鄭世祺，唐小琦，盧少武，宋寶

（華中科技大學(xué) 國家數(shù)控技術(shù)研究工程中心，湖北 武漢430074）

由于永磁同步電機具有系統(tǒng)響應(yīng)快，速度高，運動平穩(wěn)，傳動效率高等特點，在數(shù)控機床中得到了廣泛的應(yīng)用。為了使永磁同步電機運行時充分發(fā)揮自身的優(yōu)點，伺服系統(tǒng)的控制性能顯得尤為重要。

PID參數(shù)是伺服系統(tǒng)中重要的控制參數(shù)，PID參數(shù)的好壞直接影響到伺服系統(tǒng)的控制性能，但是由于伺服系統(tǒng)的實際工作狀態(tài)常常會發(fā)生改變，為了獲得最優(yōu)的伺服控制性能，就需要整定PID控制參數(shù)。 傳統(tǒng)的PID整定方法Z-N法，臨界比例法等，容易陷入局部最優(yōu)，無法滿足性能的要求[1]。

遺傳算法是一種并行隨機搜索最優(yōu)方法，通過選擇、交叉、變異這些遺傳進(jìn)化操作一步步地篩選出全局的最優(yōu)解[2]。在系統(tǒng)辨識領(lǐng)域，最小二乘法由于其無需數(shù)理統(tǒng)計的知識，并且由其得到的估計具有最佳的統(tǒng)計特性，在工程中得到了廣泛的應(yīng)用。本文以永磁同步電機伺服系統(tǒng)為研究對象，有機結(jié)合實數(shù)遺傳算法和遞推最小二乘法對伺服系統(tǒng)參數(shù)進(jìn)行自動整定。這種算法的特點是能夠?qū)o定范圍內(nèi)的參數(shù)值進(jìn)行全局搜索，最后通過實驗驗證算法準(zhǔn)確性。

1 永磁同步電機伺服系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

永磁同步電機伺服系統(tǒng)是一個耦合性較強的非線性系統(tǒng)，為了能夠?qū)ο到y(tǒng)進(jìn)行良好的控制，必須從復(fù)雜的系統(tǒng)中抽象出其數(shù)學(xué)模型，達(dá)到系統(tǒng)設(shè)計的要求。

在伺服系統(tǒng)控制中通常采用id=0的控制方法，由電機學(xué)以及永磁同步電機的電磁模型可知，其電磁轉(zhuǎn)矩可表示為

式中：Ψf為永磁體基波磁鏈；pn為磁極對數(shù)；iq分別為q軸電流。

在實際的機械運動中，考慮各種不同擾動力的作用，永磁同步電機的動力學(xué)方程可表示為

式中：J為電機轉(zhuǎn)子及負(fù)載的總轉(zhuǎn)動慣量；ωm為電機機械角速度；Tload為電機的負(fù)載轉(zhuǎn)矩；Tf為摩擦轉(zhuǎn)矩；Tcog為齒槽轉(zhuǎn)矩；Tn為其他擾動轉(zhuǎn)矩。

其中

式中：B為摩擦系數(shù)。

齒槽轉(zhuǎn)矩可表示為

式中：An為常系數(shù)；Ψn為相應(yīng)的處相角；h為電機的軸向長度。

綜合式（1）～式（4）可得：

伺服系統(tǒng)普遍采用三環(huán)控制方法，即位置環(huán)、速度環(huán)和電流環(huán)，電流環(huán)屬于內(nèi)環(huán)，性能較好，其控制結(jié)構(gòu)可等效為1/（Tds+1），Td為電流環(huán)時間常數(shù)，而速度環(huán)的控制參數(shù)整定是伺服系統(tǒng)參數(shù)整定的關(guān)鍵環(huán)節(jié)[3]。綜合上述分析可以得到永磁同步電機伺服系統(tǒng)速度環(huán)控制器結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 速度環(huán)控制器結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of speed loop controller

圖1 中的擾動為式（5）中的（Tload+Bωm+部分，對于虛線框中的模型，簡化擾動部分的影響，可以整體近似為二價模型進(jìn)行系統(tǒng)辨識。

被控對象的線性模型如下：

式中：a1，a2，b1，b2為需要辨識的參數(shù)，與電機結(jié)構(gòu)及具體工況相關(guān)。

2 基于遞推最小二乘法的系統(tǒng)辨識

對于上述速度環(huán)控制器的參數(shù)自整定，首先需要得到被控對象的數(shù)學(xué)模型，這里可以通過系統(tǒng)已知的參數(shù)，經(jīng)過數(shù)學(xué)分析得到理想的數(shù)學(xué)模型，但是由于伺服系統(tǒng)工作的環(huán)境千差萬別，伺服系統(tǒng)中各個環(huán)節(jié)的參數(shù)很難直接得到，而且伺服系統(tǒng)中各個因素互相耦合，數(shù)學(xué)分析得來的模型并不準(zhǔn)確，為了能夠自動調(diào)整伺服系統(tǒng)參數(shù)，就需要對被控對象進(jìn)行系統(tǒng)辨識[4-5]。

