劉 超， 孫 秦， 劉彥杰， 范學(xué)領(lǐng)

（西北工業(yè)大學(xué)航空學(xué)院，西安 710072）

其中f為第一主應(yīng)力不變量I1和第三偏應(yīng)力不變量J3某種形式的函數(shù);εp表示等效塑性應(yīng)變;εpf表示斷裂發(fā)生時(shí)材料點(diǎn)的等效塑性應(yīng)變。其中εp反映了第二偏應(yīng)力不變量J2的影響。結(jié)合EWK和X-W兩種延性斷裂模型的各自特點(diǎn)，同時(shí)采用EWK模型中的損傷與塑性過(guò)程非耦合的損傷累積理論提出了一種同樣基于三應(yīng)力不變量的延性斷裂模型。

改進(jìn)的三應(yīng)力不變量延性斷裂模型依據(jù)X-W模型的斷裂包線(xiàn)形式，其中綜合考慮到靜水壓力和Lode角的影響。其斷裂包線(xiàn)εf表達(dá)式定義為:

在表達(dá)式（7）中εf0為靜水壓力p為零時(shí)的斷裂應(yīng)變 ，μp（p）為靜水壓力 p的函數(shù)，μθ（θ）為 Lode角θ的函數(shù)，其表達(dá)式為:

裂紋是引起航空航天領(lǐng)域中各種金屬結(jié)構(gòu)、零部件失效的重要因素。因此，掌握裂紋擴(kuò)展的規(guī)律及控制裂紋的擴(kuò)展在工程應(yīng)用上具有重要意義。金屬板材的單向拉伸試驗(yàn)為結(jié)構(gòu)壽命分析和剩余強(qiáng)度計(jì)算提供了基本數(shù)據(jù)參考。因此，模擬金屬板材在單向拉伸狀態(tài)下的裂紋形成與擴(kuò)展直至完全斷裂的全過(guò)程是一個(gè)不可或缺的內(nèi)容。在工程應(yīng)用中，金屬薄板通常簡(jiǎn)化為完全平面應(yīng)力狀態(tài)進(jìn)行力學(xué)分析。然而從嚴(yán)格意義上講，這種簡(jiǎn)化只適用于很薄且尺寸較大的薄板。隨著薄板的厚度增加，有限厚度的金屬板材的斷裂過(guò)程比平面應(yīng)力狀態(tài)下更加復(fù)雜，在三維狀態(tài)下進(jìn)行有限元數(shù)值計(jì)算比二維情況下能更好地反映板材沿厚度方向上的裂紋擴(kuò)展情況。

Taira和Tanaka［1］應(yīng)用斷裂力學(xué)方法研究了在拉伸狀態(tài)下含初始裂紋的金屬板裂紋尖端應(yīng)力分布及厚度對(duì)材料斷裂韌性地影響。Pardoen［2，3］等研究了不同厚度的鋁合金6082T0含雙邊初始裂紋的薄板試件的載荷位移曲線(xiàn)并與試驗(yàn)曲線(xiàn)進(jìn)行了對(duì)比分析，并研究了J積分的變化。上述文章均采用斷裂力學(xué)方法進(jìn)行研究，這就決定了所選薄板試件必須含有初始裂紋。而針對(duì)無(wú)初始裂紋的光滑薄板在拉伸狀態(tài)下從裂紋萌生和擴(kuò)展直至斷裂的全過(guò)程，應(yīng)用斷裂力學(xué)的分析方法就顯出其局限性。因此，基于連續(xù)介質(zhì)損傷力學(xué)破壞準(zhǔn)則與有限元數(shù)值計(jì)算相結(jié)合成為預(yù)測(cè)工程結(jié)構(gòu)在復(fù)雜載荷條件下漸進(jìn)破壞過(guò)程的最有效技術(shù)途徑。一系列關(guān)于韌性材料構(gòu)件的失效機(jī)理的研究和適用與韌性材料的斷裂準(zhǔn)則被相繼提出，并應(yīng)用于模擬和預(yù)測(cè)構(gòu)件的失效行為［4～9］。但是，這些文獻(xiàn)中均未綜合考慮靜水壓力和Lode角在韌性材料斷裂過(guò)程中對(duì)損傷變量的作用。Kamoulakos在 E-W［10］模型的基礎(chǔ)上，提出了EWK［11］模型。該模型認(rèn)為裂紋的萌生和擴(kuò)展直至完全斷裂是材料的連續(xù)特性，并認(rèn)為材料應(yīng)變損傷累積到斷裂閥值時(shí)導(dǎo)致結(jié)構(gòu)斷裂。Xue和Wierzbicki［12］在研究大量斷裂模型基礎(chǔ)上，提出了一種新的斷裂模型（X-W模型），該模型提出了斷裂包線(xiàn)的概念以及損傷與塑性過(guò)程耦合的損傷累積理論，并給出了歸一化的損傷累積模型。這兩個(gè)基于連續(xù)損傷力學(xué)理論的延性破壞模型包含了3個(gè)應(yīng)力不變量對(duì)塑性破壞的影響作用，并考慮了Lode角和靜水壓力的作用，因此其適用性更強(qiáng)，但各自也有其局限性。

