閆利軍，吳彩鵬，孫玉杰，張曉芳，申清明

1.西北機電工程研究所，陜西 咸陽 712099

2.西安交通大學(xué) 機械制造系統(tǒng)工程國家重點實驗室，西安 710049

基于模糊AHP和證據(jù)理論的混合決策模型

閆利軍1，2，吳彩鵬1，孫玉杰1，張曉芳1，申清明1，2

1.西北機電工程研究所，陜西 咸陽 712099

2.西安交通大學(xué) 機械制造系統(tǒng)工程國家重點實驗室，西安 710049

1 引言

模糊層次分析法（Fuzzy AHP，F(xiàn)AHP）是在AHP基礎(chǔ)上發(fā)展得到的一種更加有效的評價決策工具，它采用三角模糊數(shù)或梯形模糊數(shù)表達(dá)決策者的主觀意見，能夠有效表達(dá)決策者思維上的模糊性和不確定性，因此更加符合實際的設(shè)計決策情形，已被用于多個領(lǐng)域解決多準(zhǔn)則決策問題。然而，盡管FAHP較AHP在模糊信息處理方面有了一定的提高，但將它用于產(chǎn)品設(shè)計方案評價時仍然存在兩個問題。其中一個便是AHP類方法固有的逆向排序問題[1]。所謂逆向排序問題，是指當(dāng)使用某種方法進(jìn)行決策時，對n個方案x1，x2，…，xn的決策結(jié)果是xi優(yōu)于xj(i≠j)，但若增加或減少若干個方案后，得出的結(jié)論卻是xj優(yōu)于xi。在實際決策過程中，當(dāng)方案增加或者減少時，逆向排序問題使得之前的決策結(jié)果變得毫無意義，需要對新的備選方案集重新進(jìn)行評價和排序。因此，當(dāng)備選評價方案數(shù)量較大時會帶來大量的重復(fù)性工作，甚至有時會產(chǎn)生決策難產(chǎn)或決策混亂[2]。

至于引起AHP中逆向排序問題的原因，許多學(xué)者進(jìn)行了研究并得出了不同的結(jié)論。Belton等[1]認(rèn)為該問題是由于評價對象的各屬性指標(biāo)值規(guī)范化引起，而Triantaphyllou[3]則認(rèn)為是由計算各方案綜合評價值的加權(quán)和方法引起。在已有研究的基礎(chǔ)上，本文認(rèn)為引起逆向排序問題的根本原因在于AHP采用同樣的方法計算評價準(zhǔn)則權(quán)重和方案權(quán)重。這是因為在AHP的層次結(jié)構(gòu)中，同一方案的不同屬性重要性之間是具有相關(guān)性的，因此用兩兩比較方法確定屬性權(quán)重是合理的。但是，就同一屬性指標(biāo)而言，不同方案的取值之間是相互獨立的，并不具有關(guān)聯(lián)性，因此，認(rèn)為方案權(quán)重應(yīng)該基于某種獨立的標(biāo)準(zhǔn)或某種共同的標(biāo)度來確定，而不能采用兩兩比較判斷矩陣的方法來獲得。

其次，方案評價過程中的不確定性信息主要有三類，分別為不精確評價信息、不確定性評價信息和不完全性評價信息。雖然FAHP能夠有效處理決策過程中的不精確評價信息（模糊信息），但卻無法處理方案評價過程中普遍存在的不確定評價信息和不完全評價信息。

證據(jù)推理（Evidential Reasoning，ER）理論是一種既能處理定性決策信息，又能處理定量決策信息的不確定性推理理論。它通過建立信度矩陣來表達(dá)決策者的主觀判斷信息，對目標(biāo)的評價以各評價準(zhǔn)則下不同取值（或評價等級）上的信度來表示。證據(jù)理論為多準(zhǔn)則決策問題提供了一種全新的描述方式，它采用統(tǒng)一的框架來描述決策過程中的各種不確定信息，已在專家系統(tǒng)、數(shù)據(jù)融合和決策分析等領(lǐng)域得到廣泛的應(yīng)用[4-6]。

