薛明志，李天鈞

(1.商丘師范學院 數(shù)學與信息科學學院，河南 商丘 476000;2.鄭州大學 軟件學院，河南 鄭州 450001 )

0 引 言

圖像處理過程涉及數(shù)字圖像的采集、傳輸?shù)拳h(huán)節(jié)，每一個環(huán)節(jié)都可能出現(xiàn)圖像的噪聲.而這噪聲會對圖像的處理環(huán)節(jié)，如分割、增強、檢索等產(chǎn)生直接影響.因此，許多學者討論了圖像去噪算法.

使用小波變換是進行圖像去噪的一種有效方法，原因在于小波變換具有多分辨率、快速算法等特點.據(jù)我們所知，小波系數(shù)相關性原理、小波變換模極大值原理和小波系數(shù)閾值化函數(shù)是三種常用的去噪方法.關于小波基本理論、變換和小波在圖像的應用，見文獻［1］.特別指出的是，Donoho 于1995年針對圖像去噪提出了小波閾值萎縮法［2］.該方法比較好，它根據(jù)圖像噪聲及信號在小波變換后的幅度分布進行相應展開.盡管如此，可也會出現(xiàn)偽吉布斯現(xiàn)象等視覺失真的缺點;而軟閾值方法會造成高頻信息丟失、邊緣模糊等失真.因此，很多學者都針對性地提出了一些解決方案和改進方法，如多項式插值法、軟硬閾值折衷法、模平方處理法、最大似然估計法、半軟閾值法和修正軟閾值法等［3－5］.鑒于上述分析，本文給出新的閾值化函數(shù)，以達到提高信噪比、改善去噪效果.最后進行了仿真試驗，實驗表明，我們構造的函數(shù)可以改善硬、軟閾值化方法中存在的邊界模糊和振蕩，也顯示出在閾值化處理過程中具有自適應性.

1 Mallat的去噪原理

Mallat的結果［6］為

定理1 設0≤n≤1，函數(shù)f(x)定義在［a，b］上.那么f(x)滿足一致的Lipschitz 指數(shù)n 當且僅當存在常數(shù)k ＞0，使?x ∈［a，b］有

在(1)式兩邊取對數(shù)得

在小波變換后域中，有效信號的性態(tài)表現(xiàn)與隨機噪聲的表現(xiàn)有所不同，因此當尺度變化時，兩者的小波系數(shù)幅度變化出現(xiàn)相反的態(tài)勢.這樣，如果變換尺度較大，那么可認為信號完全主導了小波系數(shù);如果變換尺度較小，那么可認為噪聲幾乎完全控制了小波系數(shù).正是這個特性才是我們有理由說明，小波變換后可以辨別噪聲與信號.但在應用中，使用小波對圖像去噪往往是先設定閾值，然后分離信號和噪聲.這種方法的依據(jù)就是某分解尺度下具有不同的噪聲小波系數(shù)幅度與信號小波系數(shù)幅度.

2 改進的閾值算法

2.1 Donoho 閾值算法

D.L.Dohono 提出的閾值化方法(［2］)可以分為硬閾值法與軟閾值法.

硬閾值化方法規(guī)則為

軟閾值化方法規(guī)則為

圖1 硬閾值化(左)和軟閾值化(右)方法Fig.1 The method of hard threshold (left)and soft threshold (right)

2.2 閾值算法的改進

本文結合軟、硬閾值化函數(shù)的不同特點，構造了一種新的閾值函數(shù):

其中α 與β 為調(diào)節(jié)參量，α ≥0，0≤β≤1.

以下對函數(shù)連續(xù)可導性進行考察:

此外，階次的調(diào)節(jié)是可由α的不同選擇而實現(xiàn):α=0 且β=1 是軟閾值化;α=0 且β=0 是硬閾值化，此時閾值函數(shù)為原信號函數(shù);α→+∞且0≤β≤1，也是硬閾值化函數(shù).因此，給出的新函數(shù)就是介于硬、軟閾值化之間的可調(diào)整函數(shù).在具體應用中，為達到最佳效果，我們可調(diào)整參量α 和β 來處理不同的圖像.

2.3 仿真實驗

我們?nèi)∮秒p正交小波函數(shù)bior6.8，同時選4 層分解層.將這里改進的閾值、軟閾值和硬閾值分別作用于含有隨機噪聲的sinsin 圖像來實驗圖像去噪.在實驗中，α 取3，β 取0.5，并且每層上的經(jīng)驗系數(shù)取Birge－Massart 策略中的經(jīng)驗系數(shù).下圖為仿真效果圖.

圖2 不同閾值化方法作用后的效果圖Fig.2 The effective image processed by different threshold methods

以下通過均方誤差MSE 和峰值信噪比PSNR 兩項指標對去噪效果進行統(tǒng)計計算.對于一幅像素為N×M的圖像，定義均方誤差MSE 為

定義峰值信噪比為

其中fmax=maxf(n，m);n=0，1，…，N－1;m=0，1，…，M－1;f(n，m 和^f(n，m)分別為圖像在(n，m)位置上的像素的灰度值和經(jīng)去噪后的灰度值.

實際應用中，由于圖像各種各樣及它們包含的噪聲也不盡相同，所以最終會采用不同的參數(shù).下表給出了實驗數(shù)據(jù)統(tǒng)計結果.

表1 圖像閾值化去噪后的MSE 和PSNR 統(tǒng)計Table 1 Statistics of MSE and PSNR processed by image threshold de－noising

3 結 語

本文首先對Dohono的硬、軟閾值化方法存在的問題進行了分析;其次，針對存在問題，構造了新的閾值化函數(shù)，該函數(shù)通過調(diào)整參量α 和β的取值可達到較優(yōu)的小波系數(shù)閾值估計.最后進行了仿真試驗，試驗結果表明，新方法可較好地去掉圖像中噪聲，并且有效地彌補了Dohono的硬、軟閾值化方法中存在的一些不足，如邊緣模糊、高頻信息“過扼殺”等，以及偽吉布斯效應、振蕩等視覺失真.

［1］李登峰，楊曉慧.小波基本理論與應用實例［M］.北京:高等教育出版社，2010.

［2］Donoho David L.De－noising by soft－thresholding［J］.IEEE Trans on Information Theory，1995，41(3):613－627.

［3］付煒，等.一種改進的小波域去噪算法［J］.計算機工程與應用，2006，42(11):80－81.

［4］劉衛(wèi)東，等.小波閾值去噪函數(shù)的改進方法分析［J］.高電壓技術，2007，33(10):59－63.

［5］張弦，等.一種改進的小波閾值去噪方法［J］.微計算機信息，2007，23(11－1):309－311.

［6］Mallat S.Singularity detection and processing with wavelets［J］.IEEE Trans on Information Theory，1992，38(2):617－643.