吳 琦

（西安文理學院 商學院，西安 710065）

0 引言

二叉樹期權(quán)定價模型之所以被廣泛應(yīng)用于風險投資項目的評估，有以下幾個原因：第一、它將風險中性的概念融入了整個定價過程，而結(jié)論確實可以應(yīng)用于其他非風險中性環(huán)境的；第二、它將投資預(yù)期收益的連續(xù)的變化看作是離散的隨機游走過程，用完全透明的方式處理預(yù)期收益和期權(quán)價值的運動過程；第三、盡管二叉樹模型的收斂速度較慢，但是它的極限還是趨于B-S期權(quán)定價模型的。二叉樹期權(quán)定價模型被廣泛應(yīng)用于風險投資項目的評估，但模型較為傳統(tǒng)，每一階段都以“二叉”的形式出現(xiàn)，不能反映真實投資過程中多種選擇權(quán)的狀態(tài)，帶來評估結(jié)果較大的誤差。所以本文試圖引入“多叉”的思想：即一個完整的投資過程各階段所面臨的實際情況是不同的，因此可供其選擇的途徑也是不同的，將二叉樹、三叉樹甚至混合使用在模型中，給決策者提供靈活和真實的方法選擇。

1 利用樹形結(jié)構(gòu)求解期權(quán)價值——二叉樹模型

1.1 風險中性假設(shè)

風險中性原理是由J.Cox、S.Ross在1976年推導期權(quán)定價公式時提出的，該原理與投資者的風險偏好并無關(guān)系，因此推廣到對任何衍生證券都適用。所以人們在這之后的衍生證券定價推導中，逐漸接受了這樣的前提條件，就是所有投資者都是風險中性的，或者是在一個風險中性的經(jīng)濟環(huán)境中決定價格，并且這個價格的決定，又是適用于任何一種風險偏好的投資者。風險中性假設(shè)下得到的衍生品估值同樣可以應(yīng)用于非風險中性的世界。真實世界里的投資者盡管在風險偏好方面存在差異，但當套利機會出現(xiàn)時，投資者無論風險偏好如何都會采取套利行為，消除套利機會后的均衡價格與投資者的風險偏好無關(guān)，羅斯在1976年嚴格證明了這一邏輯。

1.2 二叉樹模型

單步二叉樹模型是二叉樹模型的基礎(chǔ)，它只反應(yīng)一個階段的資產(chǎn)的變化狀況。我們可以假定標的資產(chǎn)的價格為S0,對應(yīng)的期權(quán)價格為 f0。假定期權(quán)的期限為T，在期權(quán)有效期內(nèi)，股票價格可能有兩種趨勢：一種是由S0上升為S0u，其中u＞1為上升參數(shù)；另一種是由S0下降至S0d，其中0＜d＜1為下降參數(shù)。因此，當股票價格上漲時，增長的比率為u-1；股票價格下跌時，下跌的比率為1-d。假設(shè)如果股票的價格變動到S0u，相應(yīng)期權(quán)的價格為 f0；如果股票的價格變動到S0d，相應(yīng)期權(quán)的價格就為 fd。

如果考慮一個由α只股票組成的股票多頭和一份期權(quán)空頭所組成的資產(chǎn)組合。此時可以表示α為對沖比例，也即是賣出一份買權(quán)所必需買入的股票的股數(shù)滿足風險中性假設(shè)，我們假定該組合沒有風險，也就是可以認為其收益率就等于無風險利率，那么就可以構(gòu)造出該資產(chǎn)組合的成本，并由此來計算期權(quán)的價格。若股票價格上升，那么期權(quán)到期日時該資產(chǎn)組合的價值為S0uα-fu；若股票價格下跌，則資產(chǎn)組合價值為S0dα-fd。為了使組合不存在任何風險，令上述兩式相等得到：

由于此時該組合是無風險的，其收益率就應(yīng)該等于無風險利率。設(shè)無風險利率為r，則資產(chǎn)組合的價值的貼現(xiàn)值為

若使資產(chǎn)組合的初始成本與之相等，便得到

解得上一個期權(quán)的價格為

此時可得

討論當上漲的概率為p時,股票的收益期望為

E(S)=PS0u+(1-P)S0d=PS0(u-d)+S0d

這說明了股票價格實際上是按照固定的無風險利率穩(wěn)定增長。所以股票的收益率為無風險利率與股價上漲的概率為P是相同的概念。

當二叉樹從兩步開始，一些參數(shù)將隨之發(fā)生變化。對于單步二叉樹模型，貼現(xiàn)的期限即為期權(quán)的期限T，兩步二叉樹模型開始，各步價值貼現(xiàn)的期限可以步長的概念來代替。這里不妨假設(shè)各步步長相等，均為ΔT年。在這樣的假設(shè)下，前面推出的期權(quán)價格公式變?yōu)?/p>