鑒于FAHP用于產(chǎn)品方案評價時尚存在的不足，本文對其進(jìn)行了擴展，將FAHP中的準(zhǔn)則權(quán)重和方案權(quán)重分開處理，將不確定性推理的ER理論引入FAHP進(jìn)行底層方案權(quán)重的計算，而評價準(zhǔn)則權(quán)重則依然通過建立模糊判斷矩陣的方式獲得，在此基礎(chǔ)上提出了一種方案選擇評價的混合決策模型FAHP-ER，由于ER在不確定信息和不完全信息處理方面的優(yōu)越性，混合模型較FAHP在不確定信息處理方面有了很大的提高。

2 方案評價過程中的不確定性分析

產(chǎn)品方案評價過程中的不確定信息主要有不精確信息、不確定信息和不完全信息。下面分別對這三種不確定信息進(jìn)行描述。

首先，在新產(chǎn)品開發(fā)的早期階段，設(shè)計數(shù)據(jù)和信息的缺乏導(dǎo)致產(chǎn)品方案的各評價指標(biāo)無法準(zhǔn)確估計，幾乎沒有完全可靠的定量信息用于支持方案的評價決策，決策者只能憑借以前的經(jīng)驗對方案做出定性的判斷，這種判斷多以模糊語言值的形式進(jìn)行表達(dá)。例如，用“較差”、“很好”等語言短語表達(dá)決策者的主觀判斷，這種語言描述的表達(dá)方式本身就具有一定的主觀性和模糊性，體現(xiàn)了方案評價過程中判斷的不精確性。

其次，在新產(chǎn)品開發(fā)早期的方案設(shè)計階段，決策者掌握的信息非常有限，對目標(biāo)對象認(rèn)識不夠充分，因此決策者在對方案進(jìn)行評價時，無法準(zhǔn)確確定方案的屬性指標(biāo)值或具體的評價等級，更多的是給出屬性在不同評價等級或等級區(qū)間上的信度。例如，就方案的可制造性而言，若其評價等級為{很差，差，一般，好，很好}，決策者給出的判斷是：有0.7的把握判斷可制造性“好”，有0.3的把握判斷可制造性介于“好”和“很好”之間。采用評價等級或評價等級區(qū)間上的信度充分表達(dá)了決策者主觀判斷上的不確定性。

另外一類不確定信息來自于決策者判斷上的不完全性。例如對于上面的方案可制造性評價實例，如果決策者作出的判斷為：有0.5的把握認(rèn)為該方案的可制造性“好”，有0.3的把握認(rèn)為該方案的可制造性“中等”。在此，“好”和“中等”是評價等級集中兩個不同的評價等級，0.5和0.3是它們的置信度。在此評價中，決策者評價的置信度之和為0.8，小于1，它表示決策者的評價是不完全的。

3 基于ER算法的方案評價值計算

采用ER方法計算FAHP底層的方案權(quán)重時，證據(jù)表示方案的評價指標(biāo)，而辨識框架則表示評價等級集合，基本概率分配函數(shù)表示方案在不同評價等級下的信度。在產(chǎn)品方案評價的實際情況中，不同的屬性指標(biāo)可能有不同的評價等級，例如，可以用{很差，差，中等，好，很好}五個等級來描述可制造性；可以用{快，中，慢}來描述上市時間，這樣的表示方式不利于信息的集結(jié)，因而有必要為各屬性評價指標(biāo)建立統(tǒng)一的評價術(shù)語等級集合[7-8]。

令Hn，i為第i個屬性的第n個等級，γn，i(al)為方案al賦予等級Hn，i的信度。對于屬性i，其評價等級可以描述為：

決策者對方案al在屬性ei上的一個主觀估計可表示為：

為了在統(tǒng)一的辨識框架下對各方案的所有屬性進(jìn)行評價，首先定義一個統(tǒng)一的基本評價等級集合，然后等價地把各個屬性上的評價轉(zhuǎn)換到該基本集上，目的是便于在統(tǒng)一的評價術(shù)語集上對方案各屬性進(jìn)行評價。

