費(fèi)廣平，孫燕紅

(中國科學(xué)技術(shù)大學(xué) 管理學(xué)院，合肥230026)

1 理論模型

1.1 條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值（Conditional Value at Risk,CVaR）

風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值VaR是在給定的置信水平1-α下，一定期限內(nèi)金融資產(chǎn)或投資組合最大可能損失。CVaR的定義是在給定的置信水平下，一定期限內(nèi)當(dāng)金融資產(chǎn)或組合的損失超過VaR時(shí)，其期望損失的大小。CVaR的數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

由(1)式可見，CVaR計(jì)算的重點(diǎn)和難點(diǎn)在于VaR的計(jì)算。

設(shè)投資組合由現(xiàn)貨和期貨構(gòu)成，現(xiàn)貨與期貨的頭寸比例為1:h，其中h即為套期保值比率，表示對(duì)于每一單位現(xiàn)貨需要h單位的期貨進(jìn)行套期保值。將現(xiàn)貨和期貨的對(duì)數(shù)收益率分別用Rs,Rf來表示，則投資組合的收益率Rp可以表示為：

設(shè)投資組合收益率Rp服從某一分布p，則依據(jù)定義，其(1-α)百分比VaR可以表示為：

(3)式中μp=E(Rp)為投資組合的期望收益率，為投資組合收益率的標(biāo)準(zhǔn)差。

由(3)式可知：VaR的計(jì)算中，主要難點(diǎn)在于分位點(diǎn)qp(α)的估計(jì)，在現(xiàn)有CVaR套期保值文獻(xiàn)中，主要有三種估計(jì)分位點(diǎn)，進(jìn)而求出最小CVaR套期保值比率的方法∶

（1）歷史模擬法

Harris和Shen[1]使用的是歷史模擬法，這一方法根據(jù)樣本數(shù)據(jù)的尾部信息估計(jì)分位點(diǎn)，優(yōu)點(diǎn)是無需對(duì)收益率分布做出假定，但缺點(diǎn)也很明顯，主要是對(duì)數(shù)據(jù)量要求較大，且對(duì)數(shù)據(jù)信息的利用率比較低，只利用了其尾部信息。由于滬深300股指期貨上式不到兩年，數(shù)據(jù)量相對(duì)較小，本文沒有采用這種估計(jì)方法。

（2）正態(tài)假定法

遲國泰等[2]使用的是正態(tài)假定法，即根據(jù)中心極限定理，用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分位點(diǎn)n(α)代替收益率分布的分位點(diǎn)。此時(shí)：

所以，

通過對(duì)上式求一階導(dǎo)數(shù)并驗(yàn)證二階條件，可得CVaR最小化的套期保值比率：

（3）Cornish-Fisher展開法

Cao,Harris和Shen[3]使用的是Cornish-Fisher展開法，根據(jù)Cornish-Fisher展開，用高階樣本矩逼近收益率分布的分位點(diǎn)qp(α)：

其中：sp,kp分別是是現(xiàn)貨和期貨投資組合的偏度系數(shù)和峰度系數(shù)。

所以：

根據(jù)CVaR的實(shí)際意義，滿足一階條件的極值點(diǎn)就是最小值點(diǎn)。其極值點(diǎn)滿足如下方程：

其中：

方程(8)的形式非常復(fù)雜，因此不存在顯式解，在套期保值實(shí)證部分將通過數(shù)值方法得出方程(8)的解。

1.2 條件模型

本文嘗試將預(yù)測(cè)波動(dòng)率和相關(guān)性的條件模型分別與正態(tài)假定法、Cornish-Fisher展開相結(jié)合，以期能進(jìn)一步降低組合的CVaR值。具體的說，本文分別使用了兩類條件模型：EWMA和t-GARCH模型。

1.2.1 指數(shù)加權(quán)移動(dòng)平均值模型（EWMA）

EWMA模型是無條件方差的一種自然修正，它通過給予近期觀測(cè)值更大的權(quán)重，而對(duì)遠(yuǎn)期觀測(cè)值以較小的權(quán)重來反應(yīng)金融數(shù)據(jù)普遍具有的波動(dòng)聚集效應(yīng)。其數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