為更好地?cái)?shù)值模擬金屬構(gòu)件的靜力漸進(jìn)破壞過(guò)程，本文依然保留X-W斷裂模型的斷裂包線(xiàn)形式，同時(shí)為了便于工程應(yīng)用，采用EWK模型中的損傷與塑性過(guò)程非耦合的損傷累積理論。提出了一種改進(jìn)的3應(yīng)力不變量延性金屬斷裂模型。通過(guò)ABAQUS用戶(hù)材料子程序VUMAT將該改進(jìn)模型嵌入有限元顯式算法（準(zhǔn)靜態(tài)）主程序，并應(yīng)用于鋁合金2A12-T4板材的靜力破壞過(guò)程的模擬，最后與試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比分析。

1 基于連續(xù)損傷力學(xué)的延性斷裂模型

1.1EWK 模型

EWK延性斷裂模型認(rèn)為結(jié)構(gòu)中微小裂紋的萌生和擴(kuò)展，直至完全斷裂是材料應(yīng)變損傷不斷累積而產(chǎn)生的結(jié)果［13］。EWK延性斷裂模型的一般表達(dá)式如下:

其中s1＞s2＞s3，si為主偏應(yīng)力，εp為等效塑性應(yīng)變，εpf為斷裂時(shí)的等效塑性應(yīng)變，α，β均為材料常數(shù)，p為材料點(diǎn)的靜水壓力，plim也是材料常數(shù)，代表了無(wú)缺陷時(shí)理想狀態(tài)的極限靜水壓力。當(dāng)損傷變量D達(dá)到臨界值Dc時(shí)材料點(diǎn)發(fā)生斷裂。EWK模型采用損傷與塑性過(guò)程非耦合的損傷累積理論，即材料的彈塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系獨(dú)立于損傷變量的演化。因而較易與工程應(yīng)用相結(jié)合，以決定其材料參數(shù)，但不具備斷裂包線(xiàn)的概念。

1.2X-W 模型

X-W延性斷裂模型由麻省理工大學(xué)的Xue和Wierzbick提出，該模型采用損傷變量與材料塑性變形過(guò)程相耦合的損傷累積理論，并建立了相應(yīng)的積分型斷裂準(zhǔn)則。該準(zhǔn)則中提出了兩個(gè)重要的概念，其一是斷裂包線(xiàn)，其二是建立了相應(yīng)的損傷演化規(guī)則。其表達(dá)式如下:

其中μp（p）為靜水壓力函數(shù)，μθ（θ）為關(guān)于Lode角θ的函數(shù)。plim，γ，q，m均為材料常數(shù)，εf為斷裂包線(xiàn)，εf0為靜水壓力為零時(shí)的斷裂應(yīng)變。當(dāng)損傷變量D=1時(shí)材料點(diǎn)失效。