現(xiàn)定義N個明確的評價等級Hn(n=1，2，…，N)作為完備集（統(tǒng)一證據(jù)框架）用來統(tǒng)一評價各個方案多屬性下的值：

屬性集E={ei，i=1,2,…,L}下多方案al(l=1,2,…,Μ)的評價問題就可以不同屬性ei下各方案al相應(yīng)評價的期望程度來表示：

特別地，當(dāng)Hi與H具有相同的評價等級數(shù)且Hi中的每個評價術(shù)語與統(tǒng)一評價等級集H中的每個評價術(shù)語之間一一對應(yīng)時，則有式（5）中的αl，n=1。

上述式（5）是一種知識性規(guī)則，根據(jù)實際問題由專家或經(jīng)驗豐富的決策者來提供。

通過上述不同證據(jù)框架向統(tǒng)一證據(jù)框架的轉(zhuǎn)換，對屬性集E={ei，i=1，2，…，L}下方案al(l=1，2，…，Μ)的評價問題就可以不同屬性ei下各方案al基于統(tǒng)一證據(jù)框架下相應(yīng)評價的期望程度來表示：

為了表達(dá)決策者對辨識框架下各評價等級的偏好程度，定義統(tǒng)一辨識框架H={H1，H2，…，HN}上的線性效用函數(shù)μ(H)={μ(H1)，μ(H2)，…，μ(HN)}，0≤μ≤1。效用值0對應(yīng)評價等級中決策者最不滿意的評價，效用值1則對應(yīng)評價等級中決策者最滿意的評價。其他評價等級的效用值滿足0到1之間的線性分布。如果統(tǒng)一證據(jù)框架有5個評價等級，則各等級對應(yīng)的效用值分別為：μ(H1)=0，μ(H2)= 0.25，μ(H3)=0.5，μ(H4)=0.75，μ(H5)=1。效用值作為決策者偏好的統(tǒng)一量化測度，使得不同方案的屬性指標(biāo)之間能夠進(jìn)行相互比較和運算。

在已知各評價等級的效用值和各等級信度的條件下，方案al在屬性ei下評價的期望效用值為：如果判斷不完備，則存在一定程度βu，i的不確定性。在此考慮兩個極端的情況，即不確定性判斷分別屬于決策者給出的最差評價等級和最好評價等級，由此造成期望效用值存在一個最低效用值和一個最高效用值，其中不確定判斷全部為最優(yōu)評價而計算得到的是最高效用值，不確定判斷全部為最差評價而計算得到的是最低效用值。該方法同樣適用于決策者的評價為等級區(qū)間的情形。例如，對于某方案的可制造性指標(biāo)，選擇其評價等級集為Hm={Hm1，Hm2，Hm3，Hm4，Hm5}={很差，差，中等，好，很好}，若決策者的判斷為：{(Hm3-Hm4，0.6)，(Hm4-Hm5，0.3)}，則該方案可制造性評價的最低效用值為：(0.6+0.1)×μ(Hm3)+0.3×μ(Hm4)=0.58，最高效用值為：0.6×μ(Hm4)+(0.3+0.1)×μ(Hm5)=0.85。

綜上分析，計算方案權(quán)重時決策者評價的不確定性和不完備性使得其評價結(jié)果是一個效用值區(qū)間。不失一般性，設(shè)最小偏好等級H1有最低效用，最大偏好等級HN具有最高效用，則最大和最小效用分別為：