由被控對象的線性模型可建立出可估計的預(yù)測模型表達(dá)式：

式中：y0(k+1)為 k+1 時刻的預(yù)測值為未知的參數(shù)向量；φ（k）為對應(yīng)的輸入輸出數(shù)據(jù)向量。

并且有

最小二乘法估計的準(zhǔn)則是保證偏差的平方和最小即：

遞推最小二乘法相比一般的最小二乘法，在工程上更易實現(xiàn)，其思想是沿著誤差準(zhǔn)則減小最快的方向，通過一步步的遞推使誤差準(zhǔn)則最終達(dá)到系統(tǒng)辨識的要求?？蓺w納出其辨識的一般步驟。

1）確定增益矩陣K0和遺忘因子α。

K（0）通常由下式確定

遺忘因子通常有定常和時變兩種取法即

或者

2）根據(jù)下式求出增益矩陣K（k）

3）由增益矩陣 K（k）和下式可以遞推出θ＾(k)的下一步估計值：

4）根據(jù)新得到參數(shù)估計值重新計算協(xié)方差矩陣 P（k）

5）重新返回2）進(jìn)行計算。

3 基于遺傳算法的參數(shù)自整定

與一般的二進(jìn)制編碼遺傳算法相比，實數(shù)編碼遺傳算法有許多優(yōu)勢，通過對解的實數(shù)表達(dá)，較二進(jìn)制編碼而言提高了算法的精度減少了存儲空間，并且利用實數(shù)表示個體使得算法具有實際的物理意義，因此在對于復(fù)雜高維問題的求解上有著顯著的優(yōu)勢。

1）初始種群。初始的種群個體代表的是需要尋優(yōu)的參數(shù)，在對伺服電機PID控制參數(shù)（Kp，Ki，Kd）進(jìn)行整定的過程中，Kd的引入可能造成整體系統(tǒng)的不穩(wěn)定和震蕩，所以只對Kp和Ki進(jìn)行尋優(yōu)。即參數(shù)優(yōu)化向量可表示為

初始種群時隨機產(chǎn)生N個均勻分布的個體。

2）適應(yīng)度函數(shù)。在選取個體適應(yīng)函數(shù)時，應(yīng)該選取能夠反映伺服系統(tǒng)性能的指標(biāo)，這里選取系統(tǒng)偏差積分性能指標(biāo)，這類指標(biāo)包括ISE，ITSE，IAE，TAE[3]等。

ITAE能夠得到優(yōu)良的控制參數(shù)，階躍響應(yīng)的震蕩較小，但是此類指標(biāo)對于響應(yīng)的超調(diào)沒有考慮充分，因此在性能指標(biāo)中加入超調(diào)量的影響，得到改進(jìn)后的性能指標(biāo)：

式中：w為懲罰因子。

3）選擇算子。采用隨機普遍取樣來決定個體是否能夠存在于后一代，具體操作時在當(dāng)前種群及所有后代中，根據(jù)個體適應(yīng)度從小到大排列，選取前N-N1個個體，然后再隨機產(chǎn)生N1個個體，兩部分集合到一起成為下一代種群。

4）交叉算子。利用交叉概率Pc隨機選取兩個父代個體，記作通過下式產(chǎn)生新的后代個體

5）變異算子。當(dāng)個體進(jìn)行完交叉操作之后，變異算子決定其是否需要進(jìn)行變異操作。在實數(shù)編碼遺傳操作中，通過隨機改變和產(chǎn)生新的基因信息來達(dá)到變異操作的目的。這里采用下式來進(jìn)行：

式中:xk為種群中變異前的個體；xk+1為個體經(jīng)過變異操作后的新個體；L1，L2，U1，U2分別為 Kp，Ki參數(shù)的上下限；r為變異操作時產(chǎn)生的隨機數(shù)。

6）終止規(guī)則。當(dāng)進(jìn)化代數(shù)達(dá)到所設(shè)定代數(shù)時，遺傳終止，此時產(chǎn)生的解作為全局最優(yōu)解。

4 永磁同步電機伺服系統(tǒng)參數(shù)自整定

最小二乘法能夠快速準(zhǔn)確地辨識出被控對象的數(shù)學(xué)模型，遺傳算法能夠在全局范圍內(nèi)找到滿足要求的最優(yōu)解，有機地結(jié)合上述兩種方法，并根據(jù)直線電機的數(shù)學(xué)模型，能夠得出針對永磁同步直線電機伺服系統(tǒng)的參數(shù)自整定方法。圖2是針對伺服系統(tǒng)速度環(huán)參數(shù)自整定的整體結(jié)構(gòu)圖，根據(jù)圖2歸納出自整定的基本步驟。

圖2 永磁同步電機伺服系統(tǒng)速度環(huán)參數(shù)自整定Fig.2 Parameters auto-tuning of servo system of PMSM