將EWMA與正態(tài)假定法和Cornish-Fisher展開相結(jié)合計(jì)算最小CVaR套期保值比率的步驟如下：

①基于雙變量EWMA模型預(yù)測(cè)出未來現(xiàn)貨和期貨收益率的波動(dòng)率和相關(guān)系數(shù)。

②利用①中預(yù)測(cè)的未來收益率的波動(dòng)率和相關(guān)系數(shù)代入式(6)計(jì)算和方程(8)求解，得出的解即為最小CVaR套期保值比率hCVaR。

1.2.2 廣義自回歸條件異方差模型（GARCH）

GARCH模型是對(duì)誤差方差的建模，適用于波動(dòng)率的分析與預(yù)測(cè)。由于大部分金融資產(chǎn)收益的二階矩都存在著明顯的ARCH效應(yīng)，為了考慮市場(chǎng)的動(dòng)態(tài)變化，需要建立GARCH模型。GARCH模型的常見形式有VECH形式、BEKK形式和CCC形式。本文以BEKK形式為例進(jìn)行研究。

BEKK-GARCH的矩陣形式為：

條件均值方程：Rt=μt+εt,εt～t(Ht)

條件方差方程：

由于普遍認(rèn)為GARCH（1,1）模型能很好的反應(yīng)金融收益率數(shù)據(jù)殘差的ARCH效應(yīng)，故本文選取二元GARCH（1,1）模型，即K=1，（10）式中各項(xiàng)均為二維向量。因金融數(shù)據(jù)普遍呈厚尾分布，εt取t分布。通過給定t-1時(shí)刻現(xiàn)貨和期貨收益率樣本對(duì)模型（10）中參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，然后利用（10）式做出向前一步預(yù)測(cè)，即可預(yù)測(cè)出t時(shí)刻的現(xiàn)貨和期貨的波動(dòng)率和相關(guān)系數(shù)。

將GARCH模型與正態(tài)假定法和Cornish-Fisher展開相結(jié)合計(jì)算最小CVaR套期保值比率的步驟如下：

①基于正態(tài)GARCH模型或t-GARCH預(yù)測(cè)出未來現(xiàn)貨和期貨的收益率分布的協(xié)方差矩陣。

②根據(jù)預(yù)測(cè)的收益率分布的協(xié)方差矩陣，使用Monte-Carlo模擬生成大量（10000個(gè)）的收益率數(shù)據(jù)，作為所預(yù)測(cè)的未來收益率樣本。

③利用②中得到的收益率數(shù)據(jù)以1.1節(jié)中的方法計(jì)算式(6)的值和方程(8)的解，即為最小CVaR套期保值比率hCVaR。

1.3 套期保值效果的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)

對(duì)套期保值效果評(píng)價(jià)的常見方法是由Ederington[4]最先提出的方差降低百分比法，該方法是以套期保值后投資組合收益率方差降低百分比來評(píng)價(jià)套期保值效果：

但是由于方差并非全面度量風(fēng)險(xiǎn)的指標(biāo)，所以可能存在一個(gè)經(jīng)過套期保值后的組合，其方差降低百分比較高，但仍然存在較大虧損的可能性（Alexander and Barbosa[5]）。所以，除了采用指標(biāo)E之外，本文還采用了VaR降低百分比V和CVaR降低百分比C作為套期保值效果的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)：

其中，VaRu(CVaRu)為套保前資產(chǎn)收益率的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值(條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值)，而VaRh(CVaRh)為套保后資產(chǎn)收益率的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值（條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值）。V(C)的數(shù)值越大，說明VaR（CVaR）降低效果越明顯，套期保值效果越好?？紤]到樣本內(nèi)效果檢驗(yàn)對(duì)于投資實(shí)踐意義不大，所以本文僅分析各種套期保值方法的樣本外結(jié)果。

2 樣本的選擇與數(shù)據(jù)檢驗(yàn)