4 FAHP-ER決策模型

在一般的FAHP決策框架中，對評價準(zhǔn)則權(quán)重和底層方案權(quán)重的計算均采用求解模糊判斷矩陣的方法來獲得。這種用相同方法求解準(zhǔn)則權(quán)重和方案權(quán)重的過程可能會引起FAHP的逆向排序問題，而且無法處理方案評價過程中的各種不確定決策信息和不完全決策信息。因此，本文通過將ER方法引入FAHP的體系結(jié)構(gòu)而對FAHP進(jìn)行了擴展，提出了FAHP-ER的混合決策模型。在FAHP-ER中，ER方法用來計算方案在其各屬性指標(biāo)上的性能評價，而各準(zhǔn)則及子準(zhǔn)則的相對重要性權(quán)重則依然采用FAHP中構(gòu)建兩兩比較模糊判斷矩陣的方式來獲得。最后，通過AHP中的權(quán)重合成方法計算各方案對總決策目標(biāo)的綜合性能評價值，然后基于該綜合性能評價值進(jìn)行方案的優(yōu)選排序。例如，對于圖1所示的產(chǎn)品方案評價的層次模型，其權(quán)重合成過程為：

圖1 產(chǎn)品方案評價的層次結(jié)構(gòu)模型

設(shè)第k-1層上n(k-1)個元素相對于總目標(biāo)的合成權(quán)重向量為，第k層上元素對第k-1層第j個元素為準(zhǔn)則的單權(quán)重向量為，其中不對j產(chǎn)生影響的第k層元素的權(quán)重取值為零，第k層n(k)個元素對第k-1層各元素的合成權(quán)重為，則第k層元素對頂層總決策目標(biāo)的合成權(quán)重為

基于混合決策模型FAHP-ER的產(chǎn)品方案選擇評價流程如下：

（1）建立方案評價的指標(biāo)體系，確定決策目標(biāo)、準(zhǔn)則、子準(zhǔn)則以及備選方案等。

（2）針對準(zhǔn)則層、子準(zhǔn)則層各元素，分別構(gòu)建兩兩比較的模糊判斷矩陣并求解指標(biāo)權(quán)重。

（3）建立子準(zhǔn)則層各準(zhǔn)則的辨識框架，即確定各準(zhǔn)則的評價等級集。

（4）建立統(tǒng)一的證據(jù)辨識框架，確定各指標(biāo)辨識框架向統(tǒng)一辨識框架映射的知識性規(guī)則。

（5）確定方案在各準(zhǔn)則辨識框架上的信度，在統(tǒng)一辨識框架上建立方案評價的信度矩陣。

（6）定義統(tǒng)一辨識框架上的效用函數(shù)，并基于效用函數(shù)將信度矩陣轉(zhuǎn)變成期望效用值矩陣。

（7）由下到上依次進(jìn)行方案權(quán)重的合成，最終獲得各方案針對總決策目標(biāo)的綜合性能評價值。

5 實例分析

本文針對國內(nèi)某企業(yè)1 000 MW燃煤汽輪機組的開發(fā)中，分別提出的三種軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的設(shè)計方案進(jìn)行評價選擇。汽輪機轉(zhuǎn)子主要由主軸、葉輪、葉片、聯(lián)軸器、軸承等組成。工作時，轉(zhuǎn)子作高速旋轉(zhuǎn)，它除了傳送扭矩外，還要承受動葉片、葉輪和主軸上各零件質(zhì)量所產(chǎn)生的離心力、各部分溫差引起的應(yīng)力等。轉(zhuǎn)子系統(tǒng)作為高速旋轉(zhuǎn)機械的核心部件，它的任何缺陷都會影響到汽輪機的安全運行，嚴(yán)重者還會造成重大的設(shè)備和人員事故。轉(zhuǎn)子系統(tǒng)設(shè)計開發(fā)的效率和質(zhì)量是高速旋轉(zhuǎn)機械整機成功開發(fā)與安全運行的重要保證，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)示意圖如圖2所示。針對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的設(shè)計特點，首先建立它的方案評價指標(biāo)體系如圖3所示。

圖2 轉(zhuǎn)子軸系示意圖

圖3 軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)方案評價指標(biāo)體系

擬開發(fā)的汽輪機轉(zhuǎn)子包括高壓模塊、中壓模塊、低壓模塊以及發(fā)電機模塊，高壓和中壓模塊在方案設(shè)計階段需要考慮的問題包括：葉片級數(shù)、轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)型式、葉片結(jié)構(gòu)型式（包括第一級葉片和其余葉片）、軸承型式、聯(lián)軸器類型、低壓轉(zhuǎn)子的方案設(shè)計。

