高晟耀，王德石，代仁文

(海軍工程大學 兵器新技術應用研究所，武漢 430033)

板是廣泛應用于艦船、航空、車輛、土木等工程領域的基本結構單元，獲得其聲學特征量解析解，對掌握結構輻射噪聲控制機理具有普遍的意義。結構聲振耦合問題的模態(tài)分析中，輻射阻抗表示結構振動和輻射聲場之間相互作用，成為評價振動結構聲輻射性能前提和關鍵，尤其是結構向重流體中輻射時，需要快速、精確地計算模態(tài)輻射阻抗。比較代表性的是將結構表面劃分網格，利用波數近似以及傅氏變換的方法求得單元輻射阻抗并求和［1］，然而稠密單元網格帶來巨大計算量的同時，嚴重制約了頻率分析范圍。而且，各階振動模態(tài)對結構聲學量的貢獻并不相互獨立［2-4］。由此需要改進輻射阻抗計算方法，進一步研究考慮振動模態(tài)耦合的結構聲振特性。在文獻［5 -7］的基礎上，本文采用坐標變換和級數逼近的方法，推導任意頻率下簡支板結構的模態(tài)輻射阻抗，研究其聲輻射特性隨振動模態(tài)耦合的變化規(guī)律，為噪聲控制提供技術基礎。

1 板結構聲輻射模型

為利用經典的板結構振動和聲輻射理論，獲得結構輻射噪聲控制機理，首先建立結構的聲輻射模型，分析板結構輻射噪聲產生原因及其組成?？紤]嵌在無限障板中的矩形平板，以角頻率ω 作簡諧振動，法向振動速度為v (x，y ) 。假設平板位于z=0 平面，向無窮大空間輻射聲波，選取空間中任意一點A( x，y，z ) ，B( x，y ) 為平板上的點，聲場介質密度為ρ，聲速為c，如圖1 所示。

圖1 嵌在無限障板中矩形板

由根據瑞利積分公式，聲場中任意一點r (x，y，z) 的聲壓

表示成矩陣形式

式(3)中，umn為模態(tài)振速幅值，ψmn振型函數。利用結構振動表面處的聲強積分，可以得到板結構輻射聲功率:

將式(1)和(2)代入方程(4)，則

式(5)中，R 為聲輻射阻即聲功率傳遞矩陣，其第項元素:

由聲場互易性原理知，輻射阻矩陣是對稱矩陣，其對角線元素對應自輻射阻，表示第(m，n)階振動模態(tài)對聲功率貢獻，非對角線項對應互輻射阻抗，表示第(m，n)與(m'，n')階模態(tài)之間的耦合對聲功率貢獻。

為研究結構振動模態(tài)耦合對輻射聲功率的影響，將其記:

可知聲功率由兩部分組成，其一是各階振動模態(tài)自身產生的自輻射聲功率，即

借助于計算機信息技術所構成的銀行系統數據庫，其能夠促使銀行的管理效率得到大幅度的提升，從而在一定層面上提高該銀行的競爭能力。就工商銀行為例進行分析，其是我國最早應用計算機信息技術構建強大數據庫的銀行。在銀行系統數據庫構建完成之后，工商銀行能夠在銀行的數據管理工作以及業(yè)務管理過程中進行信息計劃管理技術的合理應用，進而實現銀行整體信息化管理的雛形。借助于銀行系統數據庫的構建，還幫助工商銀行實現了集中化的管理模式，促使該銀行的管理水平得到大幅度的提升。

是正定矩陣，其特征值恒為正，則對角線元素Rmn，mn＞0，對于任意的模態(tài)振動速度umn≠0 恒有Wmn，mn＞0，故各階模態(tài)的自輻射聲功率將增強結構的總輻射功率。

其二是，聲場使得振動模態(tài)發(fā)生耦合，模態(tài)耦合產生互輻射聲功率。將第與階模態(tài)振速表示為，則

可以看出，和虛部相抵消，互輻射聲功率:

式(10)中，互輻射阻Rmn，m'n'是結構的固有屬性，它與結構的材料、尺寸、形狀、以及邊界條件與激勵頻率等因素有關，而uru'r+uiu'還與激勵力位置和相位相關。因此，結構振動模態(tài)間的耦合對輻射聲功率的影響存在不確定性，需要進一步從模態(tài)分析的角度比較自輻射阻抗與互輻射阻抗下的聲學特征量。

結構輻射效率是衡量結構聲輻射能力的重要指標，定義

根據式(8)、(10)和(11)，求得第(m，n)階結構振動模態(tài)的自輻射效率

2 模態(tài)輻射阻推導

研究典型的簡支板模型，對不同邊界和形狀輻射體的聲振特性分析具有參考價值。簡支板的振型函數ψmn表示:

式(14)中，αm=mπ/a，βm=nπ/b。

由于模態(tài)輻射阻表達式是四重積分，直接計算比較困難，需運用坐標變換化簡為二重積分。即令ε =x -x'，ν =y-y'，η=x+x'，τ=y+y'。根據模態(tài)數m 與m'、n 與n'的關系，得到

式(14)中

1)在中低頻情況下，考慮到解析解式(16)的積分實現，對應用麥克勞林級數，并結合函數冪級數展開式，可以得到輻射阻矩陣簡化后的解析式:

其中

2)在高頻情況下，波數增大時，式(18)需要足夠多的級數展開項才能保證其截斷誤差，為此sin(mπε)和cos(mπε)需用其泰勒級數展開替代，得到一組Bm(2p)和Tm( 2p )的修正式:

3 案例分析

選取四邊簡支的薄板，其幾何尺寸為1 m ×0.75 m ×0.003 m，材料密度ρ =7 800 kg/m3，泊松比υ =0.3，彈性模量E=2.1 ×e11N/m2，模態(tài)阻尼因子η=0.01，空氣密度ρ0=1.21 kg/m3，聲速c=343 m/s。

3.1 模態(tài)輻射阻抗變化規(guī)律

從圖2 中可以看出，變化趨勢上，模態(tài)自輻射阻隨波數增大而變大，達到峰值后逐漸趨于1，模態(tài)互輻射阻與其相比較小，在本征頻率附近出現較大起伏振蕩后趨于0;取值上，自輻射模態(tài)阻恒為正，而模態(tài)耦合項可能為負，低階模態(tài)間的輻射阻明顯大于高階模態(tài)間輻射阻，并隨著波數增加，各振動模態(tài)之間的耦合項減弱，即在高頻段，振動結構的輻射聲功率無需考慮模態(tài)之間的耦合作用。

圖3為不同縱橫比下模態(tài)自輻射和互輻射阻隨波數變化曲線。圖(a)表明，隨著縱橫比的減小，自輻射阻的駝峰增寬并向較高波數偏移;圖(b)利用第1 階模態(tài)的自輻射阻對互輻射阻作歸一化處理，可看出，兩較寬薄板自輻射阻最大值出現在ka=0 處，矩形板變窄時，互輻射阻抗的峰值向高波數偏移，印證模態(tài)耦合在低頻段對方板的輻射特性影響顯著。以上兩圖反映了結構振動向聲能的轉化能力與振動面的幾何特征相關。

圖2 模態(tài)自輻射與互輻射阻

圖3 縱橫比對輻射阻影響

3.2 振動模態(tài)耦合對聲輻射特性影響

考慮簡支薄板在位置(x0，y0)處受集中簡諧力Fsin(ωt)的激勵，模態(tài)分析理論知其(m，n)階模態(tài)速度表達式

式(20)中，η 為阻尼損耗因子，模態(tài)質量 Mmn=板的固有頻率彎曲剛度B=Eh3/12 ( 1 -υ2)。

結構模態(tài)輻射效率反映了簡支板不同模態(tài)所輻射聲功率能力的大小。對應(1，1)，(2，1)，(3，1)，(1，2)模態(tài)自輻射效率為σ11，σ22，σ33，σ44，(1，1)階模態(tài)與(3，1)階模態(tài)的互輻射效率為σ14，(2，1)階模態(tài)與(2，3)階模態(tài)的互輻射效率為σ28，計算結果如圖所4 所示。

