佘勃強(qiáng)，吳引江，崔亞輝

（1.西北有色金屬研究院寶德公司，陜西 西安710016；2.西安理工大學(xué)機(jī)儀學(xué)院，陜西 西安710048)

現(xiàn)行的齒根彎曲強(qiáng)度計算中只考慮了法向嚙合力，而忽略了齒間摩擦力[1~2]。李秀蓮、徐輔仁等人對齒間摩擦力對齒根彎曲應(yīng)力的影響做了研究，認(rèn)為在齒間摩擦系數(shù)大的情況下可使齒根彎曲應(yīng)力增加10%以上[3~5]。

本文進(jìn)一步按照現(xiàn)行的齒輪強(qiáng)度計算方法全面地分析了齒間摩擦力對增速傳動和減速傳動中大、小齒輪齒根彎曲應(yīng)力的影響，并對影響程度進(jìn)行了定量計算。

1 力學(xué)模型的建立

齒間摩擦力的方向在主動輪嚙合齒面上是背離節(jié)線，分別指向齒根和齒頂?shù)?，而在從動輪嚙合齒面上正好相反[2]。主、從動輪齒頂嚙合時計算齒根彎曲應(yīng)力的簡化力學(xué)模型分別如圖1中（a）、（b）所示。輪齒在嚙合面上受沿嚙合線方向的法向載荷Fn及沿齒面接觸點切線方向的切向載荷Ff（齒間摩擦力）的作用。為便于研究，將法向載荷Fn沿嚙合線移動到主動輪輪齒中線的K點，將切向載荷Ff沿齒頂R點的漸開線切線也移動到輪齒中線的E點，令齒間摩擦力Ff與輪齒齒廓對稱中線所夾銳角為αF，于是，F(xiàn)n被分解成垂直于輪齒中線及沿著輪齒中線的兩個分量FncosαF和FnsinαF。類似地，F(xiàn)f也被分解為FfsinαF和FfcosαF。在這里主動輪上的FnsinαF與FfcosαF方向相反（從動輪上的FnsinαF與FfcosαF方向相同），前人的研究業(yè)已表明它們的合力在齒根剖面上產(chǎn)生的壓應(yīng)力與該剖面上彎曲應(yīng)力相比甚小，可忽略不計[2]。因此，本文主要考慮FncosαF和FfsinαF聯(lián)合作用下的齒根彎曲應(yīng)力。

圖1 考慮摩擦力的輪齒力學(xué)模型

2 計算公式的推導(dǎo)

在考慮摩擦力的作用下，齒根危險剖面的彎曲應(yīng)力計算公式為[1~2]：

其中，W為齒根危險截面的抗彎截面模量；

式中，F(xiàn)n（f）為考慮齒間摩擦力時的法向力,主動輪為“+”，從動輪為“-”。

齒輪彎曲疲勞強(qiáng)度計算已形成統(tǒng)一規(guī)則：對于相互嚙合的一對齒輪，無論是計算小齒輪還是大齒輪的齒根彎曲疲勞應(yīng)力，只以小齒輪的扭矩及分度圓直徑為依據(jù)，因此應(yīng)建立考慮齒間摩擦力時的小齒輪傳遞扭矩T1與Fn（f）之間的關(guān)系。

當(dāng)小齒輪為主動輪時，由圖2所示關(guān)系可得：

圖2 小齒輪主動時齒頂嚙合受力示意圖

同理，當(dāng)小齒輪為從動輪時（此時齒間摩擦力Ff的方向正好與作主動輪時的相反）有：T1=Fn（f）rb1-Ff，由于有αB21=αa[2]，αa1為小齒輪齒頂圓上的壓力角，從而可得考慮齒間摩擦力時小齒輪上的Fn（f）與小齒輪傳遞扭矩T1之間的關(guān)系為：

