丁成祥 吳大艷

（安徽工業(yè)大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，安徽 馬鞍山 243002）

在大學(xué)物理課程的電磁感應(yīng)部分的教學(xué)過程中，感生電場的計(jì)算是一個(gè)很重要的內(nèi)容.但是在國內(nèi)一些很著名的教材中［1，2］，關(guān)于感生電場的計(jì)算只有一個(gè)例題，即無限長均勻變化磁場所產(chǎn)生的感生電場，而且是軸對(duì)稱情況下的問題.很少見非軸對(duì)稱情況下的例題，這未免讓人感到遺憾.所以我們?cè)诒疚闹薪o出兩個(gè)簡單的非軸對(duì)稱情況下的例題，供廣大從事大學(xué)物理課程教學(xué)的同仁參考.

1 回顧

首先我們回顧課本中常見的例題，如圖1所示，在半徑為R的圓柱形區(qū)域內(nèi)有沿著軸向的均勻變化磁場，磁場變化率為k＝?B，試求柱形區(qū)域?t內(nèi)外的感生電場強(qiáng)度E.求解這一問題，可以利用法拉第電磁感應(yīng)定律及問題的軸對(duì)稱性質(zhì)，得

其中，積分路徑為距離中心為r的圓；S為圓所包圍的區(qū)域.E的方向總是沿著圓的切線方向.經(jīng)過簡單的運(yùn)算，即可得到E的大小為

圖1 軸對(duì)稱均勻磁場及其感生電場

從教學(xué)的角度來說，此題可以做個(gè)簡單的修改以形成其他的例題讓學(xué)生練習(xí).但如果希望計(jì)算仍然如此簡單，則必須保持軸對(duì)稱性質(zhì)，比如將上述圓形區(qū)域改成圓環(huán)形區(qū)域，計(jì)算仍然是很簡單的，不再贅述.但如果破壞了軸對(duì)稱性質(zhì)，問題一般比較復(fù)雜，后文將看到這一點(diǎn).

2 感生電場計(jì)算的一般方法

關(guān)于感生電場計(jì)算的一般方法，國內(nèi)已經(jīng)有不少學(xué)者對(duì)此做過研究，提出了很好的計(jì)算思想和公式.我們總結(jié)一下，這些方法可以分為兩大類.一類是直接利用法拉第感應(yīng)定律的微分公式來計(jì)算，代表性的文章如文獻(xiàn)［3］；這樣的方法，要求學(xué)生有較好的數(shù)理基礎(chǔ)，最好是學(xué)過《數(shù)學(xué)物理方法》.但是感生電場的計(jì)算問題在大學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，一般是在大學(xué)物理課程中開始接觸，而數(shù)學(xué)物理方法課程一般都是開設(shè)在大學(xué)物理之后，所以用微分公式計(jì)算的方法不適合于在大學(xué)物理課程中的教學(xué).另一類主要是利用場疊加原理來計(jì)算，例如文獻(xiàn)［4、5］；其中文獻(xiàn)［4］提出了計(jì)算感生電場的一般公式

式中各參量的含義請(qǐng)參看文獻(xiàn)［4］.

文獻(xiàn)［5］提出了一個(gè)形式上類似于畢奧-薩伐爾定律的公式：

公式 （3）和 （4）原則上都能計(jì)算感生電場，但是能直接解出的問題不多.其原因在于數(shù)學(xué)上的困難，特別是積分上的困難，這是我們要用數(shù)值方法來計(jì)算的原因.

3 非軸對(duì)稱情況下的感生電場計(jì)算

利用上節(jié)所提出的方法，特別是場疊加原理，我們計(jì)算幾個(gè)簡單的非軸對(duì)稱情況下的例子.由于非軸對(duì)稱情況下的積分運(yùn)算是非常麻煩的，所以我們將利用 Mathematica編程給出數(shù)值結(jié)果.這些結(jié)果將使學(xué)生對(duì)感生電場的性質(zhì)有更深入的理解.

