俞 菲，孟 橋，樊祥寧

(東南大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，江蘇 南京210096)

0 引言

對于線性時不變系統(tǒng)而言，系統(tǒng)穩(wěn)定性的判斷是“信號與系統(tǒng)”課程中系統(tǒng)分析的基本問題之一，也是穩(wěn)定性授課的重點。Routh-Hurwitz 準(zhǔn)則可以提供簡便的根分布判決方法。在判別的過程中，處理Routh 數(shù)列中全零行的問題是學(xué)習(xí)的難點。

［例1］根據(jù)Routh-Hurwitz 準(zhǔn)則判別下面特征方程根的分布。

解:列出Routh 數(shù)列

上述例題中，在排列Routh 數(shù)列的過程中出現(xiàn)了全零行，則構(gòu)造輔助多項式，利用其導(dǎo)函數(shù)的系數(shù)代替全零行，并可判斷得知系統(tǒng)不穩(wěn)定。如果需要判斷根的分布，則需要進(jìn)一步求解輔助多項式。什么是輔助多項式呢?

由Routh 表第二行元素作系數(shù)所構(gòu)造的多項式gn(s2)=s4+2s2+2 是輔助多項式嗎?回答為是的。由Routh 表第四行元素作系數(shù)所構(gòu)造的多項式gn(s2)=s2+2 是輔助多項式嗎?回答為不是，它是偶次多項式。什么又是偶次多項式呢?它和輔助多項式存在怎樣的聯(lián)系?輔助多項式的概念只適用于出現(xiàn)全零行的情況嗎?

這是在“信號與系統(tǒng)”課程中關(guān)于系統(tǒng)穩(wěn)定性分析時讓許多學(xué)生感到困惑和難以理解的一個問題。下面我們將試圖利用輔助多項式與偶次多項式，使上述問題的講解明朗化。

1 輔助多項式與偶次多項式

考慮多項式D(s)=ansn+an－1sn－1+… +a1s +a0。當(dāng)a1R(i =1.2，…，n)，a1≠0 且同號時，我們可以構(gòu)造出著名的Routh 數(shù)列表，如表1所示。

如果n 是偶數(shù)，我們可以得到上表中所示的以B 為標(biāo)記的偶次多項式;如果n 是奇數(shù)，我們可以得到上表所示的以A 為標(biāo)記的偶次多項式。這些僅包含偶次項的多項式本身與原方程的根并沒有直接的關(guān)系，但是通過偶次多項式可以構(gòu)造出一族輔助多項式。其中，特征多項式就是一個特殊的輔助多項式，它是由第一和第二個偶次多項式構(gòu)成:

類似地，可以得到輔助多項式與偶次多項式直接的關(guān)系:

以上n 個輔助多項式的最高項系數(shù)分別對應(yīng)Routh 表的第一列元素，從Dn(s)到D1(s)每計算一次，階數(shù)降低一位，減少一個根。利用幅角原理即可證明［1］，當(dāng)各輔助多項式最高項的系數(shù)始終不改變符號時，每步總是減少一個在左半平面的零點，則系統(tǒng)穩(wěn)定。

當(dāng)出現(xiàn)全零行時，由于出現(xiàn)了數(shù)值為零的偶次多項式，因此，輔助多項式恰好等于偶次多項式。由于穩(wěn)定性的分析只用到了輔助多項式，所以大多數(shù)教材并沒有引入偶次多項式的概念，使學(xué)生產(chǎn)生誤解，認(rèn)為偶次多項式就是輔助多項式。下面，我們針對全零行這一特殊的情況深入分析。

2 全零行的出現(xiàn)

在計算Routh 數(shù)列的時候，如果遇到連續(xù)兩行數(shù)字相等或等比時，則下一行的元素將全部為零，此時數(shù)列無法正常計算下去。這種情況說明系統(tǒng)函數(shù)在虛軸或復(fù)平面的右半平面上有極點。出現(xiàn)全零行的原因是:所給方程至少有一對根對稱地位于通過原點的直線上［2］，例如，我們有一個根σ +jω，則也有為一個根-σ－jω。我們知道在這種情況下，即使σ=0，系統(tǒng)也僅僅是臨界穩(wěn)定的。因此可以認(rèn)為，只要出現(xiàn)了全零行，系統(tǒng)就不再是穩(wěn)定系統(tǒng)。

2.1 特征根位置的判斷

我們?nèi)暨M(jìn)一步分析極點的分布，需要采用輔助多項式進(jìn)行判別。由于輔助多項式是原多項式的一個因式，因此它的根也是原方程的根。此時，判定系統(tǒng)是否穩(wěn)定除了要判別Routh 數(shù)列是否變號外，還要審查虛軸上極點的階數(shù)。如虛軸上的極點均為單極點時，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定;如虛軸上有重極點則系統(tǒng)不穩(wěn)定。

［例2］根據(jù)Routh-Hurwitz 準(zhǔn)則判別下面特征方程描述的系統(tǒng)是否穩(wěn)定

解:全部系數(shù)都是正實數(shù)，且無缺項。排列出Routh 數(shù)列:

此時在Routh 數(shù)列的第三行出現(xiàn)全零行，數(shù)列左邊所寫的hn(s2)，gn－2(s2)，…一列表示用Routh表相應(yīng)行元素做系數(shù)所構(gòu)造的偶次多項式:

在例題中hn－2(s2)=0 時，系統(tǒng)的輔助多項式Dn－1(s2)=gn(s2)。所以，我們可以求解Dn－1(s2)=gn(s2)的根來判斷原系統(tǒng)極點的分布。

令gn(s2)=s4+2s2+2 =0，可以得到四個根，分別是。這四個根成對地關(guān)于原點對稱，分別有兩個正實部的根和兩個負(fù)實部的根，加上從D5(s)計算到D4(s)所減少的根，系統(tǒng)有三個負(fù)實部的根和兩個正實部的根。

除上述分析方法外，另一種分析方法是利用gn(s2)=s4+2s2+2 的導(dǎo)函數(shù)的系數(shù)代替hn－2(s2)的系數(shù)繼續(xù)判斷。系統(tǒng)的穩(wěn)定性判斷不變，系統(tǒng)特征根可以不需要求解，而粗略判斷其位置。

由于Routh 數(shù)列的首列變號兩次，那么系統(tǒng)具有兩個正實部的極點。根據(jù)全零行出現(xiàn)的原理:所給方程至少有一對根對稱地位于通過原點的直線上，可以判斷系統(tǒng)還有兩個負(fù)實部的極點，加上從D5(s)計算到D4(s)所減少的根，我們也可以得出系統(tǒng)有三個負(fù)實部的根和兩個正實部的根的結(jié)論。

2.2 出現(xiàn)多次全零行

以上我們介紹了當(dāng)系統(tǒng)特征方程的Routh 數(shù)列出現(xiàn)全零行時，兩種分析根分布的方法。在教學(xué)過程中，我們發(fā)現(xiàn)全零行有可能會多次出現(xiàn)，即:采用輔助多項式處理全零行繼續(xù)Routh 數(shù)列的排列后，又出現(xiàn)了全零行。此時，可以繼續(xù)采用輔助多項式來進(jìn)行處理，但是有學(xué)生提出這樣的疑問，如果這兩個輔助多項式的根都是系統(tǒng)的極點，那么系統(tǒng)極點的個數(shù)將大于系統(tǒng)的階數(shù)。

這個結(jié)論看似矛盾，但仔細(xì)分析后發(fā)現(xiàn)，出現(xiàn)多次全零行是因為系統(tǒng)在虛軸或復(fù)平面的右半平面上出現(xiàn)重極點，所以兩個輔助多項式必然有相同的根。也就是說第一個全零行輔助多項式的根必然包含了第二個全零行輔助多項式的根。并且，通過觀察我們發(fā)現(xiàn)全零行出現(xiàn)的次數(shù)，就等于最高次重極點的階數(shù)。這樣的系統(tǒng)，即使重極點出現(xiàn)在虛軸上，我們也可以直接認(rèn)定它是不穩(wěn)定的。即出現(xiàn)多次全零行的系統(tǒng)一定是不穩(wěn)定系統(tǒng)。下面我們舉例說明。

［例3］根據(jù)Routh-Hurwitz 準(zhǔn)則判別下面特征方程描述的系統(tǒng)是否穩(wěn)定

通過Routh-Hurwitz 準(zhǔn)則可以判斷:Routh 數(shù)列首列的系數(shù)沒有變號，所以系統(tǒng)沒有正實部的極點。但此時并不能判斷系統(tǒng)就是穩(wěn)定的，還要繼續(xù)檢測虛軸上極點的重數(shù)。由于系統(tǒng)沒有正實部的極點，但Routh 數(shù)列出現(xiàn)了全零行，所以可以判斷，在虛軸上一定成對地出現(xiàn)共軛虛根，分別求解兩個輔助多項式的根。

令gn(s2)=s4+2s2+1 =0，可以得到s1，2= j，s3，4=-j，系統(tǒng)存在二重極點。再令gn－2(s2)=s2+1=0，可以得到s1=j，s2=-j。兩個輔助多項式根的數(shù)值相同，階數(shù)不同。這是因為第一次處理全零行后僅消去了一重極點，而重根的階數(shù)僅降低了一次。

如果虛軸上存在兩對共軛的虛根，但這兩對根并不是重根，情況將怎樣變化呢?現(xiàn)看這樣一個特征多項式:

排列出其Routh 數(shù)列可以發(fā)現(xiàn)只出現(xiàn)一次全零行，且數(shù)列不變號。此時系統(tǒng)沒有右半平面的根，求解輔助多項式可以得到系統(tǒng)有兩對共軛的虛根，分別為

由此可以看出，全零行出現(xiàn)的次數(shù)僅等于系統(tǒng)虛軸或右半平面極點的重數(shù)，而與其個數(shù)無關(guān)。

3 結(jié)語

本文從Routh-Hurwitz 數(shù)列的原理出發(fā)，討論了其在系統(tǒng)穩(wěn)定性判斷中的應(yīng)用。我們將其作為課題講解的難點，著重討論了Routh 數(shù)列全零行出現(xiàn)的原理，及其處理的方法。

［1］ 何琴芳. 對Routh-Hurwitz 判據(jù)的進(jìn)一步證明［J］. 南京:東南大學(xué)學(xué)報. 1993，23(1).

［2］ 鄭鈞. 線性系統(tǒng)分析［M］毛培法譯. 北京:科學(xué)出版社.1987.