式中，小齒輪主動為“+”，小齒輪從動為“-”。

大齒輪主動時的齒頂嚙合受力如圖3所示。同理可得：

圖3 大齒輪主動時齒頂嚙合受力示意圖

式中，大齒輪主動為“+”，大齒輪從動為“—”。

由漸開線標(biāo)準(zhǔn)齒輪的性質(zhì)可知：

代入上式并整理可得考慮齒間摩擦力時大齒輪上的Fn（f）與小齒輪傳遞扭矩T1之間的關(guān)系

將（2）、（3）式代入（1）式并整理后可得考慮齒面間摩擦力時的齒根彎曲應(yīng)力為：

式中：ρ（f）為彎曲強(qiáng)度摩擦因子，反映了齒面間摩擦力對齒根彎曲應(yīng)力的影響程度。齒輪主動時為“+”，齒輪從動時為“-”。

3 彎曲強(qiáng)度摩擦因子的計算

對于標(biāo)準(zhǔn)漸開線齒形，其簡化力學(xué)模型如圖4所示，經(jīng)過推導(dǎo)可得到下列方程組。

圖4 輪齒的簡化力學(xué)模型及其幾何參數(shù)[3]

其中：αa1為小齒輪齒頂圓處的壓力角；αa2為大齒輪齒頂圓處的壓力角；α為分度圓處的壓力角；sa為齒頂圓處的齒厚；z1為小齒輪的齒數(shù)；z2為大齒輪的齒數(shù)；f為嚙合齒面間的摩擦系數(shù)。齒輪主動時為“+”，齒輪從動時為“-”。

由以上方程組可以看出，影響彎曲強(qiáng)度摩擦因子ρ（f）的因素有：齒輪齒數(shù)z、分度圓壓力角α、模數(shù)m及嚙合齒面間的摩擦系數(shù)f。進(jìn)一步利用Matlab語言編程可以計算出彎曲強(qiáng)度摩擦因子ρ（f）與上述諸因素的關(guān)系。結(jié)果表明，z和f的影響較大，見圖5、圖6所示。

圖5 ρ（f）與z的關(guān)系

圖6 ρ（f）與f的關(guān)系

從圖中可以看到，小齒輪和大齒輪上的彎曲疲勞強(qiáng)度摩擦因子隨z、f變化趨勢基本是一樣的，當(dāng)其為主動輪時都大于1，當(dāng)其為從動輪時都小于1。無論為主動輪還是從動輪，齒數(shù)z對大小輪上的彎曲強(qiáng)度摩擦因子影響都不大，不超過±2.5%。齒面摩擦系數(shù)f對小齒輪上的彎曲強(qiáng)度摩擦因子影響也比較小，在±3%范圍之內(nèi)。而對大齒輪上的彎曲強(qiáng)度摩擦因子影響就比較大，當(dāng)f大于0.08時會使主動大齒輪上的彎曲強(qiáng)度摩擦因子增加到1.05以上，當(dāng)f=0.15時主動大齒輪上的彎曲疲勞強(qiáng)度摩擦因子幾乎增加到1.1時，從而使齒根彎曲應(yīng)力相應(yīng)增加10%。當(dāng)大齒輪從動時，齒面摩擦系數(shù)f使彎曲強(qiáng)度摩擦因子減小1%到10%。

定量計算結(jié)果明確展示了摩擦系數(shù)f對大小齒輪的齒根彎曲疲勞強(qiáng)度的影響程度，表明當(dāng)大齒輪作為主動輪時有必要計入齒間摩擦力的影響。

4 結(jié)束語

通過本文的分析計算，可以得出以下結(jié)論：

（1）在減速傳動中，齒間摩擦力使小齒輪齒根彎曲應(yīng)力增加不超過3%，大齒輪齒根彎曲應(yīng)力減小1%到10%。因此在設(shè)計校核時將齒間摩擦力忽略掉是完全可行的。

（2）在增速傳動場合下，齒間摩擦力使主動大齒輪的齒根應(yīng)力增加1%到10%，當(dāng)齒面摩擦系數(shù)f大于0.08時就增加5%以上，主動大齒輪齒根彎曲強(qiáng)度的精確計算校核有必要考慮齒間摩擦力的影響。

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