圖2 感生電場的計(jì)算

其中，r0′代表沿r方向的單位矢量.以式（5）為基礎(chǔ)，利用電場的疊加性，原則上可以求出任意形狀的均勻磁場變化時(shí)所激發(fā)的感生電場.

由于電場是矢量，需要分別計(jì)算沿著x方向和y方向的分量，其中

其中，φ是P點(diǎn)位矢的極角，對(duì)存在磁場的區(qū)域積分，即得

類似的可以導(dǎo)出

進(jìn)而得到

式（7）、（8）、（9）是我們進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的基本公式.如果磁場的形狀不一樣，只需改變積分的區(qū)域即可.

3.1 例一，圓形情況的驗(yàn)證

即Ex隨著極角φ按照余弦函數(shù)的規(guī)律變化，Ey是隨著極角φ按照正弦函數(shù)的規(guī)律變化.按照公式（7），用 Mathematica編程計(jì)算Ex的源代碼如下：

Clear［"｀＊"］

imax＝40；

stp＝2.0＊Pi／imax；

EE＝Table［0，｛i，imax＋1｝，｛j，2｝］；

k＝1.；

R＝1.；

l＝2.；

Do［phi＝（i-1）stp；

Ex＝NIntegrate［k／（2＊Pi）＊（y-l＊Sin［phi］）／（（y

-l＊Sin［phi］）＾2＋（l＊Cos［phi］-x）＾2），｛x，-R，

R｝，｛y，-Sqrt［R＾2-x＾2］，Sqrt［R＾2-x＾2］｝］；

EE［［i，1］］＝phi；

EE［［i，2］］＝Ex，

｛i，imax＋1｝］；

Export［"d：＼Ex.dat"，EE］；

以上代碼在 Mathematica 5.0上調(diào)試通過，計(jì)算結(jié)果存放于數(shù)據(jù)文件d：＼Ex.dat中.

圖3 圓形均勻磁場變化激發(fā)的感生電場的x分量隨著角度φ變化的曲線

圖3是Ex的數(shù)值結(jié)果和解析結(jié)果式（10）的比較，圖中的點(diǎn)是數(shù)值結(jié)果，曲線是按照式（10）給出的理論結(jié)果，可以看出數(shù)值結(jié)果和理論結(jié)果完全吻合，這說明我們的計(jì)算是正確的.

3.2 例二，大圓挖去小圓

如圖4所示的區(qū)域（大圓中挖去一個(gè)小圓）中有均勻磁場，磁場變化率為計(jì)算感生電場.這樣的問題，雖然不具有軸對(duì)稱性質(zhì)，但是仍然可以精確計(jì)算，計(jì)算的技巧是利用補(bǔ)償法.

圖4 補(bǔ)償法計(jì)算感生電場

設(shè)想整個(gè)大圓區(qū)域都有磁場，且磁場變化激發(fā)的感生電場為E；設(shè)想小圓區(qū)域也有磁場，激發(fā)的感生電場為E1.對(duì)于我們要求解的問題，感生電場應(yīng)該是E和 -E1的疊加，即E＝E-E1.利用式（1），很容易算出（見圖4），從而得到E的分量為

我們希望給出Ex，Ey隨位置 （r，φ）變化的函數(shù)，這需要明確算出α；在三角形OO′P中，利用余弦定理和正弦定理可得

綜合式（14）及（15）可得

利用數(shù)值方法可以驗(yàn)證上述結(jié)果.圖5是在k＝1，R＝1，r＝1.5的情況下，E隨著φ的變化曲線，其中的點(diǎn)是數(shù)值結(jié)果，曲線是按照式（19）給出的理論結(jié)果.從圖中可明顯的看出，E的大小不再保持不變，在φ＝0和φ＝2π的地方出現(xiàn)極小值，φ＝π的地方出現(xiàn)極大值.圖中，Num表示數(shù)值結(jié)果，Exa表示理論結(jié)果.