由圖4 看出，低頻時的各階模態(tài)自輻射模態(tài)效率有較大差異，模態(tài)階數越高，其輻射效率越小。對于同一階振動模態(tài)，頻率越高，波長越短，輻射效率愈大。(奇，奇)模態(tài)的自輻射效率最高，(偶，奇)或(奇，偶)模態(tài)次之，(偶，偶)模態(tài)的自輻射效率最低。隨著波數的增大，各階振動模態(tài)的自輻射效率逐漸提高，最終趨向于1。對于振動模態(tài)的耦合，低頻時，模態(tài)(1，1)和(1，3)的互輻射效率僅(1，1)低于階模態(tài)的自輻射效率。高頻時，各階模態(tài)的自輻射頻率均大于其互輻射頻率，表明結構(奇，奇)振動模態(tài)低頻時有較強耦合作用，高頻時這種耦合相對振動模態(tài)自身的輻射聲功率能力較弱。

為考慮結構振動模態(tài)耦合對輻射聲功率的影響，分別在矩形板(0.25 m，0.187 5 m)和(0.5 m，0.35 m)處施加單位大小的簡諧激勵力時，結構(偶，奇)振動模態(tài)(2，1)和(2，3)之間耦合項對應的取值符號sign(w21，23)，如圖5 所示。從圖中可以看出，振動模態(tài)間的耦合對輻射聲功率的影響與激勵頻率和激勵位置有關。在某段頻率內，耦合項對輻射聲功率的貢獻可能為負，如果適當調整模態(tài)振速的相位，式(10)第2 項與第1 項抵消，可以降低振動結構的輻射聲功率，正是結構有源噪聲控制的機理，即在不改變系統的能量輸入和耗散的情況下，重置結構表面振速分布，使其成為弱輻射體［8］。

圖5 不同激勵位置的模態(tài)耦合項取值符號

圖6給出了激勵力作用在第一個位置時考慮模態(tài)間耦合和不考慮模態(tài)間的耦合的輻射聲功率曲線。兩條曲線基本吻合，模態(tài)耦合對輻射聲功率的影響較小，僅在局部小幅改變曲線的數值，此算例中的耦合作用可以忽略不計。所以，抑制表面模態(tài)振速幅值，可減小結構的輻射聲功率，達到控制噪聲的目的。模態(tài)耦合項與結構材料、尺寸、形狀、邊界條件以及激勵頻率、位置和相位等因素都有關系，雖然難以給出是否考慮模態(tài)耦合項的具體準則，但可看出它對結構聲振特性影響的程度較小。

取前1、2、4、6 階模態(tài)時的輻射聲功率，如圖7 所示，可以看出，在分析頻段內選取較少數目的低階振動模態(tài)可以保證輻射聲功率的計算精度。從側面反映了，若在該頻段進行結構噪聲的控制，僅對前n 階振動模態(tài)加以控制，便可顯著降低結構的輻射聲功率。結構發(fā)生共振時，共振結構模態(tài)對結構振動響應貢獻最大，需對此共振模態(tài)予以控制。

圖6 考慮模態(tài)耦合和不考慮模態(tài)耦合的輻射聲功率

圖7 結構各階振動模態(tài)對聲功率貢獻

4 結束語

上述研究表明，采用坐標變換和級數逼近的方法計算模態(tài)輻射阻抗計算方法是準確有效的，可用于任意頻率范圍的結構振動和聲輻射研究。振動模態(tài)耦合與結構幾何和物理參數、邊界條件以及激勵頻率、位置和相位等因素有關，在不改變系統的能量輸入和耗散的情況下，可通過重置結構表面振速分布的方式使其成為弱輻射體，并給出了改變振動時空分布的基本原則和方法，為噪聲控制提供了技術基礎。

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