林大華

（閩江學院數(shù)學系，福建福州350108）

方陣的零因子

林大華

（閩江學院數(shù)學系，福建福州350108）

給出方陣零因子的概念，討論了方陣零因子的性質，及方陣存在零因子的條件，得到了若干結論，并用方陣零因子刻畫了矩陣理論中的若干結論.

方陣；零因子；性質

1 預備知識

本文用Pn×n既表示數(shù)域P上n方陣關于矩陣的加法與數(shù)乘運算構成的線性空間，也表示數(shù)域P上n方陣關于矩陣的加法與乘法運算構成的矩陣環(huán).用分別表示矩陣A的共軛矩陣，轉置矩陣，伴隨矩陣，秩.其它記號可參見文獻[1].

定理1-1設A，B∈Pn×n，則

1）AB=AB；

2）(AB)T=BTAT；

3）(AB)*=B*A*

定義1-1設A，X∈Pn×n則

1）當XA=0時，稱X是A的左零因子；

2）當AX=0時，稱X是A的右零因子；

3）當X既是A的左零因子，又是A的右零因子時，稱X是A的零因子.

顯然，n階零矩陣是所有n階方陣的零因子.方陣A的零矩陣以外的零因子（如果有的話），稱為A的非零零因子.

另外，所有n方陣都是A的左（右）零因子?A是零矩陣.

注：A的左（右）零因子未必是A的右（左）零因子.

2 主要結論

定理2-1若X,Y是A∈Pn×n的左（右）零因子，則

1）kX+lY也是A的左（右）零因子，其中k,l是數(shù)域P中任意數(shù)；

2）XY也是A的左（右）零因子；

3）Xm也是A的左（右）零因子，其中m是正整數(shù)；

4）XT是AT的右（左）零因子；

5）X*是A*的右（左）零因子；

6)?B∈Pn×n,BX(XB)仍是A的左（右）零因子.

證明若X,Y是A的左零因子，則XA=0,YA=0.

1）因為(kX+lY)A=k(XA)+l(YA)=k0+l0=0，所以kX+lY也是A的左零因子.

2）因為(XY)A=X(YA)=X0=0，所以XY也是A的左零因子.

3）因為XmA=Xm-1(XA)=Xm-10=0，所以Xm也是A的左零因子.

4）因為ATXT=(XA)T=0T=0，所以XT是AT的右零因子.

5）因為A*X*=(XA)*=0*=0，所以X*是A*的右零因子.

6）因為(BX)A=B(XA)=B0=0，所以BX是A的左零因子.

同理可證X,Y是A的右零因子時，結論也成立.

由定理2-1可知若A∈Pn×n有左（右）非零零因子，則A一定有無窮多個左（右）零因子，而且有下列推論.

推論2-2矩陣A∈Pn×n的所有左（右）零因子集合，構成線性空間Pn×n的子空間.

推論2-3矩陣A∈Pn×n的所有左（右）零因子集合，構成矩陣環(huán)Pn×n的左（右）理想.

定理2-4設A∈Pn×n，則A有非零左（右）零因子?r (A)

證明（?）設X是A的非零左零因子，則XA=0.若r (A)=n，則A可逆，于是有X=X(AA-1)=(XA)A-=0A-1=0，這與X是非零矩陣矛盾，故r(A)

同理可證，A有非零右零因子時，必要性也成立.

（?）因為r(AT)=r(A)

是非零矩陣，且ATX=0，從而XTA=0，即A有非零左零因子XT.

同理可證，A有非零右零因子.

定理2-5設Z，X∈Pn×n，則

1）X是A的右零因子?X的列向量是線性方程組Ax=0的解；

2）X是A的左零因子?X的行向量是線性方程組ATx=0的解；

證明1）設X(x1,x2,…,xn)，其中xi(i=1,2,…,n)是X的第i列.則AX=0?Axi=0?xi(i=1,2,…,n)是Ax=0的解.

2）因為XA=0?ATXT=0?XT的列向量是ATx=0的解?X的行向量是ATx=0的解.

推論2-6設A,X∈Pn×n，若X是A的左（右）零因子，則

證明若X是A的右零因子，則由定理2-5可知，X的列向量是線性方程組Ax=0的解，所以X的列向量可由線性方程組Ax=0的基礎解系線性表示，于是X的列向量組的秩小于等于線性方程組Ax=0的基礎解系所含向量的個數(shù)n-r (A)，即r(X)≤n-r(A)，故r(A)+r(X)≤n.

若X是A的左零因子，則由定理2-1可知，XT是AT的右零因子，于是有r(AT)+r(XT)≤n，又r(AT)=r(A)，r(XT)=r(X)，故r (A)+r(X)≤n.

定理2-7設A∈Pn×n，則r(A)=r

證明（?）因為r(A)=r

則r(X)=n-r，且

故X是A的秩為n-r的右零因子.

（?）設Y是A的秩為n-r的右零因子，則有AY=0，于是Y的列向量是線性方程組Ax=0的解.因為Y的秩為n-r，所以Y的列向量不全為零，從而Ax=0有非零解，故r(A) =r

定理2-8設A∈Pn×n，則

1）A無非零左零因子?A無非零右零因子；

2）A無非零左零因子??X，X∈Pn×n，當XA=YA時，有X=Y；

3）A無非零右零因子??X，X∈Pn×n，當AX=AY時，有X=Y.

證明1）由定理2-3可知，A無非零左零因子?r(A)=n?A無非零右零因子.

2）（?）當XA=YA時，有(X-Y)A=0，因為A無非零左零因子，所以有X-Y=0，故X=Y.

（?）若A有非零左零因子X，則有XA=0=0A，于是由條件有X=0，產生矛盾，故A無非零左零因子.

3）（?）當AX=AY時，有A(X-Y)=0，因為A無非零右零因子，所以有X-Y=0，故X=Y.

（?）若A有非零右零因子X，則有AX=0=A0，于是由條件有X=0，產生矛盾，故A無非零右零因子.

推論2-8設A∈Pn×n，則?X，Y∈Pn×n，由XA=YA可推出X=Y?由AX=AY可推出X=Y.

〔1〕北京大學數(shù)學系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組.高等代數(shù)（第三版）[M]．北京：高等教育出版社，2003．

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1673-260X（2013）09-0003-02