Mσ＝1000、Mu＝1、T＝100外，其余參數(shù)設置與2.3.1節(jié)相同。運用2種算法對十桿基礎結構進行優(yōu)化，優(yōu)化拓撲如圖8所示，所得數(shù)據(jù)見表2，進化曲線如圖9所示。

圖7 十桿結構

圖8 十桿結構優(yōu)化拓撲

表2 十桿結構優(yōu)化數(shù)據(jù)

圖9 十桿結構進化圖

2.3.3 七十二桿結構

七十二桿空間桁架為一塔架結構，共有72根桿件，20個節(jié)點，如圖10所示。對于全部桿件有：E＝10TPa，ρ＝0.1g/mm3，σi＝±25GPa。位移約束為塔頂4個節(jié)點在空間三坐標方向的位移值不得超過±0.25mm，各桿件的截面積最小值為0.1mm2。

由于結構對稱，可將整個結構分為4層，每層可分為4組，共16組，因此，72根桿件可設置為16個設計變量。頂層桿件的分組情況見表3。該結構受到2個工況載荷，見表4。

圖10 七十二桿結構

表3 七十二桿結構頂層桿分組情況

表4 七十二桿結構工況荷載情況

運用簡單遺傳算法優(yōu)化時的控制參數(shù)為：Mσ＝1000，Mu＝1，SP＝50，Pc＝1.0，Pm＝0.01，T＝200。在使用分段遺傳算法進行優(yōu)化時，除保留Mσ＝1000、Mu＝1、T＝200外，其余參數(shù)設置與2.3.1節(jié)相同。運用2種算法對七十二桿結構進行優(yōu)化，結構優(yōu)化拓撲如圖11所示。所得數(shù)據(jù)見表5和表6。進化曲線如圖12所示。

圖11 七十二桿結構優(yōu)化拓撲

表5 七十二桿結構優(yōu)化數(shù)據(jù)（1）

表6 七十二桿結構優(yōu)化數(shù)據(jù)（2）

圖12 七十二桿結構進化曲線

3 結束語

雖然本文的分段遺傳算法操作步驟及程序編制稍顯繁復，不及直接使用簡單遺傳算法工具箱快捷，但相比其他改進遺傳算法更簡單，且具一定的通用性。3個桁架結構拓撲優(yōu)化的算例表明：當優(yōu)化較為復雜的桁架結構時，無論是收斂速度還是收斂精度，分段遺傳算法都優(yōu)于簡單遺傳算法，說明本文分段遺傳算法的方案是可行、有效的。

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