本文使用華夏上證50ETF的日累計(jì)凈值作為現(xiàn)貨數(shù)據(jù)，ETF是一種在證券交易所交易并獲取指數(shù)收益的基金。自從1993年美國推出第一支ETF-SPDR以來，ETF在全球發(fā)展迅速，ETF兼具股票和基金的特點(diǎn)，又結(jié)合了封閉式基金和開放式基金的優(yōu)點(diǎn)，被普遍認(rèn)為是過去20年內(nèi)最偉大的金融創(chuàng)新之一。華夏上證50ETF由華夏基金公司于2004年推出，采用完全跟蹤上證50指數(shù)的策略。由于上證50指數(shù)的成分股是上海證券市場(chǎng)規(guī)模大、流動(dòng)性好的代表性藍(lán)籌股，并且2010年推

出的融資融券業(yè)務(wù)也以上證50指數(shù)成分股為交易對(duì)象。所以，上證50ETF受到了眾多投資者的青睞，使用它作為現(xiàn)貨資產(chǎn)也具有代表性。

期貨數(shù)據(jù)采用了中國金融期貨交易所的滬深300股指期貨每日結(jié)算價(jià)格。這里選擇結(jié)算價(jià)而非收盤價(jià)是因?yàn)閷?duì)于期貨來說，結(jié)算價(jià)更能反映當(dāng)天市場(chǎng)價(jià)格信息，且波動(dòng)性相對(duì)較小。數(shù)據(jù)時(shí)間跨度從2010年4月16日到2012年2月14日，共計(jì)443個(gè)日交易數(shù)據(jù)。本文將前191個(gè)數(shù)據(jù)作為樣本內(nèi)數(shù)據(jù)，其余252個(gè)數(shù)據(jù)作為樣本外數(shù)據(jù)用于檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷奶灼诒Ｖ敌Ч?。由于期貨合約具有期限性，關(guān)于期貨合約的展期方式，和大多數(shù)文獻(xiàn)類似，本文采取到期月效應(yīng)的方式。即通常選擇最近月合約，但為避免期貨合約的到期月效應(yīng)，在交割月的第一天展期為次月到期的期貨合約。

下面將對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析、檢驗(yàn)。首先觀測(cè)現(xiàn)貨和期貨的走勢(shì)及相關(guān)性。從圖1和圖2中可以看出，華夏上證50ETF和滬深300股指期貨的走勢(shì)很接近，樣本期間呈持續(xù)下跌趨勢(shì)。經(jīng)測(cè)算，二者的相關(guān)系數(shù)達(dá)92.39%，這說明二者具有很強(qiáng)的相關(guān)性。因此，可以預(yù)計(jì)采用滬深300股指期貨對(duì)三種現(xiàn)貨進(jìn)行套期保值可以取得較好的效果。

其次，對(duì)三種現(xiàn)貨組合和滬深300股指期貨的樣本日對(duì)數(shù)收益率序列的基本統(tǒng)計(jì)特征做一描述：

圖1 華夏上證50ETF走勢(shì)圖

圖2 滬深300股指期貨走勢(shì)圖

從表1中可以看出，樣本期間市場(chǎng)呈現(xiàn)下跌態(tài)勢(shì)。滬深300股指期貨的波動(dòng)性明顯高于現(xiàn)貨ETF50，這是股指期貨的保證金制度具有杠桿性造成的。

在偏度上，現(xiàn)貨和期貨的負(fù)偏性明顯。在峰度上，現(xiàn)貨和期貨也具有顯著的高峰性，期貨在負(fù)偏性和高峰性方面明顯高于現(xiàn)貨。反映在J-B統(tǒng)計(jì)量上，在99%的置信度上可以拒絕現(xiàn)貨和期貨的收益率服從正態(tài)分布。

表1 現(xiàn)貨和期貨日收益率統(tǒng)計(jì)

從VaR和CVaR值來看，現(xiàn)貨置信度為95%的單日最大損失為2%以上，極端情形下平均損失在3%以上，這是個(gè)相當(dāng)大的損失。所以，在市場(chǎng)下行期間，利用股指期貨進(jìn)行套期保值是非常有必要的。

最后，對(duì)現(xiàn)貨和期貨的收益率殘差進(jìn)行分析并進(jìn)行ARCH檢驗(yàn)，以確定是否需要建立GARCH類模型。

表2 殘差A(yù)RCH檢驗(yàn)