X-W模型較EWK模型新穎之處在于:（1）提出了斷裂包線(xiàn)的概念，從理論上更加清晰的揭示了損傷產(chǎn)生的機(jī)理;（2）在應(yīng)用中強(qiáng)調(diào)了損傷對(duì)塑性變形歷程中材料軟化的耦合作用。但是X-W模型也存在以下幾點(diǎn)不足:（1）與塑性過(guò)程耦合的損傷演化理論中涉及的無(wú)損傷狀態(tài)下塑性變形時(shí)的本構(gòu)曲線(xiàn)不能由試驗(yàn)得到，且從數(shù)學(xué)上很難準(zhǔn)確構(gòu)造，因而限制其工程應(yīng)用的范圍;（2）損傷累積公式中出現(xiàn)的參數(shù)m是由Manson-Coffin公式和Palmgren-Mines準(zhǔn)則確定的，然而Manson-Coffin公式和 Palmgren-Mines準(zhǔn)則是針對(duì)疲勞斷裂提出的，所以參數(shù)m的確定不能很好地得到理論與實(shí)驗(yàn)的支持。

1.3 改進(jìn)的三應(yīng)力不變量延性斷裂模型

上述兩種模型的損傷公式中均體現(xiàn)了第一主應(yīng)力不變量I1、第二偏應(yīng)力不變量J2和第三偏應(yīng)力不變量J3對(duì)損傷變量D的影響。因而，這兩種模型的一般表達(dá)式也可寫(xiě)為如下形式:

其中f為第一主應(yīng)力不變量I1和第三偏應(yīng)力不變量J3某種形式的函數(shù);εp表示等效塑性應(yīng)變;εpf表示斷裂發(fā)生時(shí)材料點(diǎn)的等效塑性應(yīng)變。其中εp反映了第二偏應(yīng)力不變量J2的影響。結(jié)合EWK和X-W兩種延性斷裂模型的各自特點(diǎn)，同時(shí)采用EWK模型中的損傷與塑性過(guò)程非耦合的損傷累積理論提出了一種同樣基于三應(yīng)力不變量的延性斷裂模型。

改進(jìn)的三應(yīng)力不變量延性斷裂模型依據(jù)X-W模型的斷裂包線(xiàn)形式，其中綜合考慮到靜水壓力和Lode角的影響。其斷裂包線(xiàn)εf表達(dá)式定義為:

在表達(dá)式（7）中εf0為靜水壓力p為零時(shí)的斷裂應(yīng)變 ，μp（p）為靜水壓力p的函數(shù)，μθ（θ）為 Lode角θ的函數(shù)，其表達(dá)式為:

式（8）中q和式（9）中γ均為材料常數(shù)，式（9）中Lode角θ一般用來(lái)判定結(jié)構(gòu)中某一點(diǎn)的偏應(yīng)力狀態(tài)，其表達(dá)式如下:

其中，S1，S2，S3為遞減順序的三個(gè)主偏應(yīng)力。

改進(jìn)的三應(yīng)力不變量延性斷裂模型采用線(xiàn)性損傷演化方程如下:

式（11）相應(yīng)的微分形式為:

損傷的累積就可以表達(dá)為如下的積分形式:

其中D為損傷變量，εp為等效塑性應(yīng)變，εf為斷裂包線(xiàn)。式（13）中，當(dāng) εp=0時(shí)，D=0，材料點(diǎn)無(wú)損傷。當(dāng)εp=εpf時(shí)，D=1，材料點(diǎn)失效。由式（7）至式（13）可得改進(jìn)的三應(yīng)力不變量延性斷裂模型的表達(dá)式如下:

D=0，材料點(diǎn)無(wú)損傷。D=1，材料點(diǎn)失效。該改進(jìn)的三應(yīng)力不變量延性斷裂模型的優(yōu)點(diǎn)在于保留了X-W斷裂模型的斷裂包線(xiàn)的表達(dá)形式，同時(shí)采用EWK模型中的損傷與塑性過(guò)程非耦合的損傷累積理論，便于工程應(yīng)用。