除了考慮上述問題外，還需要考慮末級葉片和次末級葉片的結(jié)構(gòu)型式。限于篇幅，具體的轉(zhuǎn)子設(shè)計方案在此省略。

設(shè)產(chǎn)品總體質(zhì)量評價的等級集為H={H1，H2，H3，H4，H5}={很差，較差，一般，較好，很好}。在此為簡單起見，假定所有的評價指標(biāo)等級都為5級，并且分別和產(chǎn)品總體方案質(zhì)量評價等級集H中的各個等級相對應(yīng)。例如，在評價可制造性指標(biāo)中，其評價等級為{很低，較低，中等，較高，很高}，分別等價于H中的H1、H2、H3、H4、H5。因此，在方案權(quán)重評價中，可以直接用H中的相應(yīng)等級來表示。在對方案進(jìn)行選擇評價時，決策人員通常對各種設(shè)計方案進(jìn)行橫向和縱向的分析與比較，并基于已有的設(shè)計經(jīng)驗對方案在各個評價指標(biāo)上進(jìn)行評價打分，對本文研究的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)方案，該企業(yè)設(shè)計人員對三種轉(zhuǎn)子方案進(jìn)行反復(fù)論證和比較后給出了表1所示的轉(zhuǎn)子方案評價。

決策者確定的準(zhǔn)則權(quán)重和子準(zhǔn)則權(quán)重結(jié)果見表2所示，限于篇幅，具體的模糊比較判斷矩陣在此省略，并不影響對本文決策方法的理解。

表1 子準(zhǔn)則層轉(zhuǎn)子方案的評價

表2 屬性指標(biāo)權(quán)重

根據(jù)表1的屬性指標(biāo)評價和表2的屬性指標(biāo)權(quán)重，通過FAHP中的權(quán)重合成方法計算后獲得各方案對總目標(biāo)的綜合評價值。這里，因為屬性指標(biāo)權(quán)重為三角模糊數(shù)，而方案權(quán)重為效用區(qū)間，因此方案的綜合評價值為由三角模糊數(shù)區(qū)間，即區(qū)間的上下界均為三角模糊數(shù)，分別表示方案綜合評價的最差和最好值。軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)方案的綜合評價值為：

其中和分別為第i個方案最差評價和最好評價，i= 1，2，3。

為了便于方案之間的比較，需要采用解模糊運算將三角模糊數(shù)轉(zhuǎn)變成精確值點。對于三角模糊數(shù)A~=(a,b,c)而言，通常采用平均值解模糊運算為G(A~)=(a+b+c)/3。因此，對上述方案綜合評價值，解模糊后的結(jié)果為：

可見，方案3的最壞評價與最好評價均好于方案1和方案2的最壞評價與最好評價，因此，可以肯定方案3優(yōu)于方案1和方案2。同時，方案1也因為同樣的原因而優(yōu)于方案2。然而，由于方案3的最壞評價值低于方案1的最好評價值，因此方案1有可能會優(yōu)于方案3。

從上面的評價結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，三個方案評價的不確定性程度分別為0.244，0.114和0.129。方案1的不確定性程度大于方案2和方案3。盡管根據(jù)評價結(jié)果方案3優(yōu)于方案2，但是方案3評價結(jié)果的不確定性程度大于方案2。為了減小評價結(jié)果的不確定性程度，可以采用下面的策略：

（1）收集更多的產(chǎn)品設(shè)計信息以降低評價過程的不確定性；

（2）調(diào)整或重新考慮屬性指標(biāo)權(quán)重；

（3）邀請更有經(jīng)驗的多學(xué)科專家參與方案評價的群決策。

此外，除了采用上述區(qū)間端點比較的方法確定方案的優(yōu)劣外，還可以采用求最壞評價和最好評價平均值的方法來確定方案性能優(yōu)劣。例如，對上述三個轉(zhuǎn)子方案的區(qū)間評價結(jié)果，求平均值后的結(jié)果為方案3優(yōu)于方案1，方案1優(yōu)于方案2，它們評價結(jié)果的平均值分別為：0.797，0.737，0.522。