從表2中可以看出，殘差項(xiàng)具有明顯的ARCH效應(yīng)，殘差平方序列存在自相關(guān)，即前期的劇烈波動(dòng)會(huì)導(dǎo)致當(dāng)期波動(dòng)較大，因而可以建立GARCH類模型。在實(shí)證中，由于表1中已經(jīng)拒絕現(xiàn)貨和期貨收益率服從正態(tài)分布，本文采用t-GARCH模型進(jìn)行實(shí)證分析。

3 實(shí)證分析

3.1 最小CVaR套期保值結(jié)果

本文共采用了6種不同的最小CVaR套期保值模型計(jì)算最優(yōu)套期保值比率，即正態(tài)假定法(記做Norm，下同)、Cornish-Fisher展開法(CF)、EWMA-正態(tài)假定模型(E-Norm)、t-GARCH- 正態(tài)假定模型 (G-Norm)、EWMA-Cornish-Fisher展開模型(E-CF)和t-GARCH-Cornish-Fisher展開模型(G-CF)。

最小CVaR套期保值比率走勢(shì)見圖3和圖4，從圖中可以看出，正態(tài)假定法和Cornish-Fisher展開法計(jì)算得出的套期保值比率走勢(shì)大致相同。無條件模型計(jì)算的套期保值比率呈前低后高，穩(wěn)步增加的趨勢(shì)，波動(dòng)幅度相對(duì)較?。欢鴹l件模型計(jì)算的套期保值比率在前期就明顯高于無條件模型，而隨后市場(chǎng)呈持續(xù)下跌趨勢(shì)也確實(shí)需要較高比例的期貨合約以對(duì)沖系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)。這也充分驗(yàn)證了條件模型在預(yù)測(cè)波動(dòng)率的未來趨勢(shì)能力強(qiáng)于無條件模型。同時(shí)條件模型計(jì)算得出的套期保值比率波動(dòng)幅度較大。這些結(jié)論與最小方差套期保值文獻(xiàn)中的結(jié)論基本是一致的。

圖3 Cornish-Fisher展開法下套期保值比率

圖4 正態(tài)假定法下套期保值比率

最小CVaR套期保值樣本外效果見于表3。表3中列出了ETF50的平均套期保值比率，套期保值后資產(chǎn)組合的收益率均值、方差、偏度、峰度、VaR、CVaR方差降低百分比、VaR降低百分比和CVaR降低百分比。

表3 最小CVaR套期保值結(jié)果

下面將從收益和風(fēng)險(xiǎn)兩個(gè)角度對(duì)表3中的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，首先對(duì)比分析正態(tài)假定法和Cornish-Fisher展開法的樣本外套期保值效果。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，①從規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)角度，無論是方差、VaR，還是CVaR，Cornish-Fisher展開法都一致略優(yōu)于正態(tài)假定法，這在無條件模型和條件模型中都得到了體現(xiàn)；②從獲取收益角度，正態(tài)假定法略優(yōu)于Cornish-Fisher展開法。總體來說，兩種方法的結(jié)果很接近，差別較小。

其次，在正態(tài)假定法和Cornish-Fisher展開法下分別分析條件波動(dòng)率模型是否具有優(yōu)勢(shì)：

①從風(fēng)險(xiǎn)角度，無論是正態(tài)假定法還是Cornish—Fisher展開法，運(yùn)用條件模型都取得了更好的風(fēng)險(xiǎn)降低效果，具體表現(xiàn)在E、V和C的指標(biāo)都有所提高。其中E最多可提高0.67個(gè)百分點(diǎn)，V最多可提高1.11個(gè)百分比，而C最多可提高2.9個(gè)百分比，方差和VaR降低百分比提高效果明顯不如CVaR降低百分比。這也說明在最小CVaR套期保值中應(yīng)用條件模型對(duì)提高套期保值效果十分的必要。在E和C評(píng)價(jià)指標(biāo)下G-Norm模型風(fēng)險(xiǎn)最低，在V評(píng)價(jià)指標(biāo)下，E-CF模型風(fēng)險(xiǎn)最低。