2 金屬板構(gòu)件拉伸試驗(yàn)

金屬構(gòu)件單向拉伸試驗(yàn)所選材料為高強(qiáng)度變形鋁合金2A12-T4。該合金具有良好的塑性成型能力和機(jī)械加工性能，能夠獲得各種類(lèi)型的制品。因此2A12-T4在航空工業(yè)中得到了廣泛應(yīng)用，其主要化學(xué)成分見(jiàn)表1。

四種金屬構(gòu)件試驗(yàn)分別為:兩種不同厚度的光滑板材拉伸試驗(yàn)（試件a和b），兩種不同厚度的帶有中心孔板拉伸試驗(yàn)（試件c和試件d），試驗(yàn)依據(jù)為HB5143-96。四種金屬構(gòu)件的拉伸試驗(yàn)均在Instron8801試驗(yàn)機(jī)上進(jìn)行。試驗(yàn)件尺寸見(jiàn)表2，圖1。4種試件斷裂時(shí)裂紋擴(kuò)展形貌見(jiàn)圖2。由試驗(yàn)所得兩種不同厚度光滑板材的工程應(yīng)力-工程應(yīng)變曲線(xiàn)見(jiàn)圖3。

表1 鋁合金2A12-T4的化學(xué)成分（質(zhì)量分?jǐn)?shù)/%）Table 1 Chemical compositions of 2A12-T4（mass fraction/%）

表2 四種試驗(yàn)件尺寸Table 2 Geometry of four specimens

圖1 試驗(yàn)件尺寸Fig.1 Geometry of specimens

由圖3所示曲線(xiàn)發(fā)現(xiàn):不同厚度的光滑板材雖然均為標(biāo)準(zhǔn)試件，且材料相同但是由試驗(yàn)得出的應(yīng)力應(yīng)變曲線(xiàn)卻并非相同。薄板材的屈服應(yīng)力和屈服極限均小于較厚板材的對(duì)應(yīng)值，通過(guò)查閱相關(guān)材料試驗(yàn)手冊(cè)［14］也發(fā)現(xiàn)了同樣的現(xiàn)象。從工程應(yīng)用的角度出發(fā)，選擇薄板材的應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)是相對(duì)安全的。但是從科學(xué)研究和有限元仿真的角度出發(fā)，本文對(duì)光滑薄板（試件a）和厚度t=1.1mm帶有中心孔板（試件c）因其厚度相同而選擇試件a單向拉伸所得試驗(yàn)結(jié)果，對(duì)厚度t=5mm光滑板材（試件b）和厚度t=6.3mm帶有中心孔板（試件d）因其厚度接近而選擇試件b單向拉伸所得的試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。

