徐振海，饒 彬，趙 鋒，王 偉

(國防科技大學(xué) 電子科學(xué)與工程學(xué)院，湖南 長沙410073)

0 引言

在“雷達原理”課程教學(xué)中，講完目標距離測量和角度測量以后，目標高度可以由目標距離和仰角導(dǎo)出，目標測高通常一帶而過。雷達原理相關(guān)教材［1，2］以及《雷達手冊》［3］中都不加推導(dǎo)地給出測高公式。針對三坐標監(jiān)視雷達典型探測場景，目標仰角通常小于30o，對于近距離目標的目標高度為

對于遠距離目標的目標高度為

式中，r 表示目標距離;θ 表示目標仰角;地球等效半徑Re=8500Km，這里等效地球半徑為實際地球半徑的4/3 倍。在課堂講授過程中，式(1)非常容易理解，但式(2)理解起來較困難。這個公式的由來教材中沒有提及。究竟何為近距離目標?何為遠距離目標?測高精度如何?學(xué)生對這些知識點提出了較多疑問。筆者鑒此，對該問題進行了較深入研究。

1 目標高度公式的推導(dǎo)

對于近遠距離目標，地球表面不能看作平面，電波傳播也不能看作直線。對于電波的彎曲問題可以用等效地球半徑的方法來解決。對于遠距離目標可以看作直線傳播。此時雷達和目標的幾何關(guān)系如圖1所示。

在圖中的ΔAOT 中，利用余弦定理不難得出

因此，在已知目標距離和仰角的條件下，目標高度可精確求出:

由于該公式較繁瑣，我們可以在降低精度的條件下尋求更簡潔的解法。

圖1 考慮地球曲率時雷達—目標幾何關(guān)系

將上式進一步變形為

其中，X= (r2+2rResinθ)/R2e= r2/R2e+2rResinθ/Re。通常情況因rRe，所以X1，利用泰勒公式可得

將上式代入式(5)，并忽略掉一階以后的所有項，近似得到

由此，便得到了式(2)?？梢姕y高公式是精確公式泰勒展開后的一階近似結(jié)果。可以設(shè)想，如果保留二階項采用二階近似，則測高精度將進一步提高。所以要在精度和計算復(fù)雜度之間折衷考慮。

由上式可以看出，一階項以后所有項均為截斷誤差，但二階項是誤差的主體部分。根據(jù)相對誤差的定義，一階近似所造成的測高公式相對誤差為

可見相對誤差與目標的距離和仰角都有關(guān)系，目標距離越近、仰角越低，該公式的精度越高。在應(yīng)用測高公式(2)時，一定要明白該公式也是有誤差的，當誤差超過容忍范圍時，公式不再適用。

2 適用范圍分析

如果要求截斷造成的相對誤差必須小于某水平α0，或者說誤差容忍水平為α0，即 X/4 =α0或 X≤4α0。于是進一步可得

求解一元二次不等式可得

滿足上述不等式的區(qū)域就是測高公式的適用范圍，等式表示適用范圍的邊界。

適用區(qū)域的邊界如圖2曲線所示，曲線下方的區(qū)域表示公式適用的范圍?？梢钥闯?如果相對誤差容許水平為1%，即當目標高度1km 時，公式誤差為10m。因此在正常的雷達探測范圍內(nèi)，該公式都是適用的。如果相對誤差容許水平為0.1%，即當目標高度1km 時，公式誤差為1m，公式適用范圍將大大減小了。如果目標仰角10o，目標最大距離100km;如果目標仰角4o，目標最大距離200km。

圖2 容忍誤差條件下公式適用范圍

3 結(jié)語

本文詳細推導(dǎo)了目標測高公式，并進一步分析了公式適用性問題。該研究的意義有兩個方面:在“雷達原理”的教學(xué)方面，該研究對雷達原理教材是有益的補充，對“雷達原理”知識點的講解以及學(xué)生的理解都十分有利;在雷達工程實踐方面，該研究提醒工程師使用雷達手冊中目標測高時，公式也是有誤差的，在測高精度要求很高的場合，該公式有特定的適用范圍。

［1］ 丁鷺飛，耿富錄，陳建春，雷達原理(第四版)［M］，北京:電子工業(yè)出版社，2011.05，361-362

［2］ 王雪松，李盾，王偉，等，雷達技術(shù)與系統(tǒng)［M］，北京:電子工業(yè)出版社，2009.08，130-131

［3］ 斯科爾尼克，雷達手冊(第二版)，北京:電子工業(yè)出版社，2003.07，796-797