其中 P=erΔT-d/u-d 。

重復(fù)運用該式向前推導得出兩步二叉樹模型的期權(quán)現(xiàn)值

當推導n步二叉樹模型的通式時，采用的是向前倒退的方法來為期權(quán)定價，也就是從期權(quán)的定價日始，在每個時間點iΔT的期權(quán)價值都可以由時間點(i+1)ΔT的價值通過貼現(xiàn)其期望價值來得到。利用數(shù)學歸納法推導出n步二叉樹的期權(quán)現(xiàn)值為：

下面對公式進行化簡：

（1）當ukdn-kS0＜E 時

max(ukdn-kS0-E)=0

則 f0=0，期權(quán)無價值。

（2）當ukdn-kS0＞E時，就可以去掉0項而取正項：

由于序列Ak=Pk(1-P)n-k(ukdn-kS0-E)為遞增序列，則必然存在一個最小整數(shù)w使得當k≥w時ukdn-kS0＞E ，即去掉式中的0項得到

將通式化簡至此，就會更容易觀察出整個期權(quán)價值的成分，我們可以把他們分為標的資產(chǎn)價值的運動部分和每一期對應(yīng)行權(quán)價格的貼現(xiàn)價值部分。每一時點的行權(quán)價格部分由該節(jié)點向后延伸出的所有狀態(tài)步步貼現(xiàn)而得。

1.3 對二叉樹模型分析的總結(jié)

在實際中，二叉樹的收斂速度并不理想，這是一個只有在保證了無窮計算的情況下才會得出最精確結(jié)果的結(jié)論。如果一個分析員僅僅假定在期權(quán)期限內(nèi)價格變化只由一步或幾步二叉樹來表達，則由此得出的期權(quán)價格將會是一個非常粗略的近似值。降低誤差的辦法之一是提高步數(shù)或盡可能縮小步距ΔT，但是步數(shù)的增長所帶來的運算的復(fù)雜程度是呈現(xiàn)指數(shù)化增長的。在實際中應(yīng)用二叉樹時，期權(quán)的期限可能會被分割為30或更多的步數(shù)。在每一個時間步，資產(chǎn)價格的變動都由一個單步二叉樹來表達。那么在30個時間步中，總共有31個終端的股票價格，即230，大約10億種可能的資產(chǎn)價格變動路徑。在步數(shù)達到一定程度的時候，除了使用數(shù)學歸納法來推導可能的定價公式，數(shù)值解就只有通過數(shù)學軟件來實現(xiàn)。

2 三叉樹期權(quán)定價模型

2.1 構(gòu)建模型

能夠降低二叉樹模型誤差的另一種方法是增加自由度——也即每一步可能的狀態(tài)，比如將二叉樹推廣至三叉樹。最早提出這種思想的是Kamrad B.和Ritchken P.，他們在1991年發(fā)表于Management Science上的一篇論文中提出設(shè)想，通過增加每一期可能的狀態(tài)來提高最終計算的精度。Boyal P P.將其擴展成為三叉樹模型，每一期存在三種可能的狀態(tài)：上升、不變和下降，并且上升和下降兩種狀態(tài)是對稱的。Tian Y.重點研究了三叉樹模型，同時仿照二叉樹模型的風險中性世界假設(shè)，推導出了三叉樹模型的風險中性概率，形式為時間ΔT的指數(shù)函數(shù)。

從二叉樹期權(quán)定價公式推導過程看出，美式期權(quán)每一期都必須對期權(quán)價值和內(nèi)在價值進行比較，所以可先從歐式期權(quán)入手，推導三叉樹模型對應(yīng)的經(jīng)驗公式。在建立三叉樹模型之前先進行一系列前提假設(shè)：

（1）假設(shè)市場是完備的，所有投資者信息共享；

（2）市場是無摩擦的，也就是不存在稅收和交易費用；

（3）市場中不存在套利機會；

其中r為無風險利率，δ為瞬時波動率，dz為標準維納過程。這表示S下一瞬間的運動增量為dx，這個增量來自于兩個部分，第一部分是確定項，第二部分是隨機項?？紤]應(yīng)用Ito引理的隨機微分方程，第一步將連續(xù)的S(t)離散化，把[0 , T ]分割為間距相等的n個部分，每步的長度ΔT=T/n，在任一步時段[t,t+ΔT] 中，資產(chǎn)價格的變動服從于=rΔT+δΔz，因此 S 的數(shù)學期望就表示為E(S)=SerΔT。再由Ito引理二階和三階隨機微分方程，S2和S3在[0,T]上分別服從于隨機方程