3 金屬板構(gòu)件拉伸試驗(yàn)數(shù)值計(jì)算

3.1 三維有限元模型和算法流程

由于四種金屬板材試驗(yàn)件及載荷在厚度方向（z方向），寬度方向（x方向）和長(zhǎng)度方向（y方向）對(duì)稱(chēng)。為了更直觀的將有限元仿真結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比分析，以試件d為例，有限元模型選擇真實(shí)試件的1/4，分別沿厚度方向（z方向）取一半，寬度方向（x方向）取一半。如圖4，圖5所示，在厚度方向（其對(duì)稱(chēng)面為ADFG面，z=0）和寬度方向（其對(duì)稱(chēng)面為ABCD面，x=0）的對(duì)稱(chēng)面上施加對(duì)稱(chēng)約束，長(zhǎng)度方向（y方向）一端施加位移約束，另一端添加位移載荷（沿y正方向垂直于面CEFD）。劃分網(wǎng)格時(shí)兩端稀疏，孔邊危險(xiǎn)區(qū)域加密，最小單元尺寸選擇肉眼可直接觀測(cè)的最小裂紋長(zhǎng)度等于0.1mm，單元類(lèi)型采用縮。減積分體單元（C3D8R）。為了驗(yàn)證改進(jìn)的三應(yīng)力不變量延性金屬斷裂模型的有效性，通過(guò)編寫(xiě)用戶(hù)材料子程序VUMAT的方式將該延性金屬斷裂模型嵌入ABAQUS準(zhǔn)靜態(tài)算法主程序來(lái)模擬金屬板材試件的整個(gè)斷裂過(guò)程［15］。有限元數(shù)值計(jì)算所選材料彈性模量E=71200MPa，密度ρ=2700kg/m3，泊松比 μ =0.33，材料常數(shù) εf0=0.35，q=1000，γ=0.25，plim=0.55?？傮w算法的實(shí)現(xiàn)是建立在對(duì)有限單元積分點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算的基礎(chǔ)上。商業(yè)有限元軟件ABAQUS/explicit準(zhǔn)靜態(tài)算法主程序?qū)γ總€(gè)單元的每個(gè)積分點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算，在一個(gè)增量步之內(nèi)完成計(jì)算后，VUMAT子程序?qū)⒅鞒绦虻玫降脑摂嗔涯Ｐ退鑵?shù)進(jìn)行提取，通過(guò)子程序計(jì)算出損傷變量D，若損傷變量D達(dá)到斷裂閥值1，通過(guò)內(nèi)部變量傳遞至主程序令該單元失效。否則不做任何變化，遍歷所有單元積分點(diǎn)進(jìn)行判斷后，程序進(jìn)入下一增量步計(jì)算。整個(gè)加載過(guò)程的若干增量步中主程序與子程序之間實(shí)時(shí)進(jìn)行通信。載荷施加完畢時(shí)輸出最終結(jié)果，算法流程圖如圖6所示。本算法最終斷裂在單元上發(fā)生，通過(guò)刪除單元來(lái)模擬裂紋擴(kuò)展，直至構(gòu)件完全斷裂。

3.2 試驗(yàn)數(shù)據(jù)與有限元仿真結(jié)果對(duì)比分析

數(shù)值計(jì)算中考慮延性金屬有限變形的彈塑性效應(yīng)（物理非線(xiàn)性）和幾何非線(xiàn)性效應(yīng)通過(guò)編寫(xiě)用戶(hù)材料子程序VUMAT將改進(jìn)的三應(yīng)力不變量延性斷裂模型嵌入ABAQUS非線(xiàn)性有限元顯式算法主程序，選用位移加載的方式單向拉伸四種高強(qiáng)度變形鋁合金2A12-T4板材試件直至斷裂。

圖7 4種試件裂紋擴(kuò)展 （a）試樣a;（b）試樣b;（c）試樣c;（d）試樣d;Fig.7 Crack propagation of four specimens（a）speciment-a;（b）speciment-b;（c）speciment-c;（d）speciment-d;

