高忠社,何萬生,謝保利

(天水師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,甘肅天水 741000)

緊支撐樣條小波插值及其應(yīng)用

高忠社,何萬生,謝保利

(天水師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,甘肅天水 741000)

基于緊支撐樣條小波函數(shù)插值與定積分的思想,給出了由緊支撐樣條小波插值函數(shù)構(gòu)造數(shù)值積分公式的方法.并將該方法應(yīng)用于二次、三次、四次和五次緊支撐樣條小波函數(shù),得到了相應(yīng)的數(shù)值積分公式.最后,通過數(shù)值例子驗(yàn)證,發(fā)現(xiàn)該方法得到的數(shù)值積分公式是準(zhǔn)確的,且具有較高精度.

緊支撐樣條小波函數(shù);插值函數(shù);數(shù)值積分

1 緊支撐樣條小波函數(shù)

小波函數(shù)在眾多科學(xué)領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用,如數(shù)值分析、信號(hào)處理、圖像處理、微分方程數(shù)值解、量子力學(xué)、地質(zhì)勘查、計(jì)算機(jī)視覺、機(jī)械故障診斷等,小波函數(shù)在數(shù)值分析中的應(yīng)用是一個(gè)重要分支.通常大多數(shù)小波函數(shù)不能寫出具體的解析表達(dá)式,而1992年文獻(xiàn)[1]構(gòu)造的緊支撐樣條小波函數(shù)具有解析表達(dá)式,且該小波函數(shù)具有很多良好的性質(zhì),并被廣泛的應(yīng)用于眾多科學(xué)領(lǐng)域.緊支撐樣條小波是以B-樣條函數(shù)作為尺度函數(shù)構(gòu)造的.它具有很好的性質(zhì),如:有解析表達(dá)式、對(duì)稱性、單正交性和消失矩等良好的性質(zhì)[1-4].文獻(xiàn)[4-5,7]討論了緊支撐樣條小波函數(shù)的性質(zhì),及插值函數(shù),并證明了該插值函數(shù)具有唯一性,文獻(xiàn)[8-9]討論了三次緊支撐樣條小波函數(shù)的插值并得到相應(yīng)的數(shù)值積分公式,文獻(xiàn)[10]給出了二次緊支撐樣條小波函數(shù)插值及數(shù)值積分公式.在這里將主要討論緊支撐樣條小波函數(shù)的插值問題,并討論緊支撐樣條小波函數(shù)在數(shù)值積分方面的應(yīng)用問題,給出了由緊支撐樣條小波插值函數(shù)構(gòu)造數(shù)值積分公式的方法,該方法為緊支撐樣條小波函數(shù)在數(shù)值分析中的應(yīng)用有一定作用,而得到的數(shù)值積分公式有一定的實(shí)用價(jià)值.

緊支撐樣條小波函數(shù)ψm(x)是由m階m-1次B-樣條函數(shù)Nm(x)作為尺度函數(shù),構(gòu)造的m階m-1次緊支撐樣條小波函數(shù)ψm(x),ψm(x)函數(shù)具有解析表達(dá)式:

2 緊支撐樣條小波插值函數(shù)

3 緊支撐小波插值函數(shù)的數(shù)值積分方法

3.1 三階二次緊支撐樣條小波插值

圖1 尺度函數(shù)N3(x)的圖像.

圖2 尺度函數(shù)ψ3(x)的圖像

3.2 四階三次緊支撐樣條小波插值

圖3 尺度函數(shù)N4(x)的圖像.

圖4 尺度函數(shù)ψ4(x)的圖像

對(duì)于四階三次緊支撐樣條小波函數(shù)ψ4(x)使用上面類似的方法,構(gòu)造插值函數(shù),建立數(shù)值積分公式,即有[8]

3.3 五階四次緊支撐樣條小波插值

圖5 尺度函數(shù)N5(x)的圖像.

圖6 尺度函數(shù)ψ5(x)的圖像

3.4 六階五次緊支撐樣條小波插值

當(dāng)m=6時(shí),ψ6(x)為六階五次緊支撐樣條小波函數(shù),以五次B-樣條N6(x)作為尺度函數(shù)構(gòu)造的,其表達(dá)式為:

由于N6(x)是5次B-樣條函數(shù),ψ6(x)是五次分段多項(xiàng)式,而ψ6(x)的分段區(qū)間長度是N6(x)的一半,并且supp ψ6(x)=[0,11].尺度函數(shù)N6(x)和小波函數(shù)ψ6(x)的圖像如圖7,圖8.