分別離散化之后可得

現(xiàn)在考慮三叉樹定價模型的建立，類似于二叉樹模型，首先分析單步的三叉樹。假設(shè)在t0時刻，標的資產(chǎn)價格為S0，經(jīng)過時間T后，可能的運動狀態(tài)有三種：上升至S0u、下降至 S0d，以及維持初始的 S0不變，其中u＞1＞d＞0。

這里為了方便迭代，得到適用于有限可數(shù)步三叉樹期權(quán)定價的通項公式，假設(shè)該標的資產(chǎn)的價格有序運動之后的結(jié)果與運動過程無關(guān)，用式子表達為u·d=1。即是說S0開始經(jīng)過先上升后下降或經(jīng)過先下降后上升，效果一致，會到達同一個位置。任一節(jié)點St經(jīng)過任意一步距離的運動，先上升后下降、先下降后上升與水平運動，最終達到的狀態(tài)相同，這樣假設(shè)的好處是每一期只增加有限個新節(jié)點，使得節(jié)點數(shù)不致以指數(shù)倍增長。

如果假設(shè)S0向上和向下以及保持不變的概率分別Pu、Pd和 Pm，則必有Pu+Pm+Pd=1。

同時，為了有效控制每一步的節(jié)點數(shù)，可做出假設(shè)使得部分節(jié)點可以重合，向上和向下的路徑和先后順序與最終的結(jié)果無關(guān)，學術(shù)界比較常用的辦法添加限制性條件

將Pu、Pm和Pd分別看作是S0向上、向下及保持不變對應(yīng)的權(quán)數(shù)，即得出S、S2和S3的數(shù)學期望，由此得到方程組包含5個獨立方程，此時求解Pu、Pm、Pd、u和d這五個未知數(shù)后將Pu、Pm和Pd項通過u和d表示

方程組的解只包含r、ΔT

與二叉樹求解的思路相同，首先按樹形將資產(chǎn)價格向后推至尾節(jié)點，再利用貼現(xiàn)逐步向前推，即從期權(quán)定價日開始向前倒推，在時刻iΔT的期權(quán)價格可以從下一時刻(i+1)ΔT的期權(quán)價值貼現(xiàn)期望價值得到，用表達式描述就是

f(SΔT,iΔT)=e-rΔT[Pu·f(u·SΔT,(i+1)ΔT)+Pm·f(SΔT,(i+1)ΔT)+Pdf(d·SΔT,(i+1)ΔT)] 其中f(SΔT,iΔT)為iΔT時刻的期權(quán)價格，f(u·SΔT,(i+1)ΔT)、f(u·SΔT,(i+1)ΔT)和 f(SΔT,(i+1)ΔT)則分別代表資產(chǎn)經(jīng)過ΔT時間，以u的變動幅度上升，以d的變動幅度下降以及保持不變后對應(yīng)的期權(quán)價格。類似于二叉樹模型，利用數(shù)學歸納法可以推導出多期期權(quán)價格的估算公式

2.2 敏感性分析

2.2.1 基本原理

敏感性分析是非常常用的一種不確定性分析方法，是利用現(xiàn)代化的數(shù)據(jù)處理工具或軟件模擬一個或多個不確定性因素變動一定幅度所帶來的決策評價指標的變動程度，據(jù)此判斷各種不確定性因素的變化對實現(xiàn)最終的決策目標的影響程度，以期在紛繁的外部環(huán)境發(fā)生不利變動時及時做出反應(yīng)，對最大的風險范圍、承受能力給出合理的判斷。

2.2.2 單因素敏感性分析

單因素敏感性分析又稱為局部敏感性分析，它只考慮單一因素對結(jié)果的影響。它可用于尋找那些對目標值影響相對較大的單個因素。首先需要保證每個單因素之間相互獨立；在此基礎(chǔ)上假設(shè)其他因素不變，每次只對某一個單因素的變化和其對目標值的影響程度進行分析，借助圖表表現(xiàn)二者的相關(guān)關(guān)系；處理采用“連環(huán)替代法”，即將其他假定不變的因素按照上述方式變動，變動比例和臨界值都取相同來觀察目標值的變化，直至取遍所有的不確定因素。