在ABAQUS后處理中應(yīng)用對(duì)稱(chēng)顯示分析結(jié)果的方式對(duì)1/4幾何模型分析結(jié)果進(jìn)行全尺寸模型結(jié)果顯示，改進(jìn)的三應(yīng)力不變量延性斷裂模型進(jìn)行的數(shù)值計(jì)算所得裂紋從萌生和擴(kuò)展直至完全斷裂過(guò)程見(jiàn)圖7。從圖7可知在寬度方向上光滑板材裂紋均從其中心處開(kāi)始萌生然后向邊緣開(kāi)始擴(kuò)展直至斷裂，帶孔板的裂紋沿孔邊的中心處開(kāi)始萌生并向邊緣擴(kuò)展。在厚度方向上裂紋先從模型的厚度中心處開(kāi)始萌生，然后向板的厚度和寬度邊緣擴(kuò)展。將數(shù)值仿真中裂紋擴(kuò)展形貌與圖2中真實(shí)試件的裂紋擴(kuò)展形貌對(duì)比，數(shù)值計(jì)算結(jié)果較好地反映了真實(shí)試驗(yàn)的斷裂過(guò)程，數(shù)值仿真所得裂紋擴(kuò)展形貌和裂紋擴(kuò)展路徑與真實(shí)實(shí)驗(yàn)結(jié)果基本一致。由單向拉伸試驗(yàn)所得4組載荷-位移曲線(xiàn)與有限元數(shù)值計(jì)算所得載荷-位移曲線(xiàn)對(duì)比見(jiàn)圖8。從圖8中4種板材試件的載荷-位移曲線(xiàn)對(duì)比中發(fā)現(xiàn)，仿真結(jié)果較好地預(yù)測(cè)了真實(shí)試驗(yàn)的載荷-位移曲線(xiàn)。在數(shù)值計(jì)算對(duì)四種板材試件的宏觀載荷-位移曲線(xiàn)進(jìn)行較好預(yù)測(cè)的基礎(chǔ)上，在ABAQUS軟件后處理分析的結(jié)果中提取了有限元模型的最先斷裂單元的真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)（如圖9所示）和斷裂單元的應(yīng)力三維度-等效塑性應(yīng)變曲線(xiàn)（如圖10所示）進(jìn)一步對(duì)微小單元進(jìn)行了探討。從圖9所示曲線(xiàn)可知:兩種不同厚度的光滑無(wú)孔板材（試件a和試件b）斷裂發(fā)生時(shí)單元應(yīng)變基本一致，而兩種不同厚度的帶有中心孔的板材試件（試件c和試件d）在斷裂發(fā)生時(shí)單元應(yīng)變相差較大。圖10通過(guò)對(duì)斷裂單元應(yīng)力三維度與等效塑性應(yīng)變的關(guān)系解釋了上述差異的原因:應(yīng)力三維度對(duì)斷裂發(fā)生時(shí)單元應(yīng)變影響顯著，隨著應(yīng)力三維度的增大，斷裂發(fā)生時(shí)單元的等效塑性應(yīng)變減小，因而單元的真實(shí)應(yīng)變也減小。圖10也反映出應(yīng)力三維度與構(gòu)件的幾何形狀具有密切相關(guān)性:兩種不同厚度的光滑無(wú)孔板材（試件a和試件b）隨著厚度的增加斷裂單元處應(yīng)力三維度變化不明顯，斷裂發(fā)生時(shí)單元應(yīng)變也相近。而兩種不同厚度的帶有中心孔的板材試件（試件c和試件d）隨著厚度的增加，在三向應(yīng)力作用下斷裂單元處應(yīng)力三維度相差明顯，因而斷裂發(fā)生時(shí)單元應(yīng)變也相差明顯。

圖8 對(duì)比載荷-位移曲線(xiàn)的試驗(yàn)數(shù)據(jù)和仿真結(jié)果Fig.8 Comparisons of load-displacement curves between experimental and simulation results:（a）specimen-a;（b）specimen-b;（c）specimen-c;（d）specimen-d

4 結(jié)論

（1）通過(guò)分析EWK和X-W兩種金屬延性斷裂模型，結(jié)合兩種斷裂模型的各自特點(diǎn)提出了一個(gè)改進(jìn)的三應(yīng)力不變量延性金屬斷裂模型，并將其應(yīng)用于金屬板材的靜強(qiáng)度漸進(jìn)破壞過(guò)程預(yù)測(cè)。

（2）使用改進(jìn)的三應(yīng)力不變量延性金屬斷裂模型很好地預(yù)測(cè)了4種無(wú)初始裂紋缺陷的高強(qiáng)度變形鋁合金2A12-T4板材試件在靜強(qiáng)度漸進(jìn)破壞時(shí)裂紋的萌生，擴(kuò)展直至完全斷裂的全過(guò)程。

（3）改進(jìn)的三應(yīng)力不變量延性金屬斷裂模型很好地預(yù)測(cè)了4種鋁合金板材試件的載荷-位移曲線(xiàn)，準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)了斷裂時(shí)的載荷，較好地反映了延性金屬材料的斷裂過(guò)程。

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