②從收益角度，條件模型得出的收益率均值也一致高于無條件模型，其中EWMA模型的均值又要高于t-GARCH模型。表3中所列示的均值為算術(shù)平均，而基金績(jī)效評(píng)價(jià)時(shí)常采用幾何平均，因此本文也給出了樣本外套期保值前后的累計(jì)收益率走勢(shì)，見圖5。從圖中可以發(fā)現(xiàn)：

⑴在熊市期間，相比未套期保值，最小CVaR套期保值可以有效增加資產(chǎn)收益。

⑵無論是正態(tài)假定法還是Cornish—Fisher展開法，運(yùn)用動(dòng)態(tài)模型都取得了更好的收益增加效果。其中EWMA模型的累積收益率高于t-GARCH模型。

⑶正態(tài)假定法（Norm）和Cornish—Fisher展開法（CF）計(jì)算產(chǎn)生的累積收益率差別并不明顯，相比之下，正態(tài)假定法略高于Cornish—Fisher展開法。總之，基于累積收益率的分析結(jié)論與之前的收益率算術(shù)均值是一致的。

圖5 最小CVaR套期保值累積收益走勢(shì)圖

3.2 與最小方差套期保值的對(duì)比分析

在本節(jié)中將對(duì)比最小方差和最小CVaR套期保值效果。對(duì)比結(jié)果如表4所示。

表4 最小方差與最小CVaR套期保值結(jié)果對(duì)比

從表5中可以發(fā)現(xiàn)：無論是以E、C還是V作為評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，最小CVaR套期保值的結(jié)果都不如最小方差套期保值。對(duì)比各種套期保值目標(biāo)下的收益率均值也可以發(fā)現(xiàn)：最小CVaR套期保值并沒有在在收益方面優(yōu)于最小方差套期保值。從而最小CVaR套期保值在風(fēng)險(xiǎn)和收益兩方面都不如最小方差套期保值。表5中的結(jié)論是基于無條件套期保值模型下得出的，本文也對(duì)比了條件模型下的情況，與無條件模型的結(jié)論幾乎一致，具體表格從略。

4 結(jié)論與建議

本文在最小化CVaR套期保值框架下建立了正態(tài)假定法、Cornish-Fisher展開與波動(dòng)率預(yù)測(cè)相結(jié)合的條件模型，條件模型可以有效反應(yīng)金融收益率尖峰厚尾和波動(dòng)聚集的特征，從而可以更好的計(jì)算最優(yōu)套保值比率。通過滬深300股指期貨的日結(jié)算數(shù)據(jù)對(duì)華夏上證50ETF的最小CVaR套期保值實(shí)證研究，并與無條件模型以及最小方差套保值相對(duì)比，得出以下結(jié)論和建議：

（1）計(jì)算最小CVaR套期保值比率的兩種方法—簡(jiǎn)單的正態(tài)假定法和較復(fù)雜的Cornish-Fisher展開法的樣本外套期保值效果十分相近。收益上正態(tài)假定法略優(yōu)，風(fēng)險(xiǎn)角度Cornish-Fisher展開法略優(yōu)。

（2）無論是正態(tài)假定法還是Cornish-Fisher展開法，與條件波動(dòng)率建模相結(jié)合計(jì)算套期保值比率都能有效提高套期保值的效果，具體體現(xiàn)在套期保值后收益更高、風(fēng)險(xiǎn)更低。

（3）從風(fēng)險(xiǎn)和收益兩個(gè)角度，最小CVaR套期保值并沒有取得比最小方差套期保值更好的效果。說明在滬深300股指期貨推出的初期，市場(chǎng)數(shù)據(jù)較少的情況下，不應(yīng)使用最小CVaR套期保值取代最小方差套期保值。

[1]Harris D F R,Shen J.Hedging and Value at Risk[J].Journal of Fu?tures Markets,2006,26(4).

[2]遲國泰,趙光軍,楊中原.基于CVaR的期貨最優(yōu)套期保值比率模型及應(yīng)用[J].系統(tǒng)管理學(xué)報(bào),2009,18(1).

[3]Cao Z G,Harris D F R,Shen J.Hedging and Value at Risk:a Semi-parametric Approach[J].Journal of Futures Markets,2010,30(8).

[4]Ederington L H.The Hedging Performance of the New Futures Mar?kets[J].Journal of Finance,1979,(34).

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