Step1：使伺服系統(tǒng)速度環(huán)處于開環(huán)狀態(tài)，給速度環(huán)被控對象施加激勵信號，如偽隨機數(shù)，掃頻信號等，采集響應(yīng)信號，由此得到數(shù)據(jù)點對樣本

Step2： 由式（6）獲得直線電機數(shù)學(xué)模型表達(dá)式。由式（8）、式（9）設(shè)

根據(jù)式（11）～式（16）及采集到的數(shù)據(jù)點對樣本利用遞推最小二乘法辨識出直線電機的數(shù)學(xué)模型。

Step3：把辨識出的數(shù)學(xué)模型替代原速度環(huán)被控對象進(jìn)行PID控制，根據(jù)遺傳算法初始化種群個體，即利用式（17）～式（21）進(jìn)行遺傳操作，最終得到優(yōu)化的參數(shù)。

Step4：校驗整定出的控制參數(shù)，若其作用下的速度閉環(huán)階躍響應(yīng)快速、穩(wěn)定，則認(rèn)為參數(shù)整定結(jié)果滿足速度環(huán)控制整定的要求，自動整定過程結(jié)束，否則，返回Step1，重新進(jìn)行整定。

5 實驗研究

上述算法在永磁同步電機伺服系統(tǒng)中進(jìn)行了驗證，圖3是實驗平臺的總體結(jié)構(gòu)。

圖3 實驗平臺結(jié)構(gòu)Fig.3 Structure of experimental platform

實驗中上位機運行運動控制軟件，驅(qū)動PCI運動控制卡與伺服驅(qū)動進(jìn)行通信，伺服驅(qū)動具有針對伺服電機的三環(huán)控制結(jié)構(gòu)，驅(qū)動永磁同步電機運動?？刂菩盘栍缮衔粰C中的運動控制軟件產(chǎn)生，電機的反饋信號由細(xì)分盒細(xì)分，傳入伺服驅(qū)動，進(jìn)而由上位機運動控制軟件讀取。通過這樣一套實驗平臺不僅可以控制電機的運行而且可以方便地監(jiān)測電機運行過程中的各個信號。

伺服系統(tǒng)采用TMS320F2812為核心控制器，電機額定電流I=8.3 A，伺服驅(qū)動器額定電流I=9.9 A，遺傳算法中樣本個體為30，交叉概率和變異概率為：Pc=0.9，Pm=0.033，懲罰因子選為 w=100，Kp的范圍為 0～5，Ki的范圍為 0～0.1。經(jīng)過200代進(jìn)化，得到Kp=4.821 7，Ki=0.006 9。代價函數(shù)J=15 063。代價函數(shù)J的優(yōu)化過程如圖4所示。

圖4 代價函數(shù)J的優(yōu)化過程Fig.4 The optimization process of the cost function J

把整定出的控制參數(shù)和最初的伺服出廠的經(jīng)驗值進(jìn)行比較。圖5、圖6是伺服系統(tǒng)在正弦信號作用下輸出的結(jié)果。可以看出，整定后伺服系統(tǒng)超調(diào)量較小，并且上升時間短，伺服系統(tǒng)具有優(yōu)良的控制性能，參數(shù)整定達(dá)到了預(yù)期的效果。

圖5 優(yōu)化前PID控制輸出Fig.5 PID control output before optimizing

圖6 優(yōu)化后PID控制輸出 Fig.6 PID control output after optimizing

進(jìn)一步把多次實驗整定出的PID參數(shù)和最初的PID經(jīng)驗值作比較，見表1，從表1中可以看出每次整定的結(jié)果與經(jīng)驗值相差較小，從而說明算法具有較強的穩(wěn)定性與正確性。

表1 PID經(jīng)驗值和整定值的比較Tab.1 Comparison on experienced PID value and tuned PID value

對整定前后的直線電機伺服系統(tǒng)進(jìn)行掃頻測試，得到整定前后的頻率響應(yīng)曲線，見圖7，可以看出，整定后的伺服系統(tǒng)頻帶較整定前有較大的提高，說明整定后伺服系統(tǒng)的性能得到了較大的提高。

圖7 整定前后的頻率響應(yīng)Fig.7 Frequency response before and after tuning

6 結(jié)論

本文首先建立了永磁同步電機伺服系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，在此基礎(chǔ)上對參數(shù)自整定進(jìn)行了研究，綜合最小二乘法和遺傳算法的各自優(yōu)點對伺服系統(tǒng)控制器參數(shù)進(jìn)行了自動整定，最后通過實驗對整定后的控制參數(shù)進(jìn)行了驗證，實驗說明伺服系統(tǒng)整定后具有優(yōu)良的控制性能，同時也證實了此算法的穩(wěn)定性和正確性。

［2］陳彥橋，倪敏.實數(shù)編碼的遺傳算法在廠級負(fù)荷優(yōu)化分配中的應(yīng)用［J］.中國電機工程學(xué)報， 2007， 27（20）：107-112.

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