6 結(jié)論

針對模糊層次分析法用于產(chǎn)品方案評價時存在的不足，本文將不確定性推理的ER理論引入FAHP的體系結(jié)構(gòu)進(jìn)行底層方案權(quán)重的計算，并基于FAHP和ER方法提出了一種產(chǎn)品方案評價的混合決策模型FAHP-ER，由于ER能有效處理決策過程中的判斷不確定信息和不完全信息，因此，混合模型大大提高了不確定性信息處理的能力，能夠很好地解決產(chǎn)品方案評價過程中遇到的各種不確定性信息，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的方案評價實例說明本文提出的混合決策模型的有效性。

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YAN Lijun1，2,WU Caipeng1,SUN Yujie1,ZHANG Xiaofang1,SHEN Qingming1,2

1.Northwest Institute of Mechanical&Electrical Engineering,Xianyang,Shaanxi 712099,China
2.State Key Lab of Manufacturing Systems Engineering,Xi’an Jiaotong University,Xi’an 710049,China

In view of two problems existing in FAHP,one is rank reversal problem and another is the limited capability in dealing with uncertainty.When it is applied to evaluation and selection for product schemes,this paper intends to treat criterion weights and performance scores of alternatives on criteria separately and introduce Evidential Reasoning（ER）theory,which is good at uncertain reasoning,into the systematic framework of FAHP to calculate the performance scores of alternatives.Then a hybrid group based decision model FAHP-ER is proposed by combining both FAHP and ER approach together,which enhances capability of FAHP in dealing with uncertainty,another weakness in FAHP,due to introduction of ER algorithm.A case study for rotor and bearing system scheme evaluation is presented to demonstrate the application of hybrid decision model and finally a reasonable rotor system scheme is obtained.

fuzzy Analytic Hierarchy Process（AHP）;rank reversal;evidential reasoning theory;scheme evaluation;rotor and bearing system

針對模糊層次分析法（Fuzzy AHP，F(xiàn)AHP）用于產(chǎn)品方案評價時存在的逆向排序問題和不確定信息處理問題，分析其原因后將不確定性推理的證據(jù)推理（Evidential Reasoning，ER）理論引入FAHP的層次結(jié)構(gòu)進(jìn)行底層方案評價值的計算，在此基礎(chǔ)上提出了FAHP-ER混合決策模型，該模型由于ER的引入而大大提高了它在不確定信息處理方面的能力，從而克服了FAHP方法對不確定信息處理不足的問題。用一個軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)設(shè)計方案的評價實例對混合決策模型進(jìn)行了驗證，很好地處理了方案評價過程中決策者的各種主觀不確定信息，在此基礎(chǔ)上獲得了最佳的轉(zhuǎn)子設(shè)計方案。

模糊層次分析法；逆向排序；證據(jù)理論；方案評價；軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)

A

TP391.72

10.3778/j.issn.1002-8331.1205-0175

YAN Lijun,WU Caipeng,SUN Yujie,et al.Group based product scheme evaluation model based on fuzzy AHP and evidential reasoning theory.Computer Engineering and Applications,2013,49（18）：232-236.

國家高技術(shù)研究發(fā)展計劃（863）（No.2007AA04Z121）。

閆利軍（1980—），男，博士，工程師，研究方向為仿真優(yōu)化、協(xié)同決策；吳彩鵬（1978—），男，博士，工程師，研究方向為機械設(shè)計；孫玉杰（1978—），男，博士，工程師，研究方向為機械設(shè)計；張曉芳（1978—），女，工程師，研究方向為機械設(shè)計；申清明（1981—），男，博士，工程師，研究方向為機械設(shè)計、仿真優(yōu)化。E-mail：yanlijun@yahoo.com.cn

2012-05-21

2012-08-07

1002-8331（2013）18-0232-05

CNKI出版日期：2012-09-07 http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20120907.0859.007.html