圖7 尺度函數(shù)N6(x)的圖像.

圖8 尺度函數(shù)ψ6(x)的圖像

同樣的方法,可以得到更高次的緊支撐樣條小波函數(shù)的積分插值公式.只不過是次數(shù)越高,求解的方程組的階數(shù)的要求會(huì)越來越高,求解工作量也會(huì)越來越大.但是,得到公式的誤差階也會(huì)越來越高.根據(jù)定理2.2可知,

4 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

計(jì)算

以N=40利用上面得到的公式進(jìn)行計(jì)算,結(jié)果見表1:

文中由m階m-1次緊支撐樣條小波函數(shù)得到的數(shù)值積分公式,當(dāng)函數(shù)f(x)的次數(shù)是不超過m-1的多項(xiàng)式時(shí),該數(shù)值積分公式是精確的,對(duì)于一般的函數(shù),誤差階可達(dá)到O(hm),但不足之處是,要求具有邊界導(dǎo)數(shù)條件,并且數(shù)值積分公式中的系數(shù)是通過求解線性代數(shù)方程組得到的,由于緊支撐樣條小波函數(shù)具有緊支集,故方程組的系數(shù)矩陣是帶狀稀疏的,使得計(jì)算變得相對(duì)容易;在誤差方面,對(duì)于文中得到的數(shù)值積分公式,與常規(guī)的復(fù)化梯形公式和復(fù)化的辛普森公式相比較,發(fā)現(xiàn)文中得到的數(shù)值積分公式具有較高的精度.同時(shí),通過數(shù)值例子說明得到的數(shù)值積分公式是正確有效的,且在數(shù)值積分中有一定的實(shí)用價(jià)值.

表1 數(shù)值積分結(jié)果

[1]Chui Charles K,Wang Jianzhong.On compactly supported spline wavelets and a duality principle[J].Trans. Amer.Math.Soc.,1992,330(2):903-915.

[2]Daubechies I.Orthogonal bases of compactly supported wavelets[J].Comm.Pure Appl.Math.,1988,41(7): 909-996.

[3]Mallat S.Multiresolution approximations and wavelet orthonormal bases of[J].Trans.Amer.Math.Soc,1989, 315:69-87.

[4]DanaˇCern′a,V′aclav Finˇek.Cubic spline wavelets with complementary boundary conditions[J].Applied Mathematics and Computation,2012,219(4):1853-1865

[5]金堅(jiān)明.小波分析[M].蘭州:蘭州大學(xué)出版社,1993.

[6]孫家昶.樣條函數(shù)與計(jì)算幾何[M].北京:科學(xué)出版社,1982.

[7]金堅(jiān)明,徐應(yīng)祥,薛鵬翔.最小支集樣條小波有限元[J].計(jì)算數(shù)學(xué),2006,28(1):89-112.

[8]高忠社.數(shù)值積分的緊支撐樣條小波方法[J].徐州師范大學(xué):自然科學(xué)版,2006,23(2):22-25.

[9]楊渭清.多尺度緊支撐向量值正交小波的構(gòu)造[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2009,25(2):315-320.

[10]徐應(yīng)祥.一類二次最小支集樣條小波插值及其應(yīng)用[J].合肥工業(yè)大學(xué):自然科學(xué)版,2008,31(2):291-295

[11]王剛,呂軍,袁麗霞.一類四元數(shù)小波包的構(gòu)造[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2011,27(5):570-576.

[12]何永滔.緊支撐正交的二維小波[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2012,28(1):8-16.

The compactly supported spline wavelet interpolation and
its application

Gao Zhongshe,He Wansheng,Xie Baoli

(College of Mathematics and Statistics,Tianshui Normal University,Tianshui741000,China)

Based on the supported spline wavelet interpolation and defnite integral idea,the method of constructing the supported spline wavelets numerical integration formula is given.And with this method,the numerical integration formulas are got for the quadratic,cubic,quartic and quintic supported spline wavelets. Finally,it is proved through an example that the obtained formulas are correct and has a higher accuracy.

compactly supported spline wavelet,interpolation function,numerical integral

O24.82

A

1008-5513(2013)06-0591-10

10.3969/j.issn.1008-5513.2013.06.007

2013-10-01.

甘肅省教育廳科學(xué)研究基金(1108B-03).

高忠社(1979-),碩士,講師,研究方向：小波分析及微分方程數(shù)值解.

2010 MSC:42C40