圖5 大圓挖去一個(gè)小圓區(qū)域的均勻磁場變化激發(fā)的感生電場隨著極角φ的變化曲線

圖6（a）是Ex隨著φ變化的曲線（k＝1，R＝1，r＝1.5），可以看出，Ex的曲線非常像一個(gè)正弦曲線，但實(shí)際不是，嚴(yán)格的變化表達(dá)式是式（17）.但是可以想象，當(dāng)r→∞，Ex的曲線將變成一個(gè)嚴(yán)格的正弦曲線；因?yàn)楫?dāng)r→∞ 的時(shí)候，中心磁場的形狀是無所謂的，對(duì)應(yīng)感生電場的變化規(guī)律必然和圓形磁場所激發(fā)的感生電場的行為一樣.這一點(diǎn)也可以直接從式（17）看出，當(dāng)r→∞時(shí)候，等式右邊第二項(xiàng)趨于零，退回圓形情況的表達(dá)式.

類似地，Ey的變化規(guī)律也不再是嚴(yán)格的余弦曲線，如圖6（b）所示.圖中Num表示數(shù)值結(jié)果，Exa表示理論結(jié)果.

圖6 大圓挖去一個(gè)小圓區(qū)域的均勻磁場變化激發(fā)的感生電場x分量（a）和y分量（b）隨著極角φ的變化曲線

3.3 正方形

對(duì)于正方形的情況，只能直接利用數(shù)值方法，程序和3.1節(jié)圓形情況相類似，但需適當(dāng)修改積分限.圖7是一個(gè)在R＝1（即正方形邊長為2），k＝1，r＝1.5情況下，電場強(qiáng)度的大小E和Ex隨著角度φ的變化規(guī)律.可以看出，正方情況下，E隨著φ的變化的行為變得更加復(fù)雜，其變化的周期是π／2，這明顯不同于圓形情況，也不同于3.2節(jié)的問題.Ex變化的周期仍然是2π，但變化方式顯然不再是正弦曲線.

圖7 正方形區(qū)域的均勻磁場變化所激發(fā)的感生電場的E和Ex隨著極角φ的變化曲線

4 總結(jié)和討論

在本文中，我們總結(jié)了計(jì)算非軸對(duì)稱情況下的感生電場的理論方法；并利用場疊加原理，給出了用數(shù)值方法計(jì)算均勻磁場所激發(fā)感生電場的Mathematica程序.利用該程序，我們驗(yàn)證了軸對(duì)稱情況下的結(jié)果，并計(jì)算了兩個(gè)非軸對(duì)稱情況下的例子.我們希望這些結(jié)果對(duì)大學(xué)物理課程的教學(xué)有所裨益，也希望這些結(jié)果能幫助低年級(jí)的學(xué)生更好地理解感生電場.

本文的計(jì)算僅限于磁場區(qū)域外的情況，其實(shí)磁場區(qū)域內(nèi)部的計(jì)算也可以用本文的方法.此外，利用場疊加原理，將本文中的程序代碼適當(dāng)修改，也是可以計(jì)算非均勻磁場變化所產(chǎn)生的感生電場的；這些問題留待以后討論.

［1］梁燦彬.電磁學(xué)［M］.北京：高等教育出版社，1980：380～383.

［2］趙近芳.大學(xué)物理學(xué)（下冊(cè)）［M］.北京：北京郵電大學(xué)出版社，2011：103～105.

［3］Δ×E＝-?B［J］.， 楊植宗.用?t計(jì)算感生電場物理與工程2003，13（1）：15～17.

［4］孟憲顯.感生電場的格林函數(shù)法［J］.南京化工學(xué)院學(xué)報(bào)，1992，14（2）：56～58.

［5］白建忠.感生電場場強(qiáng)分布的一個(gè)計(jì)算方法［J］.安徽大學(xué)學(xué)報(bào)，1995，增刊：46～48.