確定敏感性因素是有選擇性的，從實際投資活動出發(fā)，以提供投資決策建議為目的的前提下，應(yīng)優(yōu)先選擇那些有經(jīng)濟含義、可控可測的那些變量。假設(shè)有經(jīng)濟值表達式F=f(x1，x2，…，xn)，確定敏感性因素為 x1，x2，x3，x4，那么整理數(shù)據(jù)后應(yīng)該至少能從兩個方面得出結(jié)論：

（1）敏感度系數(shù)。敏感度系數(shù)是指項目評價值相對于不確定因素的敏感程度。以敏感性因素x1為例，取x1的變化量為Δx1，對應(yīng)經(jīng)濟值f的變化量為Δf，則該段該因素的敏感度系數(shù)S1=Δf/Δx2。若將敏感性關(guān)系在F-x1坐標軸上繪制成曲線，S1代表了連接兩點的線段的斜率；若Δx1→0，則S1代表了曲線在該點的斜率。這些都是可以直觀上從曲線的起伏程度上看出來的。

（2）臨界值。F是有經(jīng)濟含義的，假定F為年利潤率，x1為年經(jīng)營成本。則利潤率必須要保證在一定的范圍之內(nèi)，譬如必須使F≥0，那么相應(yīng)的x1也必定會有一個范圍，譬如計算出x1≤f(F)，這個值就是該不確定因素的臨界值。在實際的經(jīng)營活動中，假設(shè)其他條件不變時經(jīng)營者必須保證經(jīng)營成本小于某一個確定的值才能使公司獲取正利潤。

仍取 S0=100，E=80，r=0.1，δ=0.25，ΔT=n=5，計算出的期權(quán)價值 f0可作為一個期望價值。之后開始分析各單因素變動后的取值。

為了分析方便，我們選定S0、E、r、δ、n為待驗證的敏感性因素，每次變動一個因素，其他因素保持不變。最小變動單位的選定上，S0和E的基礎(chǔ)數(shù)值較大，同樣的變動比例下變動數(shù)值更大，因此設(shè)定其最小變動單位為±1%；r和δ設(shè)定為±5%。變動檔均為上下10檔，即每一個對比樣本包含數(shù)據(jù)20組，繪制敏感性分析表后觀察數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，r主要以一階形式出現(xiàn)，而δ多以二階和三階形式出現(xiàn)。這就說明了期權(quán)的價值對δ的變動相對于r更為敏感，或者說通過同樣幅度的變動，δ變動所造成的期權(quán)價值變動幅度更大。由于S0和S0之后的運動趨勢代表了投資所能帶來的現(xiàn)金流情況，S0的變化對于追加投資、延遲投資或者撤出投資是起決定性作用的，因此S0與期權(quán)價值是呈正向變動的；相反作為投資成本的E越大，與現(xiàn)金流收入相較的差距越小，利潤獲取空間就越小，導致期權(quán)價值的降低。因此E與期權(quán)價值是逆相關(guān)的。

2.2.3 多因素敏感性分析

多因素敏感性分析又稱為全局敏感性分析，是對單因素敏感性分析的推廣。即是說許多因素的變動趨勢之間存在相關(guān)性，一個因素的變動將會帶來其他因素的變動。在這樣的假設(shè)條件下，只考慮單因素的敏感性就存在局限性。由于全劇敏感性分析需要考慮所有可能發(fā)生變化的因素各自變動不同幅度的多種組合，計算的過程會比普通的單因素敏感性分析困難得多，如果不確定因素小于3個，且目標函數(shù)計算簡單，尚可結(jié)合解析法和作圖法進行分析。本文的研究對象為超過3個的不確定因素，并且各自代表不同的含義，彼此之間相關(guān)性較弱，可認為其相互獨立。因此全劇敏感性分析不作為本文的研究重點。

3 總結(jié)

本文基于當前國內(nèi)風險投資勢頭日漸增強的背景，考慮到實務(wù)界盲目投資現(xiàn)象的存在，提出對風險投資項目進行合理的估值，為決策者提供建議。通過將實物期權(quán)引入風險投資項目，結(jié)合使用二叉樹定價模型和三叉樹定價模型對項目的不確定性部分進行價值評估，形成了可操作的一種不確定性項目估值的方法。對估值模型的研究，一方面要盡量提高估值結(jié)果的精確程度，另一方面應(yīng)該分析各參變量的含義，以及估值結(jié)果對各變量